第2讲 空间向量基本定理和坐标运算及平行垂直证明应用 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 2 讲 空间向量基本定理和坐标运算及平行垂直证明玩前必备1空间向量基本定理(1)如果三个向量a a，b b，c c不共面，那么对空间任一向量p p，存在有序实数组x，y，z，使得p pxa ayb bzc c，把a a，b b，c c叫做空间的一个基底，a a，b b，c c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a a，b b，c c中，没有零向量(3)单位正交基底：如果e e1，e e2，e e3为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为 1；且向量e e1，e e2，e e3有公共的起点2.空间向量的坐标表示(1)设e e1，e e2，e e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e e1，e e2，e e3的公共起点O为原点，分别以e e1，e e2，e e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP p p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得p pxe e1ye e2ze e3，我们把x，y，z称作向量p p在单位正交基底e e1 1，e e2，e e3下的坐标，记作p p(x，y，z)，此时向量p p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)(2)向量p p的坐标是把向量p p的起点平移到坐标原点O，则OP 的终点P的坐标就是向量p p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.3空间向量的坐标运算科网 ZXXK(1)空间向量a a，b b，其坐标形式为：a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，则a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a a(a1，a2，a3)，a ab ba1b1a2b2a3b3.(2)a aa a|a a|2222123aaa.4.4.空间向量的平行、垂直及模、夹角设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，则满足条件名称向量表示形式坐标表示形式a ab ba ab b(R R)a1b1，a2b2，a3b3(R R)a ab ba ab b0a1b1a2b2a3b30模|a a|a a |a a|222123aaa夹角cos a a，b b|a ba b cos a a，b b1 1223 3222222123123aba ba baaabbb 5.直线l的方向向量为a a(a1，b1，c1)平面，的法向量u u(a3，b3，c3)，v v(a4，b4，c4)(1)线面平行：la au ua au u0a1a3b1b3c1c30(2)线面垂直：la au ua aku ua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：u uv vu ukv va3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：u uv vu uv v0a3a4b3b4c3c40玩转典例题型一 空间向量基本定理例 1 , ,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A,a ab ab B,b ab ab C,c ab ab D,2ab ab ab 例 2 已知ABCDA B C D 是平行六面体（1）化简1223AABCAB ，并在图形中标出其结果；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC B 的对角线BC上的点，且:3:1BN NC ，设MNABADAA ，试求，的值玩转跟踪1.（2020 秋桃城区校级期中）已知1，2，3是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（）1，22，2322，21，2+2121+2，2+3， 1+533，1+3，1+3ABCD2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，设1,ABa ADb AAc ，E，F 分别是 AD1，BD 的中点（1）用向量, ,a b c 表示1,D B EF ， ；（2）若1D Fxaybzc ，求实数 x，y，z 的值题型二空间向量坐标运算例 3 已知空间中三点2,0, 2A，1, 1, 2B ，3,0, 4C，设aAB ，bAC.（1）若3c ，且/ /cBC ，求向量c；（2）已知向量kab与b互相垂直，求k的值；（3）求ABC的面积.例 4 设向量，其中，则下列判断错误的是（ ）A向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）B的最大值为C与夹角的最大值为D的最大值为 l玩转跟踪1.