空间向量与立体几何重难点复习　学案-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

人教 A 版（2019） 选择性必修一 第 1 章 空间向量与立体几何重 难 点 复 习知识梳理知识梳理一、本节课思维导图一、本节课思维导图二、知识要点梳理二、知识要点梳理1、空间向量的线性运算、空间向量的线性运算加法交换律： + = + 加法结合律： + + = + + 数乘分配律： + = + ( )数乘结合律： = ()( ， )数量积的运算律： = = ( ) + = + 2、共线向量定理、共线向量定理对空间任意两个向量、 = 0 ，与共线的充要条件是存在实数，使 = 。规定：零向量与任意向量共线。3、共面向量定理、共面向量定理如果两个向量、不共线， 那么向量与向量、共面的充要条件是存在有序实数组( ，)， 使得 = + 。4、空间向量基本定理、空间向量基本定理如果三个向量1、2、3不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组( ， ，)，使 =1+ 2+ 35、空间向量的坐标运算、空间向量的坐标运算设 = (1，1，1)、 = (2，2，2)，则 + = (1+ 2，1+ 2，1+ 2)- = (1-2，1-2，1-2) = (1，1，1) = 12+ 12+ 126、空间向量的数量积、空间向量的数量积 = | 7、空间向量的夹角、空间向量的夹角 =|=12+ 12+ 1221+ 22+ 2321+ 22+ 23典型例题典型例题题型题型 1 向量的坐标运算向量的坐标运算例例 1 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 10 题，题，5 分，多选）分，多选）已知向量 = = ， =(3，0，-1)， = (-1，5，-3)， 下列等式中正确的是（ ）A. = B. + = + C. + + 2= 2+ 2+ 2D. | + + |=|-|变式训练变式训练（2020 年年 1 月无锡市期末测试，第月无锡市期末测试，第 10 题，题，5 分）分）正四面体的棱长为 2，、分别为、的中点，则 的值为（ ）A. -2B. 4C. 2D. 1题型题型 2 向量共线问题向量共线问题例例 2 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 13 题，题，5 分）分）已知向量 = (1，4，3)， = (-2， ，-6)，若/，则实数的值为 。变式训练变式训练（2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试，第月常州溧阳市期末测试，第 10 题，题，5 分）分）已知在四面体中，点是棱上的点，且 = 3，点是棱的中点，若 = + + 其中,为实数，则 + + 的值是（ ）A. 12B. -12C. 2D. 2题型题型 3 向量垂直问题向量垂直问题例例 3 （2020 年年 1 月常州市教育协会期末测试，第月常州市教育协会期末测试，第 7 题，题，5 分）分）已知空间向量 = (1,3,)， = 2,-1,2 ，则“ = 1”是“ ”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件题型题型 4 直线与平面的夹角问题直线与平面的夹角问题例例 4 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试， 第月苏州市期末阳光测试， 第 6 题，题， 5 分）分） 已知正方体-1111中，是的中点，直线1与平面1所成角的正弦值为（ ）A. 12B. 13C. 22D. 32变式训练变式训练（2021 年年 1 月苏州中学期末测试，第月苏州中学期末测试，第 11 题，题，5 分，多选）分，多选）在正三棱锥-中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则下列命题正确的是（ ）A. EF 与 AD 所成角的正切值为32B. EF 与 AD 所成角的正切值为23C. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为7212D. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为79题型题型 5 线面垂直问题线面垂直问题例例 5 （2020 年年 1 月南通市启东中学期末测试， 第月南通市启东中学期末测试， 第 20 题，题， 12 分）分） 如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1。（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值。题型题型 6 面面垂直问题面面垂直问题例例 6 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 21 题，题，12 分）分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直， =2， = ，是线段的中点。（1）求证：/平面；（2）若 = 1，求二面角-的大小；（3）若线段上总存在一点，使得 ，求的最大值。题型题型 7 二面角问题二面角问题例例 7 （2020 年年 1 月常州市教育协会期末测试，第月常州市教育协会期末测试，第 20 题，题，12 分）分）如图，在四棱柱 1111中，侧棱1 底面， ， = 1， = 1= 2， = =5。（1）求二面角1-1的正弦值；（2）点是线段1的中点，点为线段11上点，若直线与平面所成角的正弦值为36767，求线段1的长。