1.1.2 空间向量的数量积运算辅导讲义-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

要点一、空间向量的数量积要点一、空间向量的数量积1两个向量的数量积两个向量的数量积已知两个非零向量 a、b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 ab，即 ab=|a|b|cosa，b 2空间向量数量积的性质空间向量数量积的性质设是非零向量，是单位向量，则；或；3空间向量的数量积满足如下运算律：空间向量的数量积满足如下运算律：（1） （a）b=（ab） ； （2）ab=ba（交换律） ； （3）a（b+c）=ab+ac（分配律） 要点二、要点二、 空间两个向量的夹角空间两个向量的夹角1.定义 ：定义 ： 已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O，作，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b ，如下图。根 据 空 间 两 个 向 量 数 量 积 的 定 义 ： ab=|a|b|cos a ， b ， 那 么 空 间 两 个 向 量 a 、 b 的 夹 角 的 余 弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。要点三要点三 、投影向量、投影向量(1)投影向量在空间，向量 a 在在向量 b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，c|a|cosa，bb|b|，则向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量，同理向量 b 在向量 a 上的投影向量是|b|cosa，ba|a|.(2)向量 a 在平面 上的投影向量向量 a 向平面 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 的垂线，垂足分别为 A，B，得到向量AB ，则向量AB 称为向量 a 在平面 上的投影向量这时，向量 a，AB 的夹角就是向量 a 所在直线与平面 所成的e|cos,a ee aaa e 0aba b2|aa a |aa a cos,| | | |a ba bab| | | | |a babOAa OBb cos,| |a ba bab 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算知识讲解知识讲解角要点四、空间向量的长度。要点四、空间向量的长度。1.定义：定义：在空间两个向量的数量积中，特别地 aa=|a|a|cos0=|a|2，所以向量 a 的模：。将其推广：。要点五、空间向量的垂直。要点五、空间向量的垂直。若，则称 a 与 b 互相垂直，并记作 ab根据数量积的定义：0类型一类型一 数量积的概念及其运算数量积的概念及其运算例例 1：设ba,为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：22|aa ;ababa2;222baba ）（;2222bbaaba ）（;其中正确的个数为（）1 . A2 .B3 .C4 .D类型二类型二 利用空间向量的数量积求夹角利用空间向量的数量积求夹角例例 1： （2020 山东济宁高二上检测）已知两条异面直线的方向向量分别为ba,，且21, 1baba，则两条直线的夹角为（）30. A 60.B120.C150.D类型三类型三 利用空间向量的数量积求距离（线段长度）利用空间向量的数量积求距离（线段长度）例例 1： （2020 上海复旦大学附属中学高二下期中）如图，在四棱锥ABCDP中，PD底面ABCD，, 1, 2,/,ABAPDCADDCABDCAD点E为棱PC的中点.（1）证明：PDBE （2）若F为棱PC上一点，满足ACBF ，求线段PF的长.2|aa222|()2ababaa bb 2222|()222abcabcabca bb cc a ,2a b abab典型例题典型例题例例 2： 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线 AC 将ACD 折起，使 AB与 CD 成 60角，求此时 B，D 间的距离一、选择题一、选择题1.若d = (1,1， 2)是直线 l 的方向向量，n = ( 1,3，0)是平面的法向量，则直线 l 与平面的位置关系是（ ）A. 直线 l 在平面内 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 垂直2.设 a、 b、 c 是任意的非零平面向量， 且它们相互不共线， 则(ab)c(ca)b0； |a|b|ab|； (ba)c(ca)b不与 c 垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2其中正确的是( )A B C D3.已知 e1，e2是夹角为 60的两个单位向量，则 ae1e2与 be12e2的夹角是()A60 B120 C30 D904.向量a = (2,4, 4),b = ( 2,x,2)，若a b，则 x 的值为( )A. 3B. 1C. 1D. 35.