（2020 春杭州期中）已知 = （1，2，3） ， = （1，0，1） ， = 2， = m ，求实数 m 的值，使得（1） ；（2） 2.（2020 秋辽宁期末）已知 A（1，0，0） ，B（0，1，1） ，O 是坐标原点， +与的夹角为120，则 的值为（）A66B66C 66D63.（2021 春普陀区校级期末）设空间向量 = （1，2，m） ， = （2，n，4） ，若，则| | 4.（2020 春东阳市校级月考）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，底面边长为2（1）设侧棱长为 1，求证：AB1BC1；（2）设 AB1与 BC1的夹角为3，求侧棱的长5.如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）ABCD题型三平行垂直的证明例 5例 5 如图所示，ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PA=AD，M，N，Q 分别是 PC，AB，CD 的中点.求证:（1）MN平面 PAD；（2）平面 QMN平面 PAD.例 6例 6 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点（1）证明：平面 AED平面 A1FD1；（2）在 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 DAE玩转跟踪1.（2020天津一中高三月考）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，二面角的平面角为，M为AB中点，为中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；2. （2020江苏高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，点E,分别是AB,的中点.（1）求证：平面；（2）若点M为棱上一点，且平面平面， 求证：玩转练习1.（2020六盘山高级中学高二期末（理） ）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）A，B，C，D，2.（2020上海市七宝中学高三开学考试）如图，在斜三棱柱中，的中点为，则可用、b、表示为（ ）ABCD3 （2020 秋新乡期末）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是线段 D1B 上一点，且 BP2D1P，若= x + y + z1，则 x+y+z（）A53B23C43D14 （2020 秋太原期末）已知 = （1，1，2） ， = （1，m，n） ，若 = ，则实数 m，n 的值分别是（）A1，2B1，2C1，2D1，25 （2020 秋临沂期末）若向量 = （0，1，1） ， = （1，1，0） ，且（ + ），则实数 的值是（）A1B0C2D16 （2020 秋德城区校级期中）已知空间向量 = （3，0，1） ， = （2，1，n） ， = （1，2，3）且（ ） = 2，则与的夹角的余弦值为（）A21021B 21021C721D 7217.（2020 秋鼓楼区校级期末） 已知动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的对角线 BD1（不含端点） 上 设11= ，若APC 为钝角，则实数 的取值范围为（）A （0，13）B （0，12）C （13，1）D （12，1）8已知向量 = （1，2，3） ， = （3，0，1） ， = （1，5，3） ，下列等式中正确的是（）A （） =B （ +） = （ +）C （ + +）2=2+2+2D| + +| |9 （2020 秋海珠区期末）已知直线 l1、l2的方向向量分别是 = （2，4，x） ， = （2，y，2） ，若|6 且 l1l2，则 x+y 的值可以是（）A3B1C1D310 （2020 秋长沙月考）设动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1上（含内部） ，且1 = 1，当APC 为锐角时，实数 可能的取值是（）A12B13C14D1511.（2020上海市延安中学高二期中）已知，则向量与的夹角是_.12.（2020吉林高二期中）已知，且，则_.13 （2020河南高二期末（理） ）若向量(1, ,2),(2, 1,2)ab，且ab，则等于_.14 （2020安徽高二期末）如图所示，正三棱柱111ABCABC的底面边长是 2，侧棱长是3，D是AC的中点（）求证：1/ /BC平面1ABD；（）在线段1AA上是否存在一点E，使得平面11BC E 平面1ABD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由15 （2020内蒙古集宁一中高二月考（理） ）如图所示，正方形11AAD D与矩形ABCD所在平面互相垂直，22ABAD，点E为AB的中点（1）求证：11D EAD；（2）求证：1/ /BD平面1ADE.16 （2019全国高三专题练习）如图正方形ABCD的边长为2 2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO3，且FO平面ABCD.