题型题型 8 异面直线的夹角问题异面直线的夹角问题例例 8 （2020 年年 1 月常州市教育协会期末测试，第月常州市教育协会期末测试，第 11 题，题，5 分）分）如图，在三棱锥-中， ， 平面， = 6， = = 8，点、分别为，的中点，点在线段上若 =34，则异面直线与 OD 所成角的余弦值为（ B ）A. -37B. 37C. -47D. 47变式训练变式训练（2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试，第月常州溧阳市期末测试，第 18 题，题，12 分）分）如图，在正方体-111中，点是的中点。（1）求1与1所成的角的余弦值；（2）求1与平面1所成的角正弦值。题型题型 9 球的内接几何体问题球的内接几何体问题例例 9 （2021 年年 1 月苏州中学期末测试，第月苏州中学期末测试，第 13 题，题，5 分）分）一个球的直径为 2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为 。题型题型 10 几何体的体积问题几何体的体积问题例例 10 （2020 年年 1 月南通如皋市期末测试，第月南通如皋市期末测试，第 21 题，题，12 分）分）如图， 是边长为 3 的正三角形，D，E分别在边 AB，AC 上，且 = = 1，沿 DE 将 翻折至 位置，使二面角-为 60。（1）求证： 平面 ；（2）求四棱锥-的体积。变式训练变式训练（2019 年年 1 月苏州市期末联考，第月苏州市期末联考，第 9 题，题，5 分）分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年 例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥 如图，在“堑堵”-111中， ，若“阳马”-11的体积为 20cm，则“堑堵”-111的体积为 30 cm。题型题型 11 平面图形的翻折问题平面图形的翻折问题例例 11 （2019 年年 1 月苏州市期末联考， 第月苏州市期末联考， 第 16 题，题， 12 分）分） 如图， AC， DF 分别为正方形 ABCD 和正方形 CDEF的对角线，M，N 分别是线段 AC，DF 上的点，且 AM=12MC、DN=12NF。（1）证明：MN平面 BCF；（2）证明：MNDC。课堂练习1、 （、 （2020 年年 1 月无锡市期末测试，第月无锡市期末测试，第 2 题，题，5 分）分）已知向量 = (0,1,1)， = (1,-2,1).若向量 + 与向量= (,2,)平行，则实数的值是（ ）A. 6B. -6C. 4D. -42、 （、 （2020 年年 1 月无锡市期末测试，第月无锡市期末测试，第 21 题，题，12 分）分）如图1，在高为6的等腰梯形中，且= 12， = 6，将它沿对称轴1折起，使平面1 平面1，如图2，点为的中点，点在线段上(不同于，两点)，连接并延长至点，使/。（1）证明： 平面；（2）若 = 2，求二面角-的余弦值。课后巩固练习一、选择题一、选择题1、 （、 （2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试，第月常州溧阳市期末测试，第 4 题，题，5 分）分） = (2,2-3,1)， = (-4,2,3-2).若/。则实数的值是（ ）A. 2B. 13C. 2D. 02、 （、 （2020 年年 1 月南通市启东中学期末测试，第月南通市启东中学期末测试，第 11 题，题，5 分，多选）分，多选）如图,在棱长均相等的四棱锥 中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有（ ）A. 平面B. 平面平面C. 直线与直线所成角的大小为 90D. 3、 （、 （2020 年年 1 月南通如皋市期末测试，第月南通如皋市期末测试，第 8 题，题，5 分）分）已知，是平面 外的两条不同直线，它们在平面 内的射影分别是直线，(与不重合)，则下列命题正确的个数是（ ） 若/b，则/； 若 ，则 ； 若 ，则/b； 若 ，则 。A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个4、 （、 （2020 年年 1 月南京秦淮中学期末测试，第月南京秦淮中学期末测试，第 3 题，题，5 分）分）若向量 = (0,1,-1), = (1,1,0)，且( + ) ，则实数的值是（ ）A. -1B. 0C. -2D. 15、 （、 （2020 年年 1 月南通如皋市期末测试，第月南通如皋市期末测试，第 11 题，题，5 分，多选）分，多选）在正三棱锥-中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则下列命题正确的是（ ）A. EF 与 AD 所成角的正切值为32B. EF 与 AD 所成角的正切值为23C. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为7212D. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为79第 2 题 第 6 题二、填空题二、填空题6、 （、 （2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试，第月常州溧阳市期末测试，第 15 题，题，5 分）分）已知四棱柱-111的底面是矩形， = 5， = 3，1= 4，1= 1= 60，则1= 。7、 （、 （2019 年年 1 月苏州市期末联考，第月苏州市期末联考，第 11 题，题，5 分）分）设 m，n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面下列命题中： 若 m，n，则 mn； 若 m，mn，则 n； 若 m ，则 m。