第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（B）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（B）第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（B）第 I 卷（选择题）第 I 卷（选择题）一、单项选择题一、单项选择题1. 已知向量，若共面，则等于（ ）AB1C1 或D1 或 02如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点在平面内，且，则点的坐标为（ ） ABCD3直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为等边三角形， AA1AB，M 是 A1C1的中点，则 AM与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD4.已知向量OA 和OB 在基底abc， ，下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若OC 25AB ，则向量OC 在基底abc， ，下的坐标是（ ）A648(,)555B648( ,)555C64 8(, )55 5D6 4 8( , )5 5 55平行六面体1111ABCDABC D的各棱长均相等，90BAD，21,20,1,21,0,0axbc，, ,a b cx112BC OBCDyOz90BDC30DCBD13(0)22，13(0)22，13(0)22，13(0)22，11BCC B7101510851015101160DAAA AB ，则异面直线1BD与1DA所成角的余弦值为（ ）A26B36C33D636如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为a，E是DD1的中点，则（ ）A直线B1E/ /平面A1BDB11B EBDC三棱锥C1-B1CE的体积为313aD直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为2 557 已知(2, 1,3),( 1,4, 2),(3,2, )abc ， 若, ,a b c 三向量共面， 则实数等于( )A2B3C4D58定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCDABC D中，1AB ，2BC ，13AA ，则异面直线AC与1BC之间的距离是（ ）A55B77C66D679 在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F分别为棱1AA、1BB的中点，M为棱11AB上的一点，且1(02)AM，设点N为ME的中点，则点N到平面1D EF的距离为（ ）A3B22C23D5510 已知空间直角坐标系Oxyz中，1,2,3OA uu u r，2,1,2OB uuu r，1,1,2OP uu u r， 点Q在直线OP上运动，则当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）A1 3 1,2 4 3B1 3 3,2 2 4C4 4 8,3 3 3D4 4 7,3 3 3二、多项选择题二、多项选择题11下列命题中，正确的命题有（ ）Aabab是ab ，共线的充要条件B若/ /ab则存在唯一的实数，使得=abC对空间中任意一点O和不共线的三点, ,A B C若243OPOAOBOC ，则, , ,P A B C四点共面D若abc ， ，为空间的一个基底，则23abbcca ，构成空间的另一个基底12下列四个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l平面 MNP 的是（ ）ABCD13如图，正三棱柱ABCA1B1C1的侧面是边长为 2 的正方形D、E分别是BB1、AC的中点，则下列结论成立的是（）A直线A1D与直线BC是异面直线B直线BE与平面A1CD不平行C直线AC与直线A1D所成角的余弦值等于55D直线CD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于10514已知矩形ABCD，2AB ，1BC ，将ABC沿矩形的对角线AC所在的直线进行翻折，翻折过程中（ ）A存在某个位置，使得0AD BC B存在某个位置，使得0AB CD C存在某个位置，使得0AC BD D存在某个位置，使得AD BC ，AB CD 、AC BDuuu r uuu r均不等于零15.如图，点P在正方体1111ABCDABC D的面对角线1BC上运动，则下列结论中正确的是（ ）A三棱锥11APB D的体积不变B/ /DP平面11AB DC11APBDD平面1ACP 平面PBD第 II 卷（非选择题）第 II 卷（非选择题）三、填空题三、填空题16.已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，1)，C(1，1，3)，四边形ABCD是平行四边形，其中AC，BD为对角线，则|BD _.17.已知点(1, 1,3), (2 ,0,0), (3,3,9)ABC三点共线，则_，_18.已知二面角l 为120，在与的交线上取线段9AB ，且AC，BD分别在平面和内，它们都垂直于交线AB，且4AC ，12BD，则CD的长为_.19.如图所示，在平行六面体1111ABCDABC D中，1111ACB DF，若1AFxAByADzAA ，则xyz_.20.