若向量a、b的坐标满a + b = ( 2, 1,2)，a b = (4, 3, 2)，则a b的等于( ) A. 5B. 5C. 7D. 16.已知向量a = ( 2,x,2)，b = (2,1,2)，c = (4, 2,1).若a (b c)，则 x 的值为( )A. 2B. 2C. 3D. 37.已知空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC3，则 cosOA ， BC 的值为( )A12 B22 C12 D08.在空间四边形 ABCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，则下列结论不成立的是（ ）A|B|2|2|2|2C()0D9.正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 M 在 AC1上且，N 为 B1B 的中点，则|为（ ）AaBaCaDa10.（2021 年北京海淀阶段性考试）已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则CEBA（ ）同步练习同步练习1 . A1- .B3.C3- .D11.已知 PA平面 ABC，垂足为 A，ABC120，PAABBC6，则 PC 等于（ ）A6B6C12D14412(2020北京市房山区期末检测)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量AB 与向量C1A1 的夹角是()A150 B135 C45 D3013.已知空间向量cba,满足, 4, 32, 0cbacba，则a与b的夹角为（）30. A45.B60.C以上都不对.D14.（2020 甘肃天水一中高二月考）在四棱锥ABCDP中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，2, 1PDAB,则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）55- .A55.B1010- .C1010.D15.如下图所示，已知空间四边形 OABC，OBOC，且AOBAOC ，则 cos，的值为（ ）A0BCD15.（2020 安徽阜阳界首高二上期末）在底面是正方形的四棱柱1111DCBAABCD中，3, 2, 111ABAADAAAAB，则1AC（ ）22 . A32 .B3 .C10.D16.若 O 是ABC 所在平面内一点，且满足()()0，则ABC 一定是()A等边三角形B斜三角形C直角三角形D等腰直角三角形17.设 O，A，B，C 为空间四点，若0，0，0，则ABC 是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不确定18.设平面上有四个互异的点 A，B，C，D，已知(DB DC 2DA )(AB AC )0，则ABC 是( )A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形二、多选题二、多选题1.设 a，b，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题正确的有( )A(ab)c(ca)b0 B|a| aa Ca2bb2a D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|22.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，有下列命题，其中正确的有( )A(AA1 AD AB )23AB 2BA1C (A1B1 A1A )0CAD1 与A1B 的夹角为 60D正方体的体积为|AB AA1 AD |三、填空题三、填空题1.在空间四边形 ABCD 中，AB CD BC AD CA BD _2.若 a，b，c 为空间两两夹角都是 60的三个单位向量，则|ab2c|_3在四面体 OABC 中，棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA1，OB2，OC3，G 为ABC 的重心，则OG (OA OB OC )_4.（2020 年浙江宁波九校高二上期末联考）在正四面体ABCD中，NM,分别为棱ABBC,的中点，设,cADbACaAB，用cba,表示向量_DM，异面直线DM与CN所成角的余弦值为_.5.（2021 年山东心高考测评联盟高二上联考）如图所示，已知平行六面体1111DCBAABCD中，MBADDAABAAAAADAB,60, 4, 211为1CC的中点，则AM的长度为_四、解答题四、解答题1.已知向量a = (1,2, 2)，b = (4, 2,4)，c = (3,m,n)(1)求a b；(2)若a/c，求 m，n；(3)求cos .2.已知a = (x, 1,3)，b = (1,2， 1)，c = (1,0，1)，c/(2a + b).(1)求实数 x 的值；(2)若(a b) (a + b)，求实数的值3.如下图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是 AB、CD 的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求 MN 的长4.