(1)求证：AE平面BCF；(2)求证：CF平面AEF.第 2 讲 空间向量基本定理和坐标运算及平行垂直证明玩前必备1空间向量基本定理(1)如果三个向量a a，b b，c c不共面，那么对空间任一向量p p，存在有序实数组x，y，z，使得p pxa ayb bzc c，把a a，b b，c c叫做空间的一个基底，a a，b b，c c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a a，b b，c c中，没有零向量(3)单位正交基底：如果e e1，e e2，e e3为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为 1；且向量e e1，e e2，e e3有公共的起点2.空间向量的坐标表示(1)设e e1，e e2，e e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e e1，e e2，e e3的公共起点O为原点，分别以e e1，e e2，e e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP p p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得p pxe e1ye e2ze e3，我们把x，y，z称作向量p p在单位正交基底e e1 1，e e2，e e3下的坐标，记作p p(x，y，z)，此时向量p p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)(2)向量p p的坐标是把向量p p的起点平移到坐标原点O，则OP 的终点P的坐标就是向量p p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.3空间向量的坐标运算科网 ZXXK(1)空间向量a a，b b，其坐标形式为：a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，则a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a a(a1，a2，a3)，a ab ba1b1a2b2a3b3.(2)a aa a|a a|2222123aaa.4.4.空间向量的平行、垂直及模、夹角设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，则满足条件名称向量表示形式坐标表示形式a ab ba ab b(R R)a1b1，a2b2，a3b3(R R)a ab ba ab b0a1b1a2b2a3b30模|a a|a a |a a|222123aaa夹角cos a a，b b|a ba b cos a a，b b1 1223 3222222123123aba ba baaabbb 5.直线l的方向向量为a a(a1，b1，c1)平面，的法向量u u(a3，b3，c3)，v v(a4，b4，c4)(1)线面平行：la au ua au u0a1a3b1b3c1c30(2)线面垂直：la au ua aku ua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：u uv vu ukv va3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：u uv vu uv v0a3a4b3b4c3c40玩转典例题型一 空间向量基本定理例 1 , ,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A,a ab ab B,b ab ab C,c ab ab D,2ab ab ab 【答案】C【解析】对于 A，因为()()2ababa，所以,a ab ab 共面，不能构成基底，排除 A，对于 B，因为)()2ababb(，所以,b ab ab 共面，不能构成基底，排除 B，对于 D，312()()22ababab，所以,2ab ab ab 共面，不能构成基底，排除 D，对于 C， 若,c ab ab 共面， 则()()()()cababab， 则, ,a b c 共面， 与, ,a b c 为空间向量的一组基底相矛盾，故,c ab ab 可以构成空间向量的一组基底，故选 C例 2 已知ABCDA B C D 是平行六面体（1）化简1223AABCAB ，并在图形中标出其结果；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC B 的对角线BC上的点，且:3:1BN NC ，设MNABADAA ，试求，的值【解析】 （1）如图所示，取线段AA中点 E，则12EAAA，BCADA D ，取23D FD C ，ABD C ，2233ABD CD F 则2312AABCABEAA DD FEF （2）MNMBBN 1243BCDB 314()()2DAABBCCC 113244ABADAA ABADAA ，12，14 ，34 玩转跟踪1.