如图所示，在三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形AA B B 是矩形，平面AA B B 平面ABCD.若1AA，则直线AB到面DA C的距离为_.四、解答题四、解答题21. 如图，三棱柱111ABCABC中，底面边长和侧棱长都等于 1，1160BAACAA （1）设1AAa，ABb ，ACc，用向量a，b，c表示1 BC，并求出1BC的长度；（2）求异面直线1AB与1BC所成角的余弦值22. 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，BCAD，ADC90，BCCD =12AD1， E 为线段 AD 的中点 PE底面 ABCD， 点 F 是棱长 PC 的中点， 平面 BEF 与棱 PD相交于点 G（）求证：BEFG；（）若 PC 与 AB 所成的角为3，求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值23.如图，四边形 ABCD 为正方形，MAPB，MABC，ABPB，MA1，ABPB2，E与 F 分别是 PD 与 AB 的中点（1）求证：PB平面 ABCD；（2）求证：EF平面 PCB；（3）求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值24.如图 1 所示，在凸四边形 ABCD 中，ACBADC =2，DACCAB =6，AB4，点 E 为 AB 的中点，M 为线段 AC 上的一点，且 MEAB，沿着 AC 将DAC 折起来，使得平面 DAC平面 BAC，如图 2 所示（1）证明：BCAD；（2）求平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值25.如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，BCAD，ABCD，E 为棱 PB 上一点，AC 与 BD 交于点 O，且 ACBD，AD1，BCPCPB3， =3 22（1）证明：ACDE；（2）是否存在点 E，使二面角 BDCE 的余弦值为3 7638？若存在，求出 E 点位置，若不存在，请说明理由 第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（B）第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（B）第 I 卷（选择题）第 I 卷（选择题）一、单项选择题一、单项选择题1. 已知向量，若共面，则等于（ ）AB1C1 或D1 或 0【答案】C【解析】因为共面，所以存在不全为 0 的实数，使得，即，解得故选：C2如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点在平面内，且，则点的坐标为（ ） ABCD【答案】B【解析】过点作，垂足为，然后在中求解.【详解】过点作，垂足为，21,20,1,21,0,0axbc，, ,a b cx11, ,a b c, abc2122x111x 2BC OBCDyOz90BDC30DCBD13(0)22，13(0)22，13(0)22，13(0)22，DDEBCERt BDCDDEBCE在中，得、，所以，所以，所以点的坐标为，故选：B3直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为等边三角形， AA1AB，M 是 A1C1的中点，则 AM与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】取的中点，以为原点，所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，Rt BDC90BDC30DCB2BC | 1BD 3CD 3sin302DECD 11cos60122OEOBBEOBBD D13(0)22，11BCC B710151085101510ACDD,BD DC DMACDD,BD DC DM2AC 310, 1,0 ,0,0,2 ,3,0,0 ,222AMBN所以，平面的一个法向量为设 AM 与平面所成角为，向量与所成的角为，所以，即 AM 与平面所成角的正弦值为故选：B4.已知向量OA 和OB 在基底abc， ，下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若OC 25AB ，则向量OC 在基底abc， ，下的坐标是（ ）A648(,)555B648( ,)555C64 8(, )55 5D6 4 8( , )5 5 5【答案】A【分析】根据向量的加减法运算可求得AB ，再由OC 25AB 可求得OC ，由此可得选项.【详解】解：因为AB OB OA 2 +3 +4 +532()()4b cabcabc ，所以26485555OCABabc ，所以向量OC 在基底abc， ，下的坐标是648(,)555，故选：A5平行六面体1111ABCDABC D的各棱长均相等，90BAD，1160DAAA AB ，则异面直线1BD与1DA所成角的余弦值为（ ）A26B36C33D630,1,2AM 11BCC B33,022n11BCC BAM n3152sincos1053AM nAMn 11BCC B1510【答案】B【分析】利用基底向量1,AB AD AA 表示出向量1BD ，1DA ，即可根据向量的夹角公式求出【详解】如图所示：不妨设棱长为 1，11DAAAAD ，111BAADDDABADAABD ，所以11BD DA 11AAADABADAA 