第12讲圆锥曲线方程及最值范围问题 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 12 讲 圆锥曲线方程及最值范围问题考点分析通过比较近几年的高考题，不难发现，集中考察的是抛物线和椭圆，椭圆出现的较多，主要考察的是直线与椭圆或抛物线的位置关系，近几年也出现了与圆的综合问题，难度没有特别大的跳跃，比较平稳，都是以运算为主要考察对象.从考查形式上分析，主要是求解圆锥曲线方程，轨迹问题（也涉及到挖点） ，定点问题，范围问题等.特训典例题型一题型一 求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程例例 1 【高考新课标 1 卷】 （本小题满分 12 分）设圆的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）写出点 E 的轨迹方程；例例 2 【课标 II，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：2212xy上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为N，点 P 满足2NPNM 。(1) 求点 P 的轨迹方程；例例 3 （江苏省高邮市 2020 届高三期中考试）已知动点,P x y到定点2 0B，的距离与到定直线8lx ：的距离之比为12，（1）求P点的轨迹H的方程。222150 xyx特训跟踪 1与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_2.已知圆 C：(x3)2y24，定点 A(3，0)，则过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹方程为_3.如图，圆1O与圆2O的半径都是 1，124O O . 过动点P分别作圆2O、圆2O的切线PM PN，（M N，分别为切点） ，使得2PMPN. 并求动点P的轨迹方程.题型二 最值范围问题题型二 最值范围问题例例 4 (2020南昌调研)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOMkON54，求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围.圆锥曲线方程求法(1)待定系数法，(2)直接法，(3)定义法，(4)相关点法。熟悉常考题目类型及解决问题方法是关键。yxONMP例例 5 (2020邢台模拟)已知椭圆x22y21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx12对称(1)求实数 m 的取值范围；(2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)特训跟踪 1.(2020开封质检)已知点 P 是圆 O：x2y21 上任意一点，过点 P 作 PQy 轴于点 Q，延长 QP 到点 M，使QP PM .(1)求点 M 的轨迹 E 的方程；(2)过点 C(m,0)作圆 O 的切线 l，交(1)中的曲线 E 于 A，B 两点，求AOB 面积的最大值解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围2.（2020山东高三模拟）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为2 3，离心率12e ，其右焦点为F.（1）求椭圆C的方程；（2）过F作夹角为4的两条直线12,l l分别交椭圆C于,P Q和,M N，求|PQMN的取值范围.特训练习1.（2020 届山东省烟台市高三模拟）已知直线过椭圆222210 xyabab的右焦点，且交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线 l 与线段 AB 相交（不含端点）且交椭圆于 C，D 两点，求四边形面积的最大值.2.（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径，1l、2l是过点P且互相垂直的两条直线， 其中1l交圆于A、B两点，2l交椭圆于另一点D.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值及取得最大值时直线1l的方程.3.（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知椭圆的离心率为，且椭圆 C 过点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 的右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点， 且与圆 ：交于 E、 F 两点， 求的取值范围4.（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知抛物线，的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线分别为1l，2l，两条切线的交点为D（1）证明：；（2）若的外接圆与抛物线C有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围5.(2019全国卷)已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为12.记 M 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G.证明：PQG 是直角三角形；求PQG 面积的最大值.6.(2020山东高考预测卷)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M(a,25)在抛物线 C 上(1)若|MF|6，求抛物线的标准方程；(2)若直线 xyt 与抛物线 C 交于 A，B 两点，点 N 的坐标为(1,0)，且满足 NANB，原点 O 到直线 AB 的距离不小于2，求 p 的取值范围第 12 讲 圆锥曲线方程及最值范围问题考点分析通过比较近几年的高考题，不难发现，集中考察的是抛物线和椭圆，椭圆出现的较多，主要考察的是直线与椭圆或抛物线的位置关系，近几年也出现了与圆的综合问题，难度没有特别大的跳跃，比较平稳，都是以运算为主要考察对象.从考查形式上分析，主要是求解圆锥曲线方程，轨迹问题（也涉及到挖点） ，定点问题，范围问题等.特训典例题型一题型一 求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程例例 1 【高考新课标 1 卷】 （本小题满分 12 分）设圆的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）写出点 E 的轨迹方程；【答案】 （）（）例例 2 【课标 II，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：2212xy上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为N，点 P 满足2NPNM 。