（2020 广西柳州高级中学期中）如图所示，在三棱锥BCDA中，DCDBDA,两两垂直，且EDADCDB, 2为BC的中点.（1）证明：BCAE ；（2）求直线AE与DC所成角的余弦值.要点一、空间向量的数量积要点一、空间向量的数量积1两个向量的数量积两个向量的数量积已知两个非零向量 a、b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 ab，即 ab=|a|b|cosa，b 2空间向量数量积的性质空间向量数量积的性质设是非零向量，是单位向量，则；或；3空间向量的数量积满足如下运算律：空间向量的数量积满足如下运算律：（1） （a）b=（ab） ； （2）ab=ba（交换律） ； （3）a（b+c）=ab+ac（分配律） 要点诠释：要点诠释：（1）对于三个不为 0 的实数 a、b、c，若 ab=ac，则 b=c；对于三个不为 0 的向量，若不能得出，即向量不能约分（2）若 ab=k，不能得出（或） ，就是说，向量不能进行除法运算（3）对于三个不为 0 的实数，a、b、c 有（ab）c=a（bc） ，对于三个不为 0 的向量 a、b、c，有，向量的数量积不满足结合律要点二、要点二、 空间两个向量的夹角空间两个向量的夹角1.定义 ：定义 ： 已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O，作，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b ，如下图。根 据 空 间 两 个 向 量 数 量 积 的 定 义 ： ab=|a|b|cos a ， b ， 那 么 空 间 两 个 向 量 a 、 b 的 夹 角 的 余 弦。 要点诠释：要点诠释：e|cos,a ee aaa e 0aba b2|aa a |aa a cos,| | | |a ba bab| | | | |a baba ba c bckabkba()()a bca b c OAa OBb cos,| |a ba bab 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算知识讲解知识讲解1. 规定：2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。2.利用空间向量求异面直线所成的角利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。要点三要点三 、投影向量、投影向量(1)投影向量在空间，向量 a 在在向量 b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，c|a|cosa，bb|b|，则向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量，同理向量 b 在向量 a 上的投影向量是|b|cosa，ba|a|.(2)向量 a 在平面 上的投影向量向量 a 向平面 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 的垂线，垂足分别为 A，B，得到向量AB ，则向量AB 称为向量 a 在平面 上的投影向量这时，向量 a，AB 的夹角就是向量 a 所在直线与平面 所成的角要点四、空间向量的长度。要点四、空间向量的长度。1.定义：定义：在空间两个向量的数量积中，特别地 aa=|a|a|cos0=|a|2，所以向量 a 的模：。将其推广：。要点五、空间向量的垂直。要点五、空间向量的垂直。若，则称 a 与 b 互相垂直，并记作 ab根据数量积的定义：0类型一类型一 数量积的概念及其运算数量积的概念及其运算例例 1：设ba,为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：22|aa ;ababa2;222baba ）（;2222bbaaba ）（;其中正确的个数为（）1 . A2 .B3 .C4 .Dba,00,baabba,ab090,baabba 2|aa222|()2ababaa bb 2222|()222abcabcabca bb cc a ,2a b abab典型例题典型例题【答案】B【解析】正确，222| cos0|aaa ；错误，向量不能做比值；2222222cos|cos|babababa）（）（；正确，2222bbaaba ）（类型二类型二 利用空间向量的数量积求夹角利用空间向量的数量积求夹角例例 1： （2020 山东济宁高二上检测）已知两条异面直线的方向向量分别为ba,，且21, 1baba，则两条直线的夹角为（）30. A 60.B120.C150.D【答案】B【解析】设向量ba,的夹角为，则12021|cosbaba,故两条直线的夹角为60类型三类型三 利用空间向量的数量积求距离（线段长度）利用空间向量的数量积求距离（线段长度）例例 1： （2020 上海复旦大学附属中学高二下期中）如图，在四棱锥ABCDP中，PA底面ABCD，, 1, 2,/,ABAPDCADDCABDCAD点E为棱PC的中点.（1）证明：PDBE （2）若F为棱PC上一点，满足ACBF ，求线段PF的长.