第1讲 空间向量的概念和运算 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 1 讲 空间向量的概念及其运算玩前必备一空间向量的概念一空间向量的概念1定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量2长度或模：向量的大小3表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母 a，b，c，表示；若向量 a 的起点是 A，终点是 B，也可记作，其模记为|a|或|.4几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0单位向量模为 1 的向量称为单位向量相反向量与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为 a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 那么这些向量叫做共线向量或平行向量 规定 ： 对于任意向量 a， 都有 0a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量二空间向量的线性运算二空间向量的线性运算加法abOA AB OB 空间向量的线性运算减法abOA OC CA 数乘当 0 时，aOA PQ ；当 0 时，aOA MN ；当 0 时，a0运算律交换律：abba；结合律：a(bc)(ab)c，(a)()a；分配律：()aaa，(ab)ab.三共线向量三共线向量1空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使 ab.2直线的方向向量在直线 l 上取非零向量 a，我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量四共面向量四共面向量1共面向量如图，如果表示向量 a 的有向线段所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l.如果直线 OA 平行于平面 或在平面 内，那么称向量 a 平行于平面 .平行于同一个平面的向量，叫做共面向量2向量共面的充要条件如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb.五空间向量的数量积五空间向量的数量积定义已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cos a，b叫做 a，b 的数量积，记作ab.即 ab|a|b|cosa，b 规定：零向量与任何向量的数量积都为 0.性质abab0aaa2|a|2运算律(a)b(ab)，R. abba(交换律)a(bc)abac(分配律).玩转典例题型一题型一 空间向量的线性运算例 1 （2020 秋仓山区校级期末） 已知三棱锥 OABC，点 M，N 分别为 AB，OC 的中点，且 =， =， =用，表示，则等于（）A12（ + ）B12（ + +）C12（ +）D12（ ）玩转跟踪1.（2021 春成都期中）如图，在三棱锥 SABC 中，点 E，F 分别是 SA，BC 的中点，点 G 在棱 EF 上，且满足=12，若 =， =， =，则 = （）A13 12 +16B13 +16 +16C16 13 +12D13 16 +122.（2020 秋长安区校级期末）如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是棱 CC1的中点，连结B1M，BC1交于点 P，则（）A =23 +23 +1B = +23 +231C =23 + +231D = +12 +121题型二共线定理、共面定理的应用例 2 （2020 秋镜湖区校级期末）在四面体 OABC 中，点 M 在 OA 上，且 OM2MA，N 为 BC 的中点，若 =13 +4 +4，则使 G 与 M，N 共线的 x 的值为（）A1B2C23D43例 3例 3 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 B1B 和 D1D 上，且 BE =13BB1，DF =23DD1（1）证明：A，E，C1，F 四点共面；（2）试用，1表示例 4 如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且12PHHC，点 G 在 AH上，且AGAH=m，若 G，B，P，D 四点共面，求 m 的值.玩转跟踪1 （2020 秋河西区校级月考）设1，2是空间两个不共线的向量，已知 =1+ k2， = 51+ 42， = 1 22，且 A，B，D 三点共线，则实数 k 2.（2020浙江高二期末） 在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，,E F G分别在棱1,BB BC BA上，且满足134BEBB ，12BFBC ，12BGBA ，O是平面1BGF，平面ACE与平面11B BDD的一个公共点，设BOxBGyBFzBE ，则xyzA.45B.65C.75D.85题型三空间向量的数量积及应用例 5例 5 （2020山东高二期末（理） ）在棱长为 2 的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则(AE CF )A0B2C2D3例 6例 6 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 D1C1的中点，试求11ACDE与所成角的余弦值.