221112AA ABAAAD ，111DAAAAD ，113ABADAABD ，即11132cos,63DBDA ，故异面直线1BD与1DA所成角的余弦值为36故选：B6如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为a，E是DD1的中点，则（ ）A直线B1E/ /平面A1BDB11B EBDC三棱锥C1-B1CE的体积为313aD直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为2 55【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则1,0,A aa，1, ,B a a a，0,0,2aE，, ,0B a a，0,0,0D，10,0,Da，则1,2aB Eaa ，, ,0DBa a ，1,0,DAaa ，1,BDaa a ，设面1ABD的法向量为, ,nx y z，所以00axazaxay，取1x ，则1yz ，所以1, 1, 1n r，所以 11111122aaB E na ， 当2a 时10B E n ， 故1B E不一定平行面1ABD，故 A 错误；因为 2115022aB E BDaaaaaa ，所以1B E与1BD 不垂直，故 B 错误；111113111136CB CEBC ECC ECVVSBCa，故 C 错误；面11CDDC的法向量为1,0,0m ，设直线B1E与平面CDD1C1所成的角为，则121222sin312m B Eam B Eaaa ，所以25cos1 sin3所以2sin2 53tancos553，故 D 正确；故选：D7 已知(2, 1,3),( 1,4, 2),(3,2, )abc ， 若, ,a b c 三向量共面， 则实数等于( )A2B3C4D5【答案】C【解析】a与b不共线，则取a，b作为平面的一组基向量，又, ,a b c 三向量共面，则存在实数12, 使得12cab，121212322432 ，解得12214.故选：C8定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCDABC D中，1AB ，2BC ，13AA ，则异面直线AC与1BC之间的距离是（ ）A55B77C66D67【答案】D【解析】如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则12,0,0 ,0,1,0 ,2,1,0 ,0,1,3ACBC，则2,1,0AC ，12,0,3BC ，设AC和1 BC的公垂线的方向向量, ,nx y z，则100n ACn BC ，即20230 xyxz，令3x ，则3,6,2n ，0,1,0AB ，67AB ndn .故选：D.9 在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F分别为棱1AA、1BB的中点，M为棱11AB上的一点，且1(02)AM，设点N为ME的中点，则点N到平面1D EF的距离为（ ）A3B22C23D55【答案】D【解析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 M（2，2） ，D1（0，0，2） ，E（2，0，1） ，F（2，2，1） ，1ED （2，0，1） ，EF （0，2，0） ，EM （0，1） ，设平面 D1EF 的法向量n（x，y，z） ，则12020n EDxzn EFy ，取 x1，得n（1，0，2） ，点 M 到平面 D1EF 的距离为 ： d|22 5|55EM nn，N 为 EM 中点，所以 N 到该面的距离为55 10 已知空间直角坐标系Oxyz中，1,2,3OA uu u r，2,1,2OB uuu r，1,1,2OP uu u r， 点Q在直线OP上运动，则当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）A1 3 1,2 4 3B1 3 3,2 2 4C4 4 8,3 3 3D4 4 7,3 3 3【答案】C【解析】设( , , )Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数使得OQOP ，即( , , )(1,1,2)x y z，可得( , ,2 )Q ,所以(1,2,32 ),(2,1,22 )QAQB ,则2(1)(2)(2)(1)(32 )(22 )2(385)QA QB ，根据二次函数的性质，可得当43时，取得最小值23，此时4 4 8( , )3 3 3Q.故选：C.二、多项选择题二、多项选择题11下列命题中，正确的命题有（ ）Aabab是ab ，共线的充要条件B若/ /ab则存在唯一的实数，使得=abC对空间中任意一点O和不共线的三点, ,A B C若243OPOAOBOC ，则, , ,P A B C四点共面D若abc ， ，为空间的一个基底，则23abbcca ，构成空间的另一个基底【答案】CD【解析】利用向量的模相等关系，结合充要条件判断 A；利用平面向量的基本定理判断 B；利用共线向量定理判断 C；结合空间向量的基底的概念判断 D.【详解】对于,A当abab时，ab ，共线成立，但当ab ，同向共线时aabb所以abab是ab ，共线的充分不必要条件，故A不正确对于 B，当0b 时，/ /ab，不存在唯一的实数,使得=ab，故B不正确对于 C，由于243OPOAOBOC ，而2431，根据共面向量定理知PABC， ， ，四点共面，故C正确对于 D，若abc ， ，为空间的一个基底，则abcr r r， ，不共面，由基底的定义可知，23abbcca ，不共面，则23abbcca ，构成空间的另一个基底，故D正确.