正确命题的序号是 。8、 （、 （2020 年年 1 月南京秦淮中学期末测试， 第月南京秦淮中学期末测试， 第 15 题，题， 5 分）分） 在直三棱柱-111中， = 90，1= 2， = = 1，则异面直线1与1所成角的余弦值是 。9、 （、 （2020 年年 1 月徐州市期末测试，第月徐州市期末测试，第 14 题，题，5 分）分）在长方体-1111中， = = 3，1= 5，则1 1= 。三、解答题三、解答题10、 （、 （2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试， 第月常州溧阳市期末测试， 第 20 题，题， 12 分）分） 如图， 四棱锥-中， 平面， ， ， =233， = 1， = = 2。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）在边是否存在一点使二面角-的余弦值为3010，若存在请确定点的位置，不存在，请说明理由。11、 （、 （2020 年年 1 月镇江市期末测试，第月镇江市期末测试，第 21 题，题，12 分）分）如图，在底面为正方形的四棱锥 中，侧棱 底面，其中 = = 2，点 E 是线段的中点。（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点 F 在线段 PB 上，使得二面角 的正弦值为33，求点的位置。12、 （、 （2020 年年 1 月南通如皋市期末测试， 第月南通如皋市期末测试， 第 18 题，题， 12 分）分） 在直三棱柱-中， = = 1，= 90，1= 2，M，N 分别是1、1上的点，且: = : = 1:2。（1）求证：/平面11；（2）求平面1与平面111所成锐二面角的余弦值。13、 （、 （2020 年年 1 月徐州市期末测试，第月徐州市期末测试，第 21 题，题，12 分）分）如图，在三棱锥-中，已知 ， = = 2，平面 平面，点,分别是,的中点， ，连接。（1）若 = 2，并异面直线与所成角的余弦值的大小；（2）若二面角-的余弦值的大小为55，求的长。人教 A 版（2019） 选择性必修一 第 1 章 空间向量与立体几何重 难 点 复 习知识梳理知识梳理一、本节课思维导图一、本节课思维导图二、知识要点梳理二、知识要点梳理1、空间向量的线性运算、空间向量的线性运算加法交换律： + = + 加法结合律： + + = + + 数乘分配律： + = + ( )数乘结合律： = ()( ， )数量积的运算律： = = ( ) + = + 2、共线向量定理、共线向量定理对空间任意两个向量、 = 0 ，与共线的充要条件是存在实数，使 = 。规定：零向量与任意向量共线。3、共面向量定理、共面向量定理如果两个向量、不共线， 那么向量与向量、共面的充要条件是存在有序实数组( ，)， 使得 = + 。4、空间向量基本定理、空间向量基本定理如果三个向量1、2、3不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组( ， ，)，使 =1+ 2+ 35、空间向量的坐标运算、空间向量的坐标运算设 = (1，1，1)、 = (2，2，2)，则 + = (1+ 2，1+ 2，1+ 2)- = (1-2，1-2，1-2) = (1，1，1) = 12+ 12+ 126、空间向量的数量积、空间向量的数量积 = | 7、空间向量的夹角、空间向量的夹角 =|=12+ 12+ 1221+ 22+ 2321+ 22+ 23典型例题典型例题题型题型 1 向量的坐标运算向量的坐标运算例例 1 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 10 题，题，5 分，多选）分，多选）已知向量 = = ， =(3，0，-1)， = (-1，5，-3)， 下列等式中正确的是（ BCD ）A. = B. + = + C. + + 2= 2+ 2+ 2D. | + + |=|-|变式训练变式训练（2020 年年 1 月无锡市期末测试，第月无锡市期末测试，第 10 题，题，5 分）分）正四面体的棱长为 2，、分别为、的中点，则 的值为（ D ）A. -2B. 4C. 2D. 1【分析】【分析】如图所示，如图所示， = + ， =代入代入 ，利用数量积运算性质即可得出。，利用数量积运算性质即可得出。【解析】解：如图所示，【解析】解：如图所示， = + ， = = + =( + )=( + )= 。【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。题型题型 2 向量共线问题向量共线问题例例 2 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 13 题，题，5 分）分）已知向量 = (1，4，3)， = (-2， ，-6)，若/，则实数的值为 。【分析】【分析】根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.【详解】 向量【详解】 向量 = ( , ,)， = (- , ,-)， /，所以存在所以存在使使 = ， (-， ，-) = (，)，即即- = = - = ，解得：，解得： =- =-。【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目。【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目。变式训练变式训练（2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试，第月常州溧阳市期末测试，第 10 题，题，5 分）分）已知在四面体中，点是棱上的点，且 = 3，点是棱的中点，若 = + + 其中,为实数，则 + + 的值是（ B ）A. 12B. -12C. 2D. 2【分析】【分析】利用向量运算得到利用向量运算得到 =- +得到答案。