例 7 例 7 如图，在平行四边形ABCD中，2AB ，2AC ，90ACD，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60角，求此时B，D之间的距离例 8 例 8 如图所示，已知P是ABC所在平面外一点，,PAPC PBPC PAPB，求证：P在平面ABC上的射影H是ABC的垂心玩转跟踪1.（2020济南二模） 如图，四棱锥 OABCD 中，AC 垂直平分 BD，|2，|1，则（ +） （）的值是 2多选（2020山东省高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCDABC D，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60，下列说法中正确的是（ ）A2212AAABADAC B10ACABAD C向量1BC与1AA的夹角是 60D1BD与AC所成角的余弦值为633. （2020宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理） ）平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为 60,且|AB |=1,|AD|=2,|1AA|=3,则|1AC |等于()A5B6C4D84.（2020 春伊宁市校级期中）已知 a，b 是异面直线，且 ab，1，2分别为取自直线 a，b 上的单位向量，且， = 21+32， = k142，则实数 k 的值为（）A6B6C3D3玩转练习1 （2020江西高二期中（理） ）在下列命题中：若a、b共线，则表示a、b的有向线段所在的直线平行；若表示a、b的有向线段所在直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c 三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c不共面，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc, ,x y zR其中正确命题的个数为A0B1C2D32 （2020新疆阿克苏市实验中学高二月考（理） ） 在平行六面体 ABCD-EFGH 中，若AG=xAB 2yBC +3zDH ，则 xyz 等于( )A76B23C56D13 （2020四川树德中学高二期中（理） ）如图所示，平行六面体1111ABCDABC D中，以顶点A为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为60.求1BD与AC夹角的余弦值是（ ）A33B66C217D2134 （2020宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末（理） ）已知O为空间任意一点，若311488OPOAOBOC ，则, , ,A B C P四点（ ）A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断5 （2020山东省青岛二中高二期末）有下列四个命题：已知1e和2e 是两个互相垂直的单位向量，a 21e 32e ，1bke42e ，且ab，则实数k6；已知正四面体OABC的棱长为 1，则（OAOB ） （CACB ）1；已知A（1，1，0） ，B（0，3，0） ，C（2，2，3） ，则向量AC在AB 上正投影的数量是55；已知1ae223ee ，1be 32e 23e，c 31e 72e （1e，2e ，3e为空间向量的一个基底） ，则向量a，b，c不可能共面其中正确命题的个数为（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个6 （2020宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理） ）平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为 60,且|AB |=1,|AD|=2,|1AA|=3,则|1AC |等于()A5B6C4D87 （2020山东省章丘四中高二月考） 如图所示， 在空间四边形OABC中，OA a OBb OCc ， 点M在OA上，且2,OMMA Nuuuruuu r为BC中点，则MN （ ）A121232abcB211322abcC111222abcD221b332ac8 （2020江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体1111ABCDABC D中，12,AMMC 1AMxAByADzAA ，则实数x，y，z的值分别为( )A1,32,323B2,31,323C2,32,313D2,31,2239 （多选） （2020 秋天宁区校级期中）下列条件中，使点 P 与 A，B，C 三点一定共面的是（）A =13 +23B =13 +13 +13C = + +D + + + =010 （多选） （2020 秋新泰市校级期中）定义空间两个向量的一种运算 = |sin，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A =B（）（）C （ +） = （）+（）D若 = （x1，y1） ， = （x2，y2） ，则 = |x1y2x2y1|11 （2020涟水县第一中学高二月考）, ,A B C D是空间四点，有以下条件：11ODOAOBOC23 ； 111234ODOAOBOC ；111ODOAOBOC235 ； 111ODOAOB236OC ，能使, ,A B C D四点一定共面的条件是_12 （2020江苏省邗江中学高二期中）已知, ,i j k 为空间两两垂直的单位向量，且32,2 ,aijk bijk 则数量积a b =_13 （2020湖南省衡阳市八中高二期中（理） ）已知O是空间任一点，, ,A B C D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且234OAx BOy COz DO ，则234xyz_.14 （2020上海交大附中高二期中） 平行六面体1111ABCDABC D中， 已知底面四边形ABCD为正方形，且113A ABA AD ，其中，设1ABAD，1AAc，体对角线12AC ，则c的值是_.15 （2020 秋太原期末）如图，三棱锥 OABC 各棱的棱长都是 1，点 D 是棱 AB 的中点，点 E 在棱 OC上，且 = ，记 =， =， =（1）用向量，表示向量；（2）求 DE 的最小值16如图，四棱锥 PABCD 的各棱长都为 a（1）用向量法证明 BDPC；（2）求| +|的值第 1 讲 空间向量的概念及其运算玩前必备一空间向量的概念一空间向量的概念1定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量2长度或模：向量的大小3表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母 a，b，c，表示；若向量 a 的起点是 A，终点是 B，也可记作，其模记为|a|或|.4几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0单位向量模为 1 的向量称为单位向量相反向量与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为 a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 那么这些向量叫做共线向量或平行向量 规定 ： 对于任意向量 a， 都有 0a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量二空间向量的线性运算二空间向量的线性运算加法abOA AB OB 空间向量的线性运算减法abOA OC CA 数乘当 0 时，aOA PQ ；当 0 时，aOA MN ；当 0 时，a0运算律交换律：abba；结合律：a(bc)(ab)c，(a)()a；分配律：()aaa，(ab)ab.三共线向量三共线向量1空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使 ab.2直线的方向向量在直线 l 上取非零向量 a，我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量四共面向量四共面向量1共面向量如图，如果表示向量 a 的有向线段所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l.如果直线 OA 平行于平面 或在平面 内，那么称向量 a 平行于平面 .平行于同一个平面的向量，叫做共面向量2向量共面的充要条件如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb.五空间向量的数量积五空间向量的数量积定义已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cos a，b叫做 a，b 的数量积，记作ab.即 ab|a|b|cosa，b 规定：零向量与任何向量的数量积都为 0.性质abab0aaa2|a|2运算律(a)b(ab)，R. abba(交换律)a(bc)abac(分配律).玩转典例题型一题型一 空间向量的线性运算例 1 （2020 秋仓山区校级期末） 已知三棱锥 OABC，点 M，N 分别为 AB，OC 的中点，且 =， =， =用，表示，则等于（）A12（ + ）B12（ + +）C12（ +）D12（ ）【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出【解答】解：点 M 为 AB 的中点， =12（ +） =12 +12，点 N 分别为 OC 的中点， =12 =12， = =12 12 12 =12（ ） 故选：D玩转跟踪1.（2021 春成都期中）如图，在三棱锥 SABC 中，点 E，F 分别是 SA，BC 的中点，点 G 在棱 EF 上，且满足=12，若 =， =， =，则 = （）A13 12 +16B13 +16 +16C16 13 +12D13 16 +12【分析】类比平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则可求【解答】解：因为 = + =12 +13 =12 +13（ + +） ，=12 +16 +13 +16， =13 +13 +16( +)，=13 +16 +16， =13 +16 +16故选：B【点评】本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题2.