新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册空间向量与立体几何训练.rar

立体几何高考试题专项训练立体几何高考试题专项训练1、 （2020 北京卷）如图，在正方体1111ABCDABC D中，E 为1BB的中点（）求证：1/ /BC平面1AD E；（）求直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值2、 （2020 山东卷） 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l（1）证明：l平面 PDC；（2）已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值3、 （2019 全国理） 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值4、 （2020 全国理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO（1）证明：PA 平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值5、 （2020 全国）如图，在长方体1111ABCDABC D中，点,E F分别在棱11,DD BB上，且12DEED，12BFFB（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1AEFA的正弦值6、 （2020 浙江卷）如图，三棱台 DEFABC 中，面 ADFC面 ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC（I）证明：EFDB；（II）求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值7、 （2020 天津卷）如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC 平面,2ABC ACBC ACBC，13CC ，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且12,ADCEM为棱11AB的中点（）求证：11C MB D；（）求二面角1BB ED的正弦值；（）求直线AB与平面1DB E所成角的正弦值（2020 全国）如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F.（1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F；（2）设 O 为A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.（2020 北京卷）如图，在正方体1111ABCDABC D中，E 为1BB的中点（）求证：1/ /BC平面1AD E；（）求直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值【答案】 （）证明见解析； （）23.【解析】 （）证明出四边形11ABC D为平行四边形，可得出11/BCAD，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（）以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz，利用空间向量法可计算出直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值.【详解】 （）如下图所示：在正方体1111ABCDABC D中，11/AB AB且11ABAB，1111/ABC D且1111ABC D，11/AB C D且11ABC D，所以，四边形11ABC D为平行四边形，则11/BCAD，1BC 平面1AD E，1AD 平面1AD E，1/BC平面1AD E；（）以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方体1111ABCDABC D的棱长为2，则0,0,0A、10,0,2A、12,0,2D、0,2,1E，12,0,2AD ，0,2,1AE ，设平面1AD E的法向量为, ,nx y z，由100n ADn AE ，得22020 xzyz，令2z ，则2x ，1y ，则2,1, 2n .11142cos,3 23n AAn AAnAA .因此，直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值为23.（2020 山东卷）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l（1）证明：l平面 PDC；（2）已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值【答案】 （1）证明见解析； （2）63.【解析】 （1）利用线面垂直的判定定理证得AD 平面PDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得/AD l，从而得到l 平面PDC；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点( ,0,1)Q m，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos, n PB 的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【详解】 （1）证明： 在正方形ABCD中，/AD BC，因为AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以/AD平面PBC，又因为AD 平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以/AD l，因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以,ADDClDC 且PD 平面ABCD，所以,ADPDlPD 因为CDPDD所以l 平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz，因为1PDAD，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设( ,0,1)Q m，则有(0,1,0),( ,0,1),(1,1, 1)DCDQmPB ，设平面QCD的法向量为( , , )nx y z，则00DC nDQ n，即00ymxz，令1x ，则zm ，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm，则21 0cos,31n PBmn PBn PBm 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于2|1|cos,|31mn PBmr uur2231231mmm223232|36111 1313133mmmm ，当且仅当1m 时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.