（2020 秋桃城区校级期中）已知1，2，3是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（）1，22，2322，21，2+2121+2，2+3， 1+533，1+3，1+3ABCD【分析】利用平面向量基本定理、空间向量基底的意义即可判断出【解答】解 ： 假设存在非 0 实数 a，b，c 使得1+ 22+(23) =0，化为1+(2 + )23=0，1，2，3是空间的一个基底， = 02 + = 0 = 0，解得 abc0，故假设不成立，因此1，22，23可以作为空间的一个基底21，21，2+21一定是共面向量，因此不能作为空间向量的一个基底；假设存在实数 a，b，c 使得(21+2) + (2+3) + ( 1+53) =0，化为，(2 )1+( + )2+( + 5)3=0，1，2，3是空间的一个基底，2 = 0 + = 0 + 5 = 0，解得 abc0，故假设不成立因此可以作为空间的一个基底3，1+3，1+3一定是共面向量，因此不能作为空间向量的一个基底综上可知：只有能作为空间一个基底故选：D2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，设1,ABa ADb AAc ，E，F 分别是 AD1，BD 的中点（1）用向量, ,a b c 表示1,D B EF ， ；（2）若1D Fxaybzc ，求实数 x，y，z 的值【解析】 （1），.（2），所以.题型二空间向量坐标运算例 3 已知空间中三点2,0, 2A，1, 1, 2B ，3,0, 4C，设aAB ，bAC.（1）若3c ，且/ /cBC ，求向量c；（2）已知向量kab与b互相垂直，求k的值；（3）求ABC的面积.【解析】 （1）空间中三点2,0, 2A，1, 1, 2B ，3,0, 4C，设aAB ，bAC，所以，且，设，或（2），且向量kab与b互相垂直，解得的值是（3）因为， ，例 4 设向量，其中，则下列判断错误的是（ ）A向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）B的最大值为C与夹角的最大值为D的最大值为 l【答案】B【解析】由向量，其中，知：在 A 中，设 z 轴正方向的方向向量，向量与 z 轴正方向的夹角的余弦值：，向量与 z 轴正方向的夹角为定值 45（与 c，d 之值无关） ，故 A 正确；在 B 中，且仅当 ac，bd 时取等号，因此的最大值为 1，故 B 错误；在 C 中，由 B 可得：，与的夹角的最大值为，故 C 正确；在 D 中，adbc 的最大值为 1故 D 正确故选 B玩转跟踪1.（2020 春杭州期中）已知 = （1，2，3） ， = （1，0，1） ， = 2， = m ，求实数 m 的值，使得（1） ；（2） 【解题思路】 （1）分别求出向量和向量，根据 = 0，求出 m 的值即可； （2）根据向量的平行关系求出 m 的值即可【解答过程】解： （1） = (1，2，3) 2(1，0，1) = ( 1，2，1)， = (1，2，3) (1，0，1) = ( 1，2，3 1)， = ( 1)( 1) + 4 + 3 1 = 0，m0；（2） = ， 11=22=3 11， =12.2.（2020 秋辽宁期末）已知 A（1，0，0） ，B（0，1，1） ，O 是坐标原点， +与的夹角为120，则 的值为（）A66B66C 66D6【解题思路】首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角求出结果【解答过程】解：因为 + = （1，0，0）+（0，1，1）（1，） ，所以| +| =1 + 22，| =2， （ + ） = 2，所以 cos 120 =22 22+ 1= 12，所以 0，且 4 = 42+ 2解得： = 66故选：C3.（2021 春普陀区校级期末）设空间向量 = （1，2，m） ， = （2，n，4） ，若，则| | 【解题思路】先利用空间向量共线定理， 得到 = ， 由此求出 m 和 n 的值， 得到，的坐标， 求出 的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可【解答过程】解：因为空间向量 = （1，2，m） ， = （2，n，4） ，且，所以 = ，即（2，n，4）（1，2，m） ，可得2 = = 24 = ，解得 m2，n4，所以 = （1，2，2） ， = （2，4，4） ，则 = （3，6，6） ，所以| | =( 3)2+ 62+ 62= 9故答案为：94.（2020 春东阳市校级月考）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，底面边长为2（1）设侧棱长为 1，求证：AB1BC1；（2）设 AB1与 BC1的夹角为3，求侧棱的长【解题思路】 （1）推导出1= +1，1=1+，由 BB1平面 ABC，ABC 为正三角形，得到， =23从而11= （ +1） （1+）0，由此能证明 AB1BC1（2） 推导出11= |cos， +12=12 1 |1|1|， 从而 cos1，1 =12 12 +12=12，由此能求出侧棱长【解答过程】证明： （1）1= +1，1=1+因为 BB1平面 ABC，所以1 = 0，1 = 0又ABC 为正三角形，所以， = ， = 3=23因为11= （ +1） （1+）=1+ +12+1 |cos， +12= 1+10，所以 AB1BC1解： （2）由（1）知11= |cos， +12=12 1又|1| =2+12=2 +12= |1|，所以 cos1，1 =12 12 +12=12，所以|1|2，即侧棱长为 25.