（2020 秋长安区校级期末）如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是棱 CC1的中点，连结B1M，BC1交于点 P，则（）A =23 +23 +1B = +23 +231C =23 + +231D = +12 +121【分析】由已知结合空间向量的线性表示及向量基本定理可求解【解答】解：因为点 M 是棱 CC1的中点，且1 =121，所以1 =131， = + = +231= +23(1+) = +231+23，故选：B【点评】本题主要考查了空间向量的线性表示，属于基础题题型二共线定理、共面定理的应用例 2 （2020 秋镜湖区校级期末）在四面体 OABC 中，点 M 在 OA 上，且 OM2MA，N 为 BC 的中点，若 =13 +4 +4，则使 G 与 M，N 共线的 x 的值为（）A1B2C23D43【分析】 由已知可得 =12( +)， =23 假设 G 与 M， N 共线， 则存在实数 使得 = +(1 ) =2( +) +2(1 )3，与 =13 +4 +4比较可得【解答】解： =12( +)， =23假设 G 与 M，N 共线，则存在实数 使得 = +(1 ) =2( +) +2(1 )3，与 =13 +4 +4比较可得：2(1 )3=13，2=4，解得 x1故选：A例 3例 3 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 B1B 和 D1D 上，且 BE =13BB1，DF =23DD1（1）证明：A，E，C1，F 四点共面；（2）试用，1表示【分析】 （1） 由 ABC1D1， ABC1D1， BED1F， BED1F， 且平面 ABE平面 C1D1F， ABEC1D1F，知ABEC1D1F，进而 AEC1F，同理 AFC1E，故 AEC1F 为平行四边形，由此能够证明 A、E、C1、F 四点共面（2）结合图形和向量的加法和减法运算进行求解【解答】 解 ： （1） 证明 ： 连接 AC1， 因为1= + +1= + +131+231= （ +131）+（ +231）（ +）+（ +） = +，所以1，共面，又1，过同一点 A，所以 A，E，C1，F 四点共面（2）=+ （+） =+231131= +131例 4 如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且12PHHC，点 G 在 AH上，且AGAH=m，若 G，B，P，D 四点共面，求 m 的值.【解析】连接 BD，BG.AB =PB -PA ，AB =DC，DC=PB -PA ，PC =PD +DC，PC =PD +PB -PA =-PA +PB +PD .12PHHC，PH=13PC ，PH=13(-PA +PB +PD )=13PA +13PB +13PD .又AH=PH-PA ，AH=43PA +13PB +13PD ，AGAH=m，AG=mAH=43mPA +3mPB +3mPD ，BG=-AB +AG=PA -PB +AG，BG=(143m)PA +(3m-1)PB +3mPD .又G，B，P，D 四点共面，143m=0，m=34.即 m 的值是34.玩转跟踪1 （2020 秋河西区校级月考）设1，2是空间两个不共线的向量，已知 =1+ k2， = 51+ 42， = 1 22，且 A，B，D 三点共线，则实数 k 【分析】由题意可得向量和共线，存在实数 ，使 = ，可得关于 k， 的方程组，进行求解即可【解答】解：A，B，D 三点共线，向量和共线，故存在实数 ，使 = ，由题意可得 = + = （51+ 42）+（1+ 22）6（1+2） ，即1+ k2= 61+ 62，故可得 6 = 16 = ，解得 = 1 = 1，故 k1，故答案为：12.（2020浙江高二期末） 在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，,E F G分别在棱1,BB BC BA上，且满足134BEBB ，12BFBC ，12BGBA ，O是平面1BGF，平面ACE与平面11B BDD的一个公共点，设BOxBGyBFzBE ，则xyzA.45B.65C.75D.85【答案】B【解析】因为134zBOxBGyBFzBExBGyBFBB ， O在平面1BGF内，所以314zxy;同理可得122xyz，xy，解得14,55xyz，故选 B.题型三空间向量的数量积及应用例 5例 5 （2020山东高二期末（理） ）在棱长为 2 的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则(AE CF )A0B2C2D3【答案】B【解析】如图所示，棱长为 2 的正四面体ABCD中，因为,E F分别是,BC AD的中点，所以1122AE CFABACCACD 14AB CAAB CDAC CAAC CD 12 2 cos1202 2 cos902 2 cos1802 2 cos1204 2 ，故选B例 6例 6 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 D1C1的中点，试求11ACDE与所成角的余弦值.【解析】设正方体的棱长为 1，AB =a，AD=b，1AA=c，则|a|=|b|=|c|=1，ab=bc=ca=0.11ACACABAD =a+b，1111112DEDDD EDDDC =c+12a，11AC DE =(a+b)12ca=ac+bc+12a2+12ab=12a2=12.又|11AC|=2，|DE|=215122，cos=1111AC|AC |DE|DE =12522=1010，11ACDE与所成角的余弦值为1010.