【答案】 （1）见解析； （2）23PF【解析】 （1）证明：E为PC的中点，)(21)(21)(21)(21ADAPDCACAPABACABAPBCBPBEADAPDPPDBEADAPDPBE0)(2122（2）因为F为PC上一点，所以可设) 10(PCPFADABAPAPABADABAPPCABAPPFBPBF)21 ()1 ()2(ACBFABADAC,2，4104)21 (2)2()21 ()1 (ABADADABAPACBF32444)2(2APABADPC，2341PCPF例例 2： 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线 AC 将ACD 折起，使 AB与 CD 成 60角，求此时 B，D 间的距离【答案】见解析【解析】ACD90，AC CD0，同理可得AC BA 0.AB 与 CD 成 60角，BA ， CD 60或BA ， CD 120.又BD BA AC CD ，|BD |2|BA |2|AC |2|CD |22BA AC 2BA CD 2AC CD 3211cosBA ， CD 当BA ， CD 60时，|BD |24，此时 B，D 间的距离为 2；当BA ， CD 120时，|BD |22，此时 B，D 间的距离为 2.一、选择题一、选择题1.若d = (1,1， 2)是直线 l 的方向向量，n = ( 1,3，0)是平面的法向量，则直线 l 与平面的位置关系是（ ）A. 直线 l 在平面内 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 垂直【答案】C【解析】解：由不存在实数使得d = kn成立，因此 l 与不垂直由d n = 2 0，可得直线 l 与平面不平行因此直线 l 与平面的位置关系是相交但不垂直2.设 a、 b、 c 是任意的非零平面向量， 且它们相互不共线， 则(ab)c(ca)b0； |a|b|ab|； (ba)c(ca)b不与 c 垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2其中正确的是(D)A B C D【答案】【答案】D【解析】【解析】根据数量积的定义及性质可知：错误，正确故选根据数量积的定义及性质可知：错误，正确故选 D3.已知 e1，e2是夹角为 60的两个单位向量，则 ae1e2与 be12e2的夹角是()A60 B120 C30 D90【答案】D【解析】由题意得 ab(e1e2)(e12e2)e2 1e1e22e2 211112232，|a| a2 e1e22 e2 12e1e2e2 2 111 3，|b| b2 e12e22 e2 14e1e24e2 2 124 3cosa，bab|a|b|32312a，b120同步练习同步练习4.向量a = (2,4, 4),b = ( 2,x,2)，若a b，则 x 的值为( )A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】D【解析】解： 向量a = (2,4, 4),b = ( 2,x,2)，a b， a b = 4 + 4x 8 = 0，解得x = 35.若向量a、b的坐标满a + b = ( 2, 1,2)，a b = (4, 3, 2)，则a b的等于( ) A. 5B. 5C. 7D. 1【答案】B【解析】解：因为向量a、b的坐标满a + b = ( 2, 1,2)，a b = (4, 3, 2)，所以向量a = 1, 2,0、b = 3,1，2，所以a b = 3 2 + 0 = 5；6.已知向量a = ( 2,x,2)，b = (2,1,2)，c = (4, 2,1).若a (b c)，则 x 的值为( )A. 2B. 2C. 3D. 3【答案】A【解析】解：因为向量a = ( 2,x,2)，b = (2,1,2)，c = (4, 2,1)，所以b c = ( 2,3，1)；又a (b c)，所以a(b c) = 0，即 2 ( 2) + 3x + 2 1 = 0，解得x = 2故选：A7.已知空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC3，则 cosOA ， BC 的值为( )A12 B22 C12 D0【答案】D【解析】OA BC OA (OC OB )OA OC OA OB |OA |OC |cosAOC|OA |OB |cosAOB12|OA |OC |12|OA |OB |0，所以OA BC 所以 cosOA ， BC 08.在空间四边形 ABCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，则下列结论不成立的是（ ）A|B|2|2|2|2C()0D【答案】C【解析】 A 中， 由|， 得()2()2， 展开得()2|22()()2|22()，整理得()0，因为，两两垂直，所以()0 成立，因此 A 正确，易得 B 正确，()()()|2|2|2|2，当|时，|2|20，否则不成立，因此 C 不正确D 中，()0，同理0，0，因此 D 正确9.