（2019 全国理） 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4， AB=2， BAD=60，E， M，N 分别是 BC，BB1， A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值1.解：（1）连结 B1C，ME因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以 MEB1C，且 ME=12B1C又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDA以D为坐标原点，DA 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则(2,0,0)A，A1(2,0,4) ，(1, 3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0, 4)A A ，1( 1, 3, 2)AM ，1( 1,0, 2)AN ，(0,3,0)MN 设( , , )x y zm为平面A1MA的法向量，则1100AMA Amm，所以32040 xyzz ，可取( 3,1,0)m设( , , )p q rn为平面A1MN的法向量，则100MNAN ，nn 所以3020qpr，可取(2,0, 1)n于是2 315cos,|525 m nm nm n，所以二面角1AMAN的正弦值为105（2020 全国 1） 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO（1）证明：PA 平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值【详解】 （1）由题设，知DAE为等边三角形，设1AE ，则32DO ，1122COBOAE，所以6264PODO，222266,44PCPOOCPBPOOB又ABC为等边三角形，则2sin60BAOA，所以32BA ，22234PAPBAB，则90APB，所以PAPB，同理PAPC，又PCPBP，所以PA 平面PBC；（2）过 O 作ONBC 交 AB 于点 N，因为PO 平面ABC，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则121313(,0,0), (0,0,), (,0), (,0)244444EPBC，132(,)444PC ，132(,)444PB ，12(,0,)24PE ，设平面PCB的一个法向量为111( ,)nx y z，由00n PCn PB ，得111111320320 xyzxyz，令12x ，得111,0zy ，所以( 2,0, 1)n ，设平面PCE的一个法向量为222(,)mxyz由00m PCm PE ，得22222320220 xyzxz，令21x ，得2232,3zy ，所以3(1,2)3m 故2 22 5cos,5| |1033n mm nnm ，设二面角BPCE的大小为，则2 5cos5.（2020 全国）如图，在长方体1111ABCDABC D中，点,E F分别在棱11,DD BB上，且12DEED，12BFFB（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1AEFA的正弦值【答案】 （1）证明见解析； （2）427.【解析】 （1）连接1C E、1C F，证明出四边形1AEC F为平行四边形，进而可证得点1C在平面AEF内；（2） 以点1C为坐标原点，11C D、11C B、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系1Cxyz，利用空间向量法可计算出二面角1AEFA余弦值，进而可求得二面角1AEFA的正弦值.【详解】 （1）在棱1CC上取点G，使得112C GCG，连接DG、FG、1C E、1C F，的在长方体1111ABCDABC D中，/AD BC且ADBC，11/BBCC且11BBCC，112C GCG，12BFFB，112233CGCCBBBF且CGBF，所以，四边形BCGF为平行四边形，则/AF DG且AFDG，同理可证四边形1DEC G为平行四边形，1/C E DG且1C EDG，1/C E AF且1C EAF，则四边形1AEC F为平行四边形，因此，点1C在平面AEF内；（2） 以点1C为坐标原点，11C D、11C B、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系1Cxyz，则2,1,3A、12,1,0A、2,0,2E、0,1,1F，0, 1, 1AE ，2,0, 2AF ，10, 1,2AE ，12,0,1AF ，设平面AEF的法向量为111,mx y z，由00m AEm AF ，得11110220yzxz取11z ，得111xy，则1,1, 1m ，设平面1AEF的法向量为222,nxyz，由1100n AEn AF ，得22222020yzxz，取22z ，得21x ，24y ，则1,4,2n ，37cos,7321m nm nmn ，设二面角1AEFA的平面角为，则7cos7，242sin1 cos7.因此，二面角1AEFA的正弦值为427.