例 7 例 7 如图，在平行四边形ABCD中，2AB ，2AC ，90ACD，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60角，求此时B，D之间的距离【解析】因为90ACD，所以0AC CD ，0AC BA 因为AB与CD成60角，所以,60BA CD 或,120BA CD 因为BDBAACCD ，所以2222|222BDBAACCDBA ACBA CDAC CD ，所以2222|2( 2)202 2 2 cos,0108cos,BDBA CDBA CD 当,60BA CD 时，2|108cos,108 cos6014BDBA CD ，即|14BD ；当,120BA CD 时，2|108cos,108 cos1206BDBA CD ，即|6BD 综上，可知B，D之间的距离为14或6例 8 例 8 如图所示，已知P是ABC所在平面外一点，,PAPC PBPC PAPB，求证：P在平面ABC上的射影H是ABC的垂心【解析】,PAPC PBPC PAPB，0PA PC ，0PB PC ，0PA PB ，PA 平面PBC，0PA BC .由题意可知，PH 平面ABC，0PH BC ，0PH AB ，0PH AC ，0AH BCPHPABCPH BCPA BC ，AHBC.同理可证BHAC，CHAB. H是ABC的垂心玩转跟踪1.（2020济南二模） 如图，四棱锥 OABCD 中，AC 垂直平分 BD，|2，|1，则（ +） （）的值是 【解题思路】设 AC、BD 交于点 E，由题意 + = 2， =，由此即可求出（ +） （ ）的值【解答过程】解：如图所示，四棱锥 OABCD 中，设 AC、BD 交于点 E，由题意 ACBD，DEBE， + = 2， = = 0；又|2，|1，（ +） （ ）（ + + +） （ ）（2 + +） （ ）2 （ ）+（ +） （ +） （ ） =22 22123故答案为：32多选（2020山东省高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCDABC D，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60，下列说法中正确的是（ ）A2212AAABADAC B10ACABAD C向量1BC与1AA的夹角是 60D1BD与AC所成角的余弦值为63【答案】AB【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是 60，可设棱长为 1,则1111 1 cos602AA ABAA ADAD AB 22221111=+2+2+2AAABADAAABADAA ABAB ADAA AD 11 1 1 3 262 而22222222ACABADABADAB AD 12 1 122 362 ， 所以 A 正确. 11ACABADAAABADABAD 2211AA ABAA ADABAB ADAD ABAD =0,所以 B 正确.向量11BCAD ,显然1AAD 为等边三角形，则160AAD.所以向量1AD 与1AA的夹角是120 ,向量1BC与1AA的夹角是120,则 C 不正确又11=ADAABDAB ，ACABAD 则211|= 2ADAAABBD ，2|= 3ACABAD 111ADAAABBDACABAD 所以11116cos=6|23BDACBD ACBD AC ，所以 D 不正确.故选：AB3. （2020宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理） ）平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为 60,且|AB |=1,|AD|=2,|1AA|=3,则|1AC |等于()A5B6C4D8【答案】A【解析】在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中有，11ACABADCC =1ABADAA 所以有1AC =1ABADAA ，于是有21AC =21ABADAA 21AC =2220001112cos602cos602cos60ABADAAABADABAAADAA =25所以15AC ，答案选 A4.（2020 春伊宁市校级期中）已知 a，b 是异面直线，且 ab，1，2分别为取自直线 a，b 上的单位向量，且， = 21+32， = k142，则实数 k 的值为（）A6B6C3D3【解题思路】由已知可得12，再根据向量的数量积运算即可【解答过程】 解：1，2分别为取自直线 a，b 上的单位向量，且 = 21+32， = k142，12，120， = （21+32） （k142）2k121222+（3k8）122k120，解得 k6，故选：B玩转练习1 （2020江西高二期中（理） ）在下列命题中：若a、b共线，则表示a、b的有向线段所在的直线平行；若表示a、b的有向线段所在直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c 三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c不共面，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc, ,x y zR其中正确命题的个数为A0B1C2D3【答案】B【解析】若a、b共线，则表示a、b的有向线段所在的直线可共线；若a、b共面，则表示a、b的有向线段所在直线一定不是异面直线；因此若表示a、b的有向线段所在直线是异面直线，则a、b一定不共面；若0a 、 ，则ab、c 三向量两两共面，但a、b、c三向量不一定共面；当三向量a、b、c两两不共面时，空间任意一个向量p才可以唯一表示为pxaybzc, ,x y zR总上，正确，选 B.2 （2020新疆阿克苏市实验中学高二月考（理） ） 在平行六面体 ABCD-EFGH 中，若AG=xAB 2yBC +3zDH ，则 xyz 等于( )A76B23C56D1【答案】C【解析】在平行六面体 ABCDEFGH 中，AG=AB +BC +CG，AG=xAB 2yBC +3zDH ，CG=DH ，x=1，2y=1，3z=1，112xy ，z=13，x+y+z=56，故选：C3 （2020四川树德中学高二期中（理） ）如图所示，平行六面体1111ABCDABC D中，以顶点A为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为60.