故选：CD12下列四个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l平面 MNP 的是（ ）ABCD【答案】ACD【解析】分别建立空间直角坐标系， 利用向量法证明线线垂直， 再根据线面垂直的判定定理依次判断即可.【详解】对于 A 选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则(2,2, 2)l，(1,0,2),(0,0,1),(0,1,2)MNP,则( 1,0, 1)MN ,( 1,1,0)MP ,因为0l MN，所以lMN，因为0l MP,所以lMP，所以,lMN lMP,且,MN MP是平面MNP内的两条相交直线，所以l 面MNP，故 A 正确；对于 B 选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则(2,2, 2)l，(1,0,0),(2,2,1),(0,1,0)MNP,则(1,2,1)MN,( 1,1,0)MP ,因为0l MN， 0l MP,所以lMP，所以lMP,但是l与MN都不垂直，所以l与面MNP不垂直，故 B 错误；对于 C 选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则(2,2, 2)l，(2,0,1),(0,2,1),(1,0,0)MNP,则( 2,2,0)MN ,( 1,0, 1)MP ,因为0l MN，所以lMN，因为0l MP,所以lMP，所以,lMN lMP,且,MN MP是平面MNP内的两条相交直线，所以l 面MNP，故 C 正确；对于 D 选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则(2,2, 2)l，(1,0,0),(0,2,1),(2,1,2)MNP,则( 1,2,1)MN ,(1,1,2)MP,因为0l MN，所以lMN，因为0l MP,所以lMP，所以,lMN lMP,且,MN MP是平面MNP内的两条相交直线，所以l 面MNP，故 D 正确；故选：ACD13如图，正三棱柱ABCA1B1C1的侧面是边长为 2 的正方形D、E分别是BB1、AC的中点，则下列结论成立的是（）A直线A1D与直线BC是异面直线B直线BE与平面A1CD不平行C直线AC与直线A1D所成角的余弦值等于55D直线CD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于105【答案】AC【分析】根据异面直线的判定定理判断 A，然后建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法判断线面平行，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，判断 BCD【详解】解：在 A 中，BC平面BCC1B1，A1D平面BCC1B1D，DBC，1A 平面11BCC B，由异面直线判定定理得直线A1D与直线BC是异面直线，故 A 正确；在 B 中，由题意知正三棱锥ABCA1B1C1的的所有棱长都为 2，ABC是边长为 2 的正三角形，且AEEC，BEAC，且BE32AC3，平面ABC平面ACC1A1，平面ABC平面ACC1A1AC，BE 平面ABC，BE平面ACC1A1，取A1C1中点F，连结EF，则在正方形ACC1A1中，EFAC，以F为坐标原点，直线EA、EF、EB分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则E（0，0，0） ，B（0，0，3） ，C（1，0，0） ，A（1，0，0） ，A1（1，2，0） ，C1（1，2，0） ，D（0，1，3） ，则EB = （0，0，3） ，1AC （2，2，0） ，1AC （2，2，0） ，CD （1，1，3） ，112EBACCD ，根据向量共面定理，可知EB 与1AC、CD 共面，1ACCD C，EB平面A1CD，BE平面A1CD，故 B 错误；在 C 中，AC (2，0，0） ，1AD (1，1，3） ，直线AC与直线A1D所成角的余弦值为：|cos111|25,5| |2 5AC ADAC ADACAD ，故 C 正确；在 D 中，CD (1，1，3)，平面AA1C1C的法向量m (0，0，1)，设直线CD与平面AA1C1C所成角为 ，则直线CD与平面AA1C1C所成角的正弦值为：sin|3155| |5CD mCDm ，故 D 错误故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角求空间角的方法：（1）几何法（定义法） ： 根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补） ，直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值， 两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补） 14已知矩形ABCD，2AB ，1BC ，将ABC沿矩形的对角线AC所在的直线进行翻折，翻折过程中（ ）A存在某个位置，使得0AD BC B存在某个位置，使得0AB CD C存在某个位置，使得0AC BD D存在某个位置，使得AD BC ，AB CD 、AC BDuuu r uuu r均不等于零【答案】AD【分析】由向量数量积为零得出向量垂直，运用假设存在某个位置，应用线面垂直的判定和性质，结合矩形的条件可判断各选项的正误.