如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】如下图所示，以点D为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则点、，设点，得，由，得，得，当时，取得最大值.故选 D.题型三平行垂直的证明例 5例 5 如图所示，ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PA=AD，M，N，Q 分别是 PC，AB，CD 的中点.求证:（1）MN平面 PAD；（2）平面 QMN平面 PAD.【解析】 （1）证明:如图以 A 为原点，以 AB，AD，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设 B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，则 C(b，d，0)，因为 M，N，Q 分别是 PC，AB，CD 的中点，所以 M，N，Q，所以.因为平面 PAD 的一个法向量为 m=(1，0，0)，所以m=0，即m.因为 MN 不在平面 PAD 内，故 MN平面 PAD.（2）=(0，-d，0)，m，又 QN 不在平面 PAD 内，又 QN平面 PAD.又因为 MNQN=N，所以平面 MNQ平面 PAD例 6例 6 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点（1）证明：平面 AED平面 A1FD1；（2）在 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 DAE【解析】 （1）证明：建立空间直角坐标系 D-xyz，不妨设正方体的棱长为 2，则 A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2).设平面 AED 的法向量为 n1=(x1，y1，z1)，则2x1=0，2x1+2y1+z1=0.令 y1=1，得 n1=(0，1，-2).同理可得平面 A1FD1的法向量 n2=(0，2，1).因为 n1n2=0，所以平面 AED平面 A1FD1.（2）因为点 M 在直线 AE 上，所以可设=(0，2，1)=(0，2，)，可得 M(2，2，)，于是=(0，2，-2)，要使 A1M平面 DAE，需有 A1MAE，所以=(0，2，-2)(0，2，1)=5-2=0，得 =.故当 AM=AE 时，A1M平面 DAE.玩转跟踪1.（2020天津一中高三月考）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，二面角的平面角为，M为AB中点，为中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；【答案】 （1）详见证明； （2）详见证明； （3）.【解析】 （1）因为平面ABCD，所以，又因为底面ABCD为矩形，所以，因为，平面，所以平面，所以，因为，且二面角的平面角为，所以，故，设，因为底面ABCD为矩形，平面ABCD，故，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，显然平面的法向量为，因为，所以，因为平面，所以平面；（2）由（1）得，设平面的法向量为， 故有即令，则，同理，可得平面的法向量为，因为，所以，所以平面平面；2. （2020江苏高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，点E,分别是AB,的中点.（1）求证：平面；（2）若点M为棱上一点，且平面平面， 求证：【答案】 （1）见解析； （2）见解析.【解析】 平面ABCD，平面 平面ABCD，平面 又因为所以，则两两垂直，则以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系则各点的坐标为因为点分别是AB，的中点，所以 （1）证明：设平面的一个法向量为因为由得，令所以则因为所以 又平面所以平面. （2）证明：因为M为棱上一点，所以 设则，所以即所以 设平面的一个法向量为则所以消去y可得令则所以 平面平面 则所以 从而因为所以则即玩转练习1.（2020六盘山高级中学高二期末（理） ）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】，共面，不能构成基底，排除；，共面，不能构成基底，排除；，共面，不能构成基底，排除D；若、，共面，则，则、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底故选：C2.（2020上海市七宝中学高三开学考试）如图，在斜三棱柱中，的中点为，则可用、b、表示为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为.