求1BD与AC夹角的余弦值是（ ）A33B66C217D213【答案】B【解析】由题意1111 1 cos602AB ADAB AAAD AA 以1,AB AD AA 为空间向量的基底，ACABAD ，111BDADABADAAAB ，221111() ()AC BDABADADAAABAB ADAB AAABADAD AAAB AD 1，222()23ACABADABAB ADAD ，222211111()2222BDADAAABADAAABAD AAAD ABAA AB ，11116cos,632AC BDAC BDACBD 1BD与AC夹角的余弦值为66故选：B4 （2020宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末（理） ）已知O为空间任意一点，若311488OPOAOBOC ，则, , ,A B C P四点（ ）A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断【答案】B【解析】由若OPa OAb OBc OC ，当且仅当1abc 时，PABC， ， ， 四点共面311488OPOAOBOC ，而3111488 故PABC， ， ， 四点共面，故选 B5 （2020山东省青岛二中高二期末）有下列四个命题：已知1e和2e 是两个互相垂直的单位向量，a 21e 32e ，1bke42e ，且ab，则实数k6；已知正四面体OABC的棱长为 1，则（OAOB ） （CACB ）1；已知A（1，1，0） ，B（0，3，0） ，C（2，2，3） ，则向量AC在AB 上正投影的数量是55；已知1ae223ee ，1be 32e 23e，c 31e 72e （1e，2e ，3e为空间向量的一个基底） ，则向量a，b，c不可能共面其中正确命题的个数为（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个【答案】C【解析】a 21e 32e ，1bke42e ，且ab，2212121122(23 ) (4)2 ( )(38)12()2120a beekeek eke eek ，解得6k ，所以正确() ()OAOBCACBOA CAOA CBOB CAOB CB 1 1 cos601 1 cos901 1 cos901 1 cos60001 ，所以正确(1,1,3)AC ，( 1,2,0)AB ，向量AC在AB 上正投影2221 ( 1)1 23 055|( 1)20AC ABAB ，所以正确假设向量a，b，c共面，则axbyc，所以123123122(32 )( 37)eeexeeeyee ，1231232(3 )(37 )2eeexy exy exe ，所以13xy ，237xy ，12x，得12x ，12y =-，所以向量a，b，c共面，所以不正确即正确的有3个，故选：C6 （2020宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理） ）平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为 60,且|AB |=1,|AD|=2,|1AA|=3,则|1AC |等于()A5B6C4D8【答案】A【解析】在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中有，11ACABADCC =1ABADAA 所以有1AC =1ABADAA ，于是有21AC =21ABADAA 21AC =2220001112cos602cos602cos60ABADAAABADABAAADAA =25所以15AC ，答案选 A7 （2020山东省章丘四中高二月考） 如图所示， 在空间四边形OABC中，OA a OBb OCc ， 点M在OA上，且2,OMMA Nuuuruuu r为BC中点，则MN （ ）A121232abcB211322abcC111222abcD221b332ac【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MNONOMOBOCOAabc .故选：B8 （2020江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体1111ABCDABC D中，12,AMMC 1AMxAByADzAA ，则实数x，y，z的值分别为( )A1,32,323B2,31,323C2,32,313D2,31,223【答案】C【解析】12,AMMC 112,3AMAC111,ACACAAABADAA 1112222,3333AMACABADAA 111221333AMAAAMABADAA ,221333xyz，.