【详解】在矩形ABCD中，分别过点B、D作BEAC、DFAC，垂足分别为点E、F.由已知条件，2AB ，1BC . 对于 A 选项，若存在某个位置，使得ADBC，BCAB，ABADA，BC平面ABD，BD Q平面ABD，则BCBD，在Rt BCD中，斜边21CDBC，存在，故 A 正确；对于 B 选项，若存在某个位置，使得ABCD，CDAD，ADABA，CD平面ABD，BD Q平面ABD，则CDBD，在Rt BCD中，斜边1BCCD ，矛盾，故 B 错误；对于 C 选项，若存在某个位置，使得ACBD，ACBE，BDBEB，AC平面BDE，DE 平面BDE，DEAC，DFAC，在平面ACD内，过点D能作两条直线与AC垂直，矛盾，故 C 错误；对于 D 选项，取平面ABC 平面ACD，BEAC，平面ABC 平面ACDAC，BE 平面ABC，BE平面ACD，以点E为坐标原点，EC、EB所在直线分别为y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则4 50,05A、2 50,0,5B、50,05C、2 53 5,055D，2 55,055AD，52 50,55BC ，则0AD BC ，4 5 2 50,55AB ，2 54 5,055CD ，则0AB CD ，0, 5,0AC ，2 53 52 5,555BD ，则0AC BD ，D 选项正确.15.如图，点P在正方体1111ABCDABC D的面对角线1BC上运动，则下列结论中正确的是（ ）A三棱锥11APB D的体积不变B/ /DP平面11AB DC11APBDD平面1ACP 平面PBD【答案】ABD【解析】对于 A，11AB D的面积是定值，11/ADBC，1AD 平面11AB D，1BC 平面11AB D，1/BC平面11AB D，故P到平面11AB D的距离为定值，三棱锥11PAB D的体积是定值，即三棱锥11APB D的体积不变，故 A 正确；对于 B，111111111/,/ /,ADBC B DBD ADB DD BCBDB，平面11/ /AB D平面1BDC，DP 平面1BDC，/ /DP平面11AB D，故 B 正确；对于 C，以1D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，P在1BC上，故可设( ,2, ),02P aaa，则11(2,0,0), (2,2,2),(0,0,0)ABD，1(2,2, )APaa，1( 2, 2, 2)BD ，则1122424AP BDaaa 不一定为 0，1AP和1BD不垂直，故 C 错误；对于 D，设( ,2, ),02P aaa，则11(2,0,0),(0,2,2), (2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)ACBDD，1(2,2, )APaa，1( 2,2,2)AC ，( ,2,2)DPaa ，(2,2,0)DB ，设平面平面1ACP的法向量( , , )nx y z，则11(2)202220n APaxyazn ACxyz ，取1x ，得221,22aanaa，设平面PBD的法向量( , , )ma b c，则20220m DPaxyazm DBxy ，取1x ，得1, 1, 1m ，221022aam naa .平面1ACP和平面PBD垂直，故 D 正确.故选：ABD.第 II 卷（非选择题）第 II 卷（非选择题）三、填空题三、填空题16.已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，1)，C(1，1，3)，四边形ABCD是平行四边形，其中AC，BD为对角线，则|BD _.【答案】42【解析】空间三点(0A，2，3)，( 2B ，1，1)，(1C，1，3)，四边形ABCD是平行四边形，设(D x，y，) z，( 2AB ，1，2)，(1DCx，1y ，3) z，ABDC ，21x ，11y ，23z ，解得3x ，0y ，5z ，(3D，0，5)，(5BD ，1，4)，222|51442BD，故答案为：4217.已知点(1, 1,3), (2 ,0,0), (3,3,9)ABC三点共线，则_，_【答案】0 0 【解析】因为(1, 1,3), (2 ,0,0), (3,3,9)ABC，所以21,1, 3AB ，2,2,6AC因为, ,A B C三点共线，所以/AB ACuu u ruuu r，所以=AB kAC ，即21,1, 32,2,6k，即2121236kkk ，解得1200k 故答案为：0；0；18.已知二面角l 为120，在与的交线上取线段9AB ，且AC，BD分别在平面和内，它们都垂直于交线AB，且4AC ，12BD，则CD的长为_.【答案】17【解析】利用CDCAABBD ，将其两边同时平方即可求2CD ，再开方即可求解.【详解】如图：CDCAABBD ，CAAB ，ABBD ，,18012060CA BD 所以22222222CDCAABBDCAABBDCA ABAB BDCA BD 2222cos902cos902cos60CAABBDCAABABBDCABD 22214912002 4 122892 ，所以28917CD ，所以CD的长为17，故答案为：17.19.如图所示，在平行六面体1111ABCDABC D中，1111ACB DF，若1AFxAByADzAA ，则xyz_.【答案】2【解析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，1111112AFABBBB FABBBB D ,再将11AD转化为AD，以及将11AB 转化为AB ,11BBAA,总之等式右边为AB ，AD，1AA,从而得出12xy，1z .