（2020 浙江卷）如图，三棱台 DEFABC 中，面 ADFC面 ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC（I）证明：EFDB；（II）求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值【答案】 （I）证明见解析； （II）33【解析】【分析】 （I）作DHAC交AC于H，连接BH，由题意可知DH 平面ABC，即有DHBC，根据勾股定理可证得BCBH，又/ /EFBC，可得DHEF，BHEF，即得EF 平面BHD，即证得EFDB；（II）由/ /DFCH，所以DF与平面DBC所成角即为CH与平面DBC所成角，作HGBD于G，连接CG，即可知HCG即为所求角，再解三角形即可求出DF与平面DBC所成角的正弦值【详解】 （）作DHAC交AC于H，连接BH平面ADFC 平面ABC，而平面ADFC 平面ABCAC，DH 平面ADFC，DH 平面ABC，而BC 平面ABC，即有DHBC45ACBACD ，222CDCHBCCHBC在CBH中，22222cos45BHCHBCCH BCBC ，即有222BHBCCH，BHBC由棱台的定义可知，/ /EFBC，所以DHEF，BHEF，而BHDHH，EF 平面BHD，而BD 平面BHD，EFDB（）因为/ /DFCH，所以DF与平面DBC所成角即为与CH平面DBC所成角作HGBD于G，连接CG，由（1）可知，BC 平面BHD，因为所以平面BCD 平面BHD，而平面BCD平面BHDBD，HG 平面BHD，HG 平面BCD即CH在平面DBC内的射影为CG，HCG即为所求角在RtHGC中，设BCa，则2CHa，2233BH DHa aHGaBDa，13sin33HGHCGCH故DF与平面DBC所成角的正弦值为33（2020天津卷） 如图， 在三棱柱111ABCABC中，1CC 平面,2ABC ACBC ACBC，13CC ，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且12,ADCEM为棱11AB的中点（）求证：11C MB D；（）求二面角1BB ED的正弦值；（）求直线AB与平面1DB E所成角的正弦值【答案】 （）证明见解析； （）306； （）33.【解析】以C为原点，分别以1,CA CB CC 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.（）计算出向量1C M和1B D 的坐标，得出110C M B D ，即可证明出11C MB D；（）可知平面1BB E的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED的一个法向量为n，利用空间向量法计算出二面角1BB ED的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（）利用空间向量法可求得直线AB与平面1DB E所成角的正弦值.【详解】依题意，以C为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图） ，可得0,0,0C、2,0,0A、0,2,0B、10,0,3C、12,0,3A、10,2,3B、2,0,1D、0,0,2E、1,1,3M.（）依题意，11,1,0C M ，12, 2, 2B D ，从而112200C M B D ，所以11C MB D；（）依题意，2,0,0CA 是平面1BB E的一个法向量，10,2,1EB ，2,0, 1ED 设, ,nx y z为平面1DB E的法向量，则100n EBn ED ，即2020yzxz，不妨设1x ，可得1, 1,2n 26cos,626CCA nACnA n ，230sin,1 cos,6CA nCA n 所以，二面角1BB ED的正弦值为306；（）依题意，2,2,0AB 由（）知1, 1,2n 为平面1DB E的一个法向量，于是43cos,32 26AB nAB nABn 所以，直线AB与平面1DB E所成角的正弦值为33.（2020 全国）如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F.（1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F；（2）设 O 为A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.【答案】 （1）证明见解析； （2）1010.【解析】 （1）由,M N分别为BC，11BC的中点，1/MN CC，根据条件可得11/ /AABB，可证1MN AA/，要证平面11EBC F平面1A AMN，只需证明EF 平面1A AMN即可；（2）连接NP，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP，在11BC截取1BQEP，由（1）BC平面1A AMN，可得QPN为1B E与平面1A AMN所成角，即可求得答案.【详解】 （1）,M N分别为BC，11BC的中点，1/MN BB,又11/ /AABB,1/MN AA,在ABC中，M为BC中点，则BCAM,又侧面11BBC C为矩形，1BCBB,1/MN BB,MNBC,由MNAMM，,MN AM 平面1A AMN,BC平面1A AMN,又11/BCBC，且11BC 平面ABC，BC 平面ABC，11/BC平面ABC,又11BC 平面11EBC F，且平面11EBC F 平面ABCEF,11/ /BCEF ,/EF BC,又BC 平面1A AMN,EF 平面1A AMN,EF 平面11EBC F,平面11EBC F平面1A AMN,（2）连接NP,/AO平面11EBC F，平面AONP平面11EBC FNP,/AO NP,根据三棱柱上下底面平行，其面1ANMA平面ABCAM，面1ANMA平面1111ABCAN,/ON AP,故：四边形ONPA是平行四边形,设ABC边长是6m(0m ),可得：ONAP，6NPAOABm,O为111A B C的中心，且111A B C边长为6m,16 sin6033ONm ,故：3ONAPm,/EF BC,APEPAMBM,333 3EP,解得：EPm,在11BC截取1BQEPm，故2QNm,1BQEP且1/BQ EP,四边形1BQPE是平行四边形，1/B E PQ,由（1）11BC 平面1A AMN,故QPN为1B E与平面1A AMN所成角,在RtQPN，根据勾股定理可得：2222262 10PQQNPNmmm210sin102 10QNmQPNPQm,直线1B E与平面1A AMN所成角的正弦值：1010.