故选:C.9 （多选） （2020 秋天宁区校级期中）下列条件中，使点 P 与 A，B，C 三点一定共面的是（）A =13 +23B =13 +13 +13C = + +D + + + =0【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于 A，可得，为共面向量，从而可得 M、A、B、C 四点共面【解答】解：对于 A： =13（ ） +23（ ） ， =13 13 +23 23，23 +13 =13 +23 =0，故 =13 +23，故 A，B，C 共线，故 P，A，B，C 共面；或由 =13 +23得：，为共面向量，故 P，A，B，C 共面；对于 B：13+13+13= 1，故 P，A，B，C 共面；对于 C，D，显然不满足，故 C，D 错误；故选：AB10 （多选） （2020 秋新泰市校级期中）定义空间两个向量的一种运算 = |sin，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A =B（）（）C （ +） = （）+（）D若 = （x1，y1） ， = （x2，y2） ，则 = |x1y2x2y1|【解题思路】 A 和 B 需要根据定义列出左边和右边的式子， 再验证两边是否恒成立 ； C 由定义验证若 = ，且 0，结论成立，从而得到原结论不成立 ； D 根据数量积求出 cos，再由平方关系求出 sin，的值，代入定义进行化简验证即可【解答过程】解：对于 A， = |sin， = |sin，故 =恒成立；对于 B：（）（|sin，） ， （） = |sin，故 （）（）不会恒成立；对于 C，若 = ，且 0， （ +） = （1+）|sin，（）+（）|sin， + |sin， = （1+）|sin，显然（ +） = （）+（）不会恒成立；对于 D，cos， =12+ 12| |，sin， =1 (12+ 12| |)2，即有 = |1 (12+ 12| |)2= |2 (12+ 12|)2=12+ 1222+ 22 (12+ 1212+ 12)2 =(12+ 12)(22+ 22) (12+ 12)2=1222+ 2212 21212= |x1y2x2y1|则 = |x1y2x2y1|恒成立故选：AD11 （2020涟水县第一中学高二月考）, ,A B C D是空间四点，有以下条件：11ODOAOBOC23 ； 111234ODOAOBOC ；111ODOAOBOC235 ； 111ODOAOB236OC ，能使, ,A B C D四点一定共面的条件是_【答案】【解析】对于111ODOAOB236OC ，1111236，由空间向量共面定理可知, ,A B C D四点一定共面，不满足共面定理的条件.故答案为：12 （2020江苏省邗江中学高二期中）已知, ,i j k 为空间两两垂直的单位向量，且32,2 ,aijk bijk 则数量积a b =_【答案】1【解析】因为, ,i j k 为空间两两垂直的单位向量，且32,2 ,aijk bijk 则以, ,i j k 为一组正交基底，所以3,2, 1a ，1, 1,2b 所以 3 121121a b 故答案为：113 （2020湖南省衡阳市八中高二期中（理） ）已知O是空间任一点，, ,A B C D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且234OAx BOy COz DO ，则234xyz_.【答案】-1【解析】OA 2xBO 3yCO 4zDO，OA 2xOB 3yOC 4zOD，O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面2x3y4z1，2x+3y+4z1，故答案为114 （2020上海交大附中高二期中） 平行六面体1111ABCDABC D中， 已知底面四边形ABCD为正方形，且113A ABA AD ，其中，设1ABAD，1AAc，体对角线12AC ，则c的值是_.【答案】13【解析】11ACABADAA ，故2222211111222ACABADAAABADAAAB ADAA ABAD AA 2224cc，解得31c .故答案为：31.15 （2020 秋太原期末）如图，三棱锥 OABC 各棱的棱长都是 1，点 D 是棱 AB 的中点，点 E 在棱 OC上，且 = ，记 =， =， =（1）用向量，表示向量；（2）求 DE 的最小值【解题思路】 （1）根据题意，根据题意，连接 OD，CD，由空间向量的运算方法可得 = = 12（ +） ，即可得答案；（2） 根据题意，由正三棱锥的几何结构分析可得|OD| =32，且 cosDOE =33，由空间向量的运算法则可得|2| |2，变形可得|22 +34，由二次函数的性质分析可得答案【解答过程】解： （1）根据题意，连接 OD，CD，点 D 是棱 AB 的中点，点 E 在棱 OC 上，且 = ，记 =， =， = = = 12（ +） 12 12，（2）根据题意，点 D 是棱 AB 的中点，则|OD| =32，且 cosDOE =33，|2| |2=22 +2（）221 32 cosDOE +34= 2 +34= （12）2+12，则当 =12时，|2取得最小值12，则|的最小值为2216如图，四棱锥 PABCD 的各棱长都为 a（1）用向量法证明 BDPC；（2）求| +|的值【解题思路】 （1）根据题意得出四边形 ABCD 是菱形，；PBD 是等腰三角形，；利用平面向量的数量积求出 = 0，即证 BDPC；（2）根据题意，利用 RtPOC，求出，的大小，再求模长| +|【解答过程】解： （1）证明：设 AC、BD 交于点 O，连接 PO，如图所示；四棱锥 PABCD 中，ABBCCDDAa，四边形 ABCD 是菱形，BDAC，且 OAOC；即， = 0；又 PBPDa，POBD，