【详解】解：因为1111112AFABBBB FABBBB D 1111112ABBBADAB 11122ABBBADAB 11122ABADAA ，又1AFxABADzAA ，所以12xy，1z ，则2xyz.故答案为：2.20.如图所示，在三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形AA B B 是矩形，平面AA B B 平面ABCD.若1AA，则直线AB到面DA C的距离为_.【答案】22【解析】建立空间直角坐标系，设( 11, )DAa ，设面DA C的法向量为1(1)nxy， ，利用空间向量数量积求得法向量，由直线AB到面DA C的距离d就等于点A到面DA C的距离，利用射影的求解公式求解即可得出结论.【详解】如图建立空间坐标系Axyz，设( 11, )DAa ，(010)DC ， ，设面DA C的法向量为1(1)nxy， ，则有1100DA nDC n ，得1( 01)na， ，直线AB到面DA C的距离d就等于点A到面DA C的距离，也等于向量AD在面DA C的法向量上的投影的绝对11|22|AD ndn .故答案为：22.四、解答题四、解答题21. 如图，三棱柱111ABCABC中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAACAA （1）设1AAa，ABb ，ACc，用向量a，b，c表示1 BC，并求出1BC的长度；（2）求异面直线1AB与1BC所成角的余弦值【答案】 （1）1BCacb ；12BC ； （2）66 【解析】 （1）1111111111BCBBBCBBACABAAACABacb ，因为11| |cos1 1 cos602a babBAA ，同理可得12a cb c ，所以22221()2221 1 1 1 1 12BCacbacba ca bc b （2）因为1ABab，所以2221()21 1 13ABababa b ，因为2211()1111111222)2(AB BCabacbaa ca bb ac bb ，所以11111116cos,623AB BCAB BCAB BC 所以异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为6622. 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，BCAD，ADC90，BCCD =12AD1， E 为线段 AD 的中点 PE底面 ABCD， 点 F 是棱长 PC 的中点， 平面 BEF 与棱 PD相交于点 G（）求证：BEFG；（）若 PC 与 AB 所成的角为3，求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值【解题思路】 （）证明四边形 BCDE 为平行四边形，得到 BE/CD推出 BE/平面 PCD然后证明 BE/FG（） （解法 1）以 E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 Exyz求出 = (1， 1，)， = ( 1，1，0) 通过 PC 与 AB 所成角为3， 求解 = (0，1， 6) 求出平面 BEF的法向量，利用空间向量的数量积求解直线 PB 与平面 BEF 的所成角的正弦值【解答过程】 （）证明：因为 E 为 AD 中点，所以 =12 = 1又因为 BC1，所以 DEBC在梯形 ABCD 中，DE/BC，所以四边形 BCDE 为平行四边形所以 BE/CD又因为 BE平面 PCD，且 CD平面 PCD，所以 BE/平面 PCD因为 BE平面 BEF，平面 BEF平面 PCDFG，所以 BE/FG23.如图，四边形 ABCD 为正方形，MAPB，MABC，ABPB，MA1，ABPB2，E与 F 分别是 PD 与 AB 的中点（1）求证：PB平面 ABCD；（2）求证：EF平面 PCB；（3）求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值【解题思路】 （1）推导出 ABPB，PBBC，由此能证明 PB平面 ABCD（2）取 CD 中点 G，连接 EG、FG，则 EGPC，FGBC，从而平面 EFG平面 PBC，由此能证明 EF平面 PCB（3）以 A 为原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AM 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值【解答过程】 （1）证明：四边形 ABCD 为正方形，MAPB，MABC，ABPB，PBBC，ABBCB，AB、BC平面 ABCD，PB平面 ABCD（2）证明：取 CD 中点 G，连接 EG、FG，E 与 F 分别是 PD 与 AB 的中点，EGPC，FGBC，又 EGFGG，PCBCC，平面 EFG平面 PBC，EF平面 EFG，EF平面 PCB（3）解：四边形 ABCD 为正方形，MAPB，MABC，ABPB，MA1，ABPB2，以 A 为原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AM 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 P（0，2，2） ，C（2，2，0） ，D（2，0，0） ，M（0，0，1） ， = （2，0，2） ， = （2，2，2） ， = （0，2，1） ，设平面 PDM 的法向量 = （x，y，z） ，则 = 2 2 2 = 0 = 