故选：A.3 （2020 秋新乡期末）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是线段 D1B 上一点，且 BP2D1P，若= x + y + z1，则 x+y+z（）A53B23C43D1【解题思路】根据空间向量的基本定理进行分解即可【解答过程】解：BP2D1P， = 21，即 = 2（1）21 2，即 3 = + 21，即 =13 +231=13 +23 +231，所以 =13， =23， =23，所以 + + =53故选：A4 （2020 秋太原期末）已知 = （1，1，2） ， = （1，m，n） ，若 = ，则实数 m，n 的值分别是（）A1，2B1，2C1，2D1，2【解题思路】根据空间向量共线的坐标表示，列方程求出 m、n 的值【解答过程】解： = （1，1，2） ， = （1，m，n） ，若 = ，则1 = 1 = 2 = ，解得 m1，n2故选：A5 （2020 秋临沂期末）若向量 = （0，1，1） ， = （1，1，0） ，且（ + ），则实数 的值是（）A1B0C2D1【解题思路】利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答过程】解：（ + ），（ + ） =2+ = (2)2+ （0+1+0）0，解得 2故选：C6 （2020 秋德城区校级期中）已知空间向量 = （3，0，1） ， = （2，1，n） ， = （1，2，3）且（ ） = 2，则与的夹角的余弦值为（）A21021B 21021C721D 721【解题思路】根据（ ） = 2，求出 n 的值，从而求出，根据向量数量积的运算求出与的夹角的余弦值即可【解答过程】解：由题意得： = （2，2，2） ，则（ ） = 422n2，解得：n4，即 = （2，1，4） ，而| =10，| =21， = 10，则 cos， = | |=1010 21= 21021，故选：B7.（2020 秋鼓楼区校级期末） 已知动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的对角线 BD1（不含端点） 上 设11= ，若APC 为钝角，则实数 的取值范围为（）A （0，13）B （0，12）C （13，1）D （12，1）【解题思路】建立空间直角坐标系，利用APC 不是平角，可得APC 为钝角等价于 cosAPC0，即 0，从而可求 的取值范围【解答过程】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则有 A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，1，0） ，D（0，0，1）1 = （1，1，1） ，设1 = （，） ， =1+1 = （，）+（1，0，1）（1，1） ， =1+1 = （，）+（0，1，1）（，1，1） ，由图知APC 不是平角，APC 为钝角等价于 cosAPC0， 0，（1） （）+（） （1）+（1）2（1） （31）0，解得131 的取值范围是（13，1）故选：C8已知向量 = （1，2，3） ， = （3，0，1） ， = （1，5，3） ，下列等式中正确的是（）A （） =B （ +） = （ +）C （ + +）2=2+2+2D| + +| |【解题思路】利用空间向量数量积的坐标运算逐一计算即可得解【解答过程】解：对于 A，左边为向量，右边为实数，显然不相等，故 A 不正确；对于 B， （ +） = （4，2，2） （1，5，3）0， （ +）（1，2，3） （2，5，4）2+10120，（ +） = （ +） ，故 B 正确；对于 C， + + = （3，7，1） ， （ + +）232+72+（1）259，2+2+212+22+32+32+0+（1）2+（1）2+52+（3）259，（ + +）2=2+2+2，故 C 正确；对于 D，由 C 可得：| + +| =59， = （1，3，7） ，| | =59，| + +| |，故 D 正确故选：BCD9 （2020 秋海珠区期末）已知直线 l1、l2的方向向量分别是 = （2，4，x） ， = （2，y，2） ，若|6 且 l1l2，则 x+y 的值可以是（）A3B1C1D3【解题思路】由|6 且 l1l2，列出方程组，求出 x，y 的值，由此能求出 x+y 的值【解答过程】解：直线 l1、l2的方向向量分别是 = （2，4，x） ， = （2，y，2） ，|6 且 l1l2，4 + 16 + 2= 64 + 4 + 2 = 0，解得2= 16 + 2 + 2 = 0， = 4 = 3或 = 4 = 1，x+y1 或 x+y3故选：AC10 （2020 秋长沙月考）设动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1上（含内部） ，且1 = 1，当APC 为锐角时，实数 可能的取值是（）A12B13C14D15【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，由此表示向量、，由APC 为锐角，利用空间向量数量积的坐标运算可得关于 的不等式，解得 的取值范围，分析选项可得答案【解答过程】解：由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则 A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，1，0） ，D（0，0，1）由1 = （1，1，1） ，得1 = （，） ，所以 = （，）+（1，0，1）（1，1） ， = （，）+（0，1，1）（，1，1） ，所以APC 为锐角等价于 cosAPC0，则等价于0，即（1） （）+（） （1）+（1）2（1） （31）0，又由 01，解可得 013，因此， 的取值范围是0，13） ，分析选项：140，13） ，150，13） ，故选：CD11.