(1) 求点 P 的轨迹方程；解析： （1）设00,P x yM xy,设0,0N x, 00,0,NPxxyNMy 。由2NPNM 得002,2xx yy。因为00,M xy在 C 上，所以22122xy。因此点 P 的轨迹方程为222xy。例例 3 （江苏省高邮市 2020 届高三期中考试）已知动点,P x y到定点2 0B，的距离与到定直线8lx ：的距离之比为12，222150 xyx13422yx0y（1）求P点的轨迹H的方程。【答案】x216y2121特训跟踪 1与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_【答案】(1)x225y21612.已知圆 C：(x3)2y24，定点 A(3，0)，则过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹方程为_【解析】设动圆 M 的半径为 R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线的左支，且 a1，c3，b28，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2y281(xb0)的离心率为32，短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOMkON54，求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围.解(1)由题知 eca32，2b2，又 a2b2c2，b1，a2，椭圆 C 的标准方程为x24y21.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程ykxm，x24y21，得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得 m24k21，x1x28km4k21，x1x24m244k21，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.若 kOMkON54，则y1y2x1x254，即 4y1y25x1x2，(4k25)x1x24km(x1x2)4m20，(4k25)4（m21）4k214km(8km4k21)4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得 m2k254，由得 0m265，120k254.原点 O 到直线 l 的距离 d|m|1k2，d2m21k254k21k2194（1k2），又120k254，0d20，将 AB 的中点 M(2mbm22，m2bm22)代入直线方程 ymx12，解得 bm222m2， 由得 m63.(2)令 t1m(62，0)(0，62)，则 t2(0，32).则|AB| t212t42t232t212，且 O 到直线 AB 的距离为 dt212t21.设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)12|AB|d12 2(t212)2222，当且仅当 t212时，等号成立，此时满足 t2(0，32).故AOB 面积的最大值为22.特训跟踪 1.(2020开封质检)已知点 P 是圆 O：x2y21 上任意一点，过点 P 作 PQy 轴于点 Q，延长 QP 到点 M，使QP PM .(1)求点 M 的轨迹 E 的方程；(2)过点 C(m,0)作圆 O 的切线 l，交(1)中的曲线 E 于 A，B 两点，求AOB 面积的最大值解(1)设 M(x，y)，QP PM ，P 为 QM 的中点，又有 PQy 轴，P(x2，y)，点 P 是圆 O：x2y21 上的点，(x2)2y21，即点 M 的轨迹 E 的方程为x24y21.(2)由题意可知直线 l 与 y 轴不垂直，故可设 l：xtym，tR，A(x1，y1)，B(x2，y2)，l 与圆 O：x2y21 相切，|m|t211，即 m2t21， 由Error!Error!消去 x，并整理得(t24)y22mtym240，其中 4m2t24(t24)(m24)480，y1y22mtt24，y1y2m24t24. |AB|x1x22y1y22t21y1y224y1y2，解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围将代入上式得|AB|t21 4m2t2t2424m24t2443|m|m23，|m|1，SAOB12|AB|11243|m|m2323|m|3|m|23231，当且仅当|m|3|m|，即 m3时，等号成立，AOB 面积的最大值为 1.2.（2020山东高三模拟）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为2 3，离心率12e ，其右焦点为F.（1）求椭圆C的方程；（2）过F作夹角为4的两条直线12,l l分别交椭圆C于,P Q和,M N，求|PQMN的取值范围.【答案】 （1）； （2）.【解析】（1）由得，又由得，（2）则，故椭圆C的方程为.（2）由（1）知1,0F，当直线12,l l的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l的方程为，由，设，则，则，由椭圆对称性可设直线2l的斜率为，则，.令，则，当时，当时，由得，所以，即，且.当直线12,l l的斜率其中一条不存在时，根据对称性不妨设设直线1l的方程为，2l斜率不存在，则，此时.若设2l的方程为，1l斜率不存在，则，综上可知|PQMN的取值范围是.特训练习1.（2020 届山东省烟台市高三模拟）已知直线过椭圆222210 xyabab的右焦点，且交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线 l 与线段 AB 相交（不含端点）且交椭圆于 C，D 两点，求四边形面积的最大值.【答案】 （1）2212xy（2）【解析】（1）直线与 x 轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,因为线段 AB 的中点是,设,则,且,又,作差可得,则,得又,所以,因此椭圆的方程为2212xy.（2）由（1）联立,解得或,不妨令,易知直线 l 的斜率存在,设直线,代入2212xy,得,解得或,设,则,则,因为到直线的距离分别是,由于直线 l 与线段 AB（不含端点）相交,所以,即,所以,四边形的面积,令,则,所以,当,即12k 时,，因此四边形面积的最大值为.2.（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径，1l、2l是过点P且互相垂直的两条直线， 其中1l交圆于A、B两点，2l交椭圆于另一点D.