2 = 0，取 y1，得 = （1，1，2） ，设直线 PC 与平面 PDM 所成角为 ，则 sin =| | |=28 6=36直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值为36（）解： （解法 1）因为 PE平面 ABCD，且 AE，BE平面 ABCD，所以 PEAE，且 PEBE因为四边形 BCDE 为平行四边形，ADC90，所以 AEBE以 E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 Exyz则 E（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（0，1，0） ，C（1，1，0） ，D（1，0，0） 设 P（0，0，m） （m0） ，所以 = (1， 1，)， = ( 1，1，0)因为 PC 与 AB 所成角为3，所以|，| = | | | = |22 + 2 2| = 2=12所以 =6则(0，0，6)，( 12，12，62)所以 = (0，1，0)， = ( 12，12，62)， = (0，1， 6)设平面 BEF 的法向量为 = (，)，则 = 0， = 0.即 = 012 +12 +62 = 0.令 x6，则 =6，所以 = (6，0，6)所以， = | |= 6 67 42= 67所以直线 PB 与平面 BEF 的所成角的正弦值为6724.如图 1 所示，在凸四边形 ABCD 中，ACBADC =2，DACCAB =6，AB4，点 E 为 AB 的中点，M 为线段 AC 上的一点，且 MEAB，沿着 AC 将DAC 折起来，使得平面 DAC平面 BAC，如图 2 所示（1）证明：BCAD；（2）求平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值【解题思路】 （1） 由已知结合平面与平面垂直的性质可得BC平面 DAC， 从而得到BCAD；（2）以 C 为原点，分别以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 MDE 的一个法向量与平面 DEB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求得平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值【解答过程】 （1）证明：如图，平面 DAC平面 BAC，且平面 DAC平面 BACAC，BC平面 BAC，且 BCAC，BC平面 DAC，而 AD平面 DAC，BCAD；（2）解：以 C 为原点，分别以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴建立空间直角坐标系，在图 1 中，ACBADC =2，DACCAB =6，AB4，BC2，AC = 23，CD =3，CMACAM =2 33，M（2 33，0，0） ，E（3，1，0） ，B（0，2，0） ，D（32，0，32） ， = ( 33， 1，0)， = ( 32， 1，32)， = ( 3，1，0)设平面 MDE 的一个法向量为 = (1，1，1)，由 = 331 1= 0 = 321 1+321= 0，取 z11，可得 = (33， 3，1)；设平面 DEB 的法向量为 = (2，2，2)，由 = 322 2+322= 0 = 32+ 2= 0，取 x21，得 = (1，3，3)设平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角为 ，则 cos =| | |=337 7=777259故平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值为77725925.如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，BCAD，ABCD，E 为棱 PB 上一点，AC 与 BD 交于点 O，且 ACBD，AD1，BCPCPB3， =3 22（1）证明：ACDE；（2）是否存在点 E，使二面角 BDCE 的余弦值为3 7638？若存在，求出 E 点位置，若不存在，请说明理由【解题思路】 （1）证明 POAC，推出 AC平面 PBD，然后证明 ACDE（2）以 O 为原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z，轴建立空间直角坐标系，求出平面 EDC的一个法向量，平面 BDC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值，然后解得 =23，得到结果【解答过程】 （1）证明：因为四边形 ABCD 为等腰梯形，且 ACBD，所以OBC 为等腰直角三角形，因为 BC3，所以 = =3 22，因为 PC3， =3 22，所以 PC2PO2+OC2，所以 POAC又因为 BD平面 PBD，PO平面 PBD，BDPOO，所以 AC平面 PBD，因为 DE平面 PBD，所以 ACDE（2）因为 PB3， =3 22， =3 22，所以 PB2PO2+OB2，即 BOPO，因为 POAC，AC平面 ABCD，BD平面 ABCD，ACBDO，所以 PO平面 ABCD，如图，以 O 为原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z，轴建立空间直角坐标系，由 （1） 知 = = 3 =3 22， 故 O（0， 0， 0） ，(3 22，0，0)，(0，3 22，0)，( 22，0，0)，(