正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 M 在 AC1上且，N 为 B1B 的中点，则|为（ ）AaBaCaDa【答案】A【解析】设a，b，c， () (abc)，N 为 BB1的中点，a c，(a c) (abc) a b c，|2( a b c)2 a2 a2 a2 a2，|a，故选 A.10.（2021 年北京海淀阶段性考试）已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则CEBA（ ）1 . A1- .B3.C3- .D【答案】A【解析】由题意可知1120cos1260cos22)(,AEBACABAAECABACEBAAECACE11.已知 PA平面 ABC，垂足为 A，ABC120，PAABBC6，则 PC 等于（ ）A6B6C12D144【答案】C【解析】，22222363636236cos60144，|12.12(2020北京市房山区期末检测)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量AB 与向量C1A1 的夹角是()A150 B135 C45 D30【答案】B【解析】如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1，ACA1C1，C1A1B1的补角即为向量AB 与向量C1A1 的夹角C1A1B1为等腰直角三角形，C1A1B145，向量AB 与向量C1A1 的夹角为 18045135，故选 B13.已知空间向量cba,满足, 4, 32, 0cbacba，则a与b的夹角为（）30. A45.B60.C以上都不对.D【答案】D【解析】设向量ba,的夹角为，由169cos32242-0222cbbaacbacba41cos14.（2020 甘肃天水一中高二月考）在四棱锥ABCDP中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，2, 1PDAB,则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）55- .A55.B1010- .C1010.D【答案】D【解析】由题意知，DCDADBDPDAPADCDA,故DBPA1)(2DCDPDPDADCDADADCDADPDA1010521|,cos2)(| ,5)(|22DBPADBPADBPADCDADBDPDAPA15.如下图所示，已知空间四边形 OABC，OBOC，且AOBAOC ，则 cos，的值为（ ）A0BCD【答案】A【解析】设a，b，c，由已知条件a，ba，c ，且|b|c|，a(cb)acab |a|c| |a|b|0，cos，0，故选 A.15.（2020 安徽阜阳界首高二上期末）在底面是正方形的四棱柱1111DCBAABCD中，3, 2, 111ABAADAAAAB，则1AC（ ）22 . A32 .B3 .C10.D【答案】D【解析】由题意知103cos43cos42cos22112221121222121AAABADAAADABAAADABAAADABAC16.若 O 是ABC 所在平面内一点，且满足()()0，则ABC 一定是()A等边三角形B斜三角形C直角三角形D等腰直角三角形【答案】C【解析】，0，BCAC，ABC 一定是直角三角形17.设 O，A，B，C 为空间四点，若0，0，0，则ABC 是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不确定【答案】A【解析】设e1，e2，e3，则 e1e20，e2e10，e1e30，|2(e2e1)2|e1|2|e2|2，|2(e3e1)2|e1|2|e3|2，|2(e3e2)2|e3|2|e2|2，由此可知ABC 任一边的平方小于另两边的平方和，所以ABC 为锐角三角形18.设平面上有四个互异的点 A，B，C，D，已知(DB DC 2DA )(AB AC )0，则ABC 是( )A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形【答案】B【解析】因为DB DC 2DA (DB DA )(DC DA )AB AC ，所以(DB DC 2DA )(AB AC )(AB AC )(AB AC )AB 2AC 20，所以|AB |AC |，因此ABC 是等腰三角形二、多选题二、多选题1.设 a，b，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题正确的有( )A(ab)c(ca)b0 B|a| aa Ca2bb2a D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2【答案】BD【解析】由于数量积不满足结合律，故 A 不正确；由数量积的性质知 B 正确；C 中|a|2b|b|2a 不一定成立；D 正确2.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，有下列命题，其中正确的有( )A(AA1 AD AB )23AB 2BA1C (A1B1 A1A )0CAD1 与A1B 的夹角为 60D正方体的体积为|AB AA1 AD |【答案】AB【解析】如图所示， (AA1 AD AB )2(AA1 A1D1 D1C1 )2AC1 23AB 2；A1C (A1B1 A1A )A1C AB1 0；AD1 与A1B 的夹角是D1C 与D1A 夹角的补角，而D1C 与D1A 的夹角为 60，故AD1 与A1B 的夹角为 120；正方体的体积为|AB |AA1 |AD |三、填空题三、填空题1.