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值及取得最大值时直线1l的方程.【答案】 （1）2214xy；当直线1l的方程为时，的面积取最大值.【解析】（1）由题意得，椭圆的方程为2214xy；（2）设、，由题意知直线1l的斜率存在，不妨设其为k，则直线1l的方程为，故点O到直线1l的距离为，又圆，又，直线2l的方程为，由，消去y，整理得，故，代入2l的方程得，设的面积为，则，当且仅当，即时上式取等号，当时，的面积取得最大值，此时直线1l的方程为3.（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知椭圆的离心率为，且椭圆 C 过点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 的右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点， 且与圆 ：交于 E、 F 两点， 求的取值范围【答案】 （1）； （2）【解析】（1）由已知可得，所以， 所以椭圆的方程为，将点带入方程得，即，所以椭圆 C 的标准方程为。（2）椭圆的右焦点为，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，则，所以，；若直线l的斜率存在，设直线l方程为，设，联立直线l与椭圆方程，可得，则，所以，因为圆心到直线l的距离，所以，所以，因为，所以，综上，。4.（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知抛物线，的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线分别为1l，2l，两条切线的交点为D（1）证明：；（2）若的外接圆与抛物线C有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围【答案】 （1）证明见解析（2）或【解析】（1）证明：依题意有，直线，设，直线l与抛物线E相交，联立方程消去y，化简得，所以，又因为，所以直线1l的斜率同理，直线2l的斜率，所以，所以，直线，即（2）由（1）可知，圆是以AB为直径的圆，设是圆上的一点，则，所以，圆的方程为，又因为，所以，圆的方程可化简为，联立圆与抛物线E得消去y，得，即，即，若方程与方程有相同的实数根，则，矛盾，所以，方程与方程没有相同的实数根，所以，圆与抛物线E有四个不同的交点等价于，综上所述，5.(2019全国卷)已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为12.记 M 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G.证明：PQG 是直角三角形；求PQG 面积的最大值.解(1)由题设得yx2yx212，化简得x24y221(|x|2)，(1 分)所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点(2 分)(2)证明：设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ykx(k0)由Error!Error!得 x212k2.记 u212k2，则 P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0) 关键 1：根据题意设出 PQ 的方程，联立直线与椭圆的标准方程，求出 P，Q 点的坐标(4 分)于是直线 QG 的斜率为k2，方程为 yk2(xu)由Error!Error!得(2k2)x22uk2xk2u280.设 G(xG，yG)，则u 和 xG是方程的解，故 xGu3k222k2，由此得 yGuk32k2. 关键 2：设出直线 QG 的方程，联立直线 QG 与椭圆的方程，求出 G 点坐标(6 分)从而直线 PG 的斜率为uk32k2uku3k222k2u1k. 关键 3：利用斜率公式求出 kPG.(7 分)所以 PQPG，即PQG 是直角三角形(8 分)由得|PQ|2u1k2，|PG|2ukk212k2，(9 分)所以PQG 的面积S12|PQ|PG|8k1k212k22k28(1kk)12(1kk)2. 关键 4：求出|PQ|，|PG|并用 k 表示出PQG 的面积(10 分)设 tk1k，则由 k0 得 t2，当且仅当 k1 时取等号(11 分)因为 S8t12t2在2，)单调递减，所以当 t2，即 k1 时，S 取得最大值，最大值为169. 关键 5：利用换元法构建函数，借助函数的单调性求最值.因此，PQG 面积的最大值为169.(12 分)6.(2020山东高考预测卷)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M(a,25)在抛物线 C 上(1)若|MF|6，求抛物线的标准方程；(2)若直线 xyt 与抛物线 C 交于 A，B 两点，点 N 的坐标为(1,0)，且满足 NANB，原点 O 到直线 AB 的距离不小于2，求 p 的取值范围解：(1)由题意及抛物线的定义得，ap26，又点 M(a，25)在抛物线 C 上，所以 202pa，由Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!所以抛物线的标准方程为 y24x 或 y220 x.(2)法一：联立方程，得Error!Error!消去 y，整理得 x2(2t2p)xt20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得 x1x22t2p，x1x2t2.因为 NANB，所以(x11)(x21)y1y20，又 y1tx1，y2tx2，所以 2x1x2(1t)(x1x2)t210，得 2pt22t1t1.由原点 O 到直线 AB 的距离不小于2，得|t|22，即 t2(舍去)或 t2，因为 2pt22t1t1t14t14，函数 yt22t1t1在 t2，)上单调递增，所以 p16，即 p 的取值范围为16，).法二 ： 将直线 xyt，抛物线 C，点 N 均向左平移 1 个单位长度，得到直线 x1yt，抛物线 y22p(x1)(p0)与点 N(0,0)联立方程，得Error!Error!消去 y，整理得 x2(2t22p)x(t1)22p0，设直线 x1yt 与抛物线 y22p(x1)交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得 x1x2(t1)22p.消去 x，整理得 y22py2pt0，由根与系数的关系可得 y1y22pt.由已知得，x1x2y1y20，所以(t1)22p2pt0，整理得 2pt22t1t1.易得|t|22，即 t2(舍去)或 t2，因为 2pt22t1t1t14t14，所以函数 yt22t1t1在 t2，)上单调递增，所以 p16，即 p 的取值范围为16，).