（2020上海市延安中学高二期中）已知，则向量与的夹角是_.【答案】【解析】，即与的夹角为，故答案为：12.（2020吉林高二期中）已知，且，则_.【答案】【解析】2,1,3a ，4,2,bx ，且ab2 ( 4)1 230 x ，解得2x ，2222( 4)(12)(32)38ab 。故答案为：3813 （2020河南高二期末（理） ）若向量(1, ,2),(2, 1,2)ab，且ab，则等于_.【答案】6【解析】由题意知，向量(1, ,2),(2, 1,2)abab=0ab ，即1 2-12 20 ，解得6，故答案为 6。14 （2020安徽高二期末）如图所示，正三棱柱111ABCABC的底面边长是 2，侧棱长是3，D是AC的中点（）求证：1/ /BC平面1ABD；（）在线段1AA上是否存在一点E，使得平面11BC E 平面1ABD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由【答案】 （I）见解析； （II）存在点E，使得平面11BC E 平面1ABD，且33AE 【解析】 （I）连接1AB交1AB于点M，连接MD三棱柱111ABCABC是正三棱柱，四边形11BAAB是矩形，M为1AB的中点D是AC的中点，1/ /MDBC又MD 平面1ABD，1BC 平面1ABD，1/ /BC平面1ABD（II）作COAB于点O，则CO 平面11ABB A，以O为坐标原点建立空间直角坐标系如图，假设存在点E，设1, ,0Ea12,3,ABAAD是AC的中点，1111,0,0 ,1,0,0 ,0,0, 3 ,1, 3,0 ,1, 3,0 ,0, 3, 3ABCABC11333,0,0,2, 3,02222DBDBA 设是平面1ABD的法向量为1, ,nx y z，111,nBD nBA ，33022230 xzxy，令3x ，得13,2,3n 1, ,0Ea，则1111,3,3 ,1,0,3C EaC B 设平面11BC E的法向量为2, ,nx y z ，21211,nC E nC B 33030 xayzxz ，令3z ，得263,33na 平面11BC E 平面1ABD，120n n ，即123 33 303a，解得33a 存在点E，使得平面11BC E 平面1ABD，且33AE 15 （2020内蒙古集宁一中高二月考（理） ）如图所示，正方形11AAD D与矩形ABCD所在平面互相垂直，22ABAD，点E为AB的中点（1）求证：11D EAD；（2）求证：1/ /BD平面1ADE.【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】 （1）证明 由题意可得1D D 平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则0,0,0D，0,2,0C，11,0,1A，10,0,1D，1,2,0B，1,1,0E.11,1, 1D E ，11,0, 1AD ， 111,1, 11,0, 10D E AD ，11D EAD ，故11D EAD.（2）证明 由题意得11,0,1DA ，1,1,0DE ，设平面1ADE的一个法向量为1111,nx y z，则11100n DAn DE ，得111100 xzxy，取11x ，则11, 1, 1n 是平面1ADE的一个法向量，又11, 2,1BD ，且 111, 2,11, 1, 10BD n ，故11BDn ，又1BD不在平面1ADE内，故1/ /BD平面1ADE.16 （2019全国高三专题练习）如图正方形ABCD的边长为2 2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO3，且FO平面ABCD.(1)求证：AE平面BCF；(2)求证：CF平面AEF.【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析.【解析】(1)取 BC 中点 H，连接 OH，则 OHBD，又四边形 ABCD 为正方形，ACBD，OHAC，以 O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 A(3，0，0)，E(1，2，3)，C(1，0，0)，D(1，2，0)，F(0，0，3)，B(1，2，0). BC (2，2，0)，CF (1，0，3)，BF (1，2, 3)设平面 BCF 的法向量为n(x，y，z)，则n BC220n CF30 xyxz .取 z1，得n(3，3，1)又四边形 BDEF 为平行四边形，DE BF (1，2，3)，AE ADDE BC DE (2，2，0)(1，2，3)(3，4，3)，AE n334330，AE n，又 AE平面 BCF，AE平面 BCF.(2)AF (3，0，3)，CF AF 330，CF AE 330，CF AF ，CF AE ，又 AEAFA，CF平面 AEF.