在空间四边形 ABCD 中，AB CD BC AD CA BD _【答案】0【解析】原式AB CD BC AD CA (AD AB )AB (CD CA )AD (BC CA )AB AD AD BA AB AD AD AB 02.若 a，b，c 为空间两两夹角都是 60的三个单位向量，则|ab2c|_【答案】 5【解析】|ab2c|2(ab2c)2a2b24c22ab4ac4bc5|ab2c| 53在四面体 OABC 中，棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA1，OB2，OC3，G 为ABC 的重心，则OG (OA OB OC )_【答案】143【解析】OG OA AG OA 13(AB AC )OA 13(OB OA )(OC OA )13OB 13OC 13OA ，OG (OA OB OC )(13OB 13OC 13OA )(OA OB OC )13OB 213OC 213OA 21322133213121434.（2020 年浙江宁波九校高二上期末联考）在正四面体ABCD中，NM,分别为棱ABBC,的中点，设,cADbACaAB，用cba,表示向量_DM，异面直线DM与CN所成角的余弦值为_.【答案】61);2(21cba【解析】画出对应的正四面体，设棱长均为 1，可知bacAMDADM21)2(21cba，12CNANACab .设异面直线DM与CN所成角为,61342233)2)(2(|2|2|22|cos22cbcabbaabacbaCNDMCNDM5.（2021 年山东心高考测评联盟高二上联考）如图所示，已知平行六面体1111DCBAABCD中，MBADDAABAAAAADAB,60, 4, 211为1CC的中点，则AM的长度为_【答案】62【解析】121AAADABAM24241)21(112122212AAADAAABADABAAADABAAADABAM62 AM四、解答题四、解答题1.已知向量a = (1,2, 2)，b = (4, 2,4)，c = (3,m,n)(1)求a b；(2)若a/c，求 m，n；(3)求cos .【答案】见解析【解析】(1)因为a = (1,2, 2)，b = (4, 2,4),所以a b = (1 4,2 + 2, 2 4) = ( 3,4， 6)；(2)由a = (1,2, 2)，c = (3,m,n)，当a/c时，31=m2=n2，解得m = 6，n = 6；(3)因为a = (1,2, 2)，b = (4, 2,4)，所以a b = 1 4 + 2 ( 2) + ( 2) 4 = 8，|a| =12+ 22+ ( 2)2= 3，|b| =42+ ( 2)2+ 42= 6，所以cos =a b|a| |b|=83 6= 492.已知a = (x, 1,3)，b = (1,2， 1)，c = (1,0，1)，c/(2a + b).(1)求实数 x 的值；(2)若(a b) (a + b)，求实数的值【答案】见解析【解析】解：(1)2a + b = 2(x, 1,3) + (1,2， 1) = (2x + 1，0，5)， c/(2a + b)， 设c = (2a + b)( 0)， (1,0，1) = (2x + 1)，0，5)，(2x + 1) = 1,5 = 1,即 =15,x = 2, x的值为 2；(2)a b = (2, 1,3) (1,2， 1) = (1， 3，4)，a + b = (2, 1,3) + (1,2， 1) = (2 + 1， + 2，3 1)， (a b) (a + b)， 2 + 1 3( + 2) + 4(3 1) = 0， =9173.如下图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是 AB、CD 的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求 MN 的长【答案】见解析【解析】(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60， () (qrp)， (qrp)p (qprpp2) (a2cos60a2cos60a2)0，MNAB.同理可证 MNCD；(2)解由(1)可知 (qrp)，|22 (qrp)2 q2r2p22(qrpqrp) a2a2a22( ) 2a2 ，|a.MN 的长为a.4.（2020 广西柳州高级中学期中）如图所示，在三棱锥BCDA中，DCDBDA,两两垂直，且EDADCDB, 2为BC的中点.（1）证明：BCAE ；（2）求直线AE与DC所成角的余弦值.【答案】 （1）见解析； （2）66【解析】 （1）DBDCBCDADCDBDADEAE,2100002202121212121DBDADCDADCDBDCDCDBDBDCDBDBDCDADCDBBCAE,BCAE （3）DCAE2020212121DCDADCDCDCDBDCDADCDBDCAE6AE,66262,cosDCAEDCAEDCAE.所以直线AE与DC所成角的余弦值为66