得到答案。【 解 析 】【 解 析 】 = + + =- + =- +故故 + + =-【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力。【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力。题型题型 3 向量垂直问题向量垂直问题例例 3 （2020 年年 1 月常州市教育协会期末测试，第月常州市教育协会期末测试，第 7 题，题，5 分）分）已知空间向量 = (1,3,)， = 2,-1,2 ，则“ = 1”是“ ”的（ B ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【分析】【分析】根据向量垂直的点积运算得到根据向量垂直的点积运算得到 x 的值，进而得到结果。的值，进而得到结果。【解析】【解析】 ， + - = ， = 或或-3。故。故 x=1 是是 的充分不必要条件。的充分不必要条件。题型题型 4 直线与平面的夹角问题直线与平面的夹角问题例例 4 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试， 第月苏州市期末阳光测试， 第 6 题，题， 5 分）分） 已知正方体-1111中，是的中点，直线1与平面1所成角的正弦值为（ B ）A. 12B. 13C. 22D. 32【分析】【分析】直线直线与平面与平面所成角即直线所成角即直线与平面与平面所成角，根据定义找出线面角即可所成角，根据定义找出线面角即可.【详解】在正方体【详解】在正方体-中，平面中，平面平面平面，所以直线所以直线与平面与平面所成角即直线所成角即直线与平面与平面所成角，所成角，连接连接， 与平面与平面，所以所以就是直线就是直线与平面与平面所成角，所成角，在在 中，中， =，所以所以 =。【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可。【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可。变式训练变式训练（2021 年年 1 月苏州中学期末测试，第月苏州中学期末测试，第 11 题，题，5 分，多选）分，多选）在正三棱锥-中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则下列命题正确的是（ BC ）A. EF 与 AD 所成角的正切值为32B. EF 与 AD 所成角的正切值为23C. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为7212D. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为79题型题型 5 线面垂直问题线面垂直问题例例 5 （2020 年年 1 月南通市启东中学期末测试， 第月南通市启东中学期末测试， 第 20 题，题， 12 分）分） 如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1。（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值。【答案】 （【答案】 （1）证明见解析； （）证明见解析； （2）【解析】【解析】证明（证明（1） -是长方体是长方体 侧面侧面 平面平面 又又 ， = , 平面平面 平面平面（2 ） 以点） 以点坐标原点， 以坐标原点， 以,分别为分别为,轴，建立如图所示的空间直角坐标系轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ( , ,)，( , ,)，( , ,)，(,) = , , ,-,= += = 即：即：( , ,)， = ( ,-,-)= ( , , )， = ( , , )设设 = (,)是平面是平面的法向量的法向量 = , = .即：即：+ = ,-= .解得：解得： = (,-)，设设 = (,)是平面是平面的法向量的法向量 = , = 。即：即： = ,-= 。解得： = (,)二面角二面角-的余弦值的绝对值为：的余弦值的绝对值为：|=|=所以二面角所以二面角-的正弦值为：的正弦值为：-()=题型题型 6 面面垂直问题面面垂直问题例例 6 （2020 年年 1 月苏州市期末阳光测试，第月苏州市期末阳光测试，第 21 题，题，12 分）分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直， =2， = ，是线段的中点。（1）求证：/平面；（2）若 = 1，求二面角-的大小；（3）若线段上总存在一点，使得 ，求的最大值。【答案】 （【答案】 （1）证明见解析； （）证明见解析； （2）； （； （3）。【解析】 解 ： （【解析】 解 ： （1） 由题意， 正方形） 由题意， 正方形和矩形和矩形所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直 平面平面 平面平面 = EC平面平面以以为为轴，轴，为为轴，轴，为为轴，建立如图所示空间直角坐标系轴，建立如图所示空间直角坐标系 =，AF=t，是线段是线段的中点的中点 (, ,)， (,)， ( ,)， ( , ,)，(,)，,又又 =-,-, ， =-, , ，=,-, ， = ( ,)设平面设平面的法向量为的法向量为 = ( ， ，) 由由 = = ，可知，可知- + = - = 不妨令不妨令 = ，则，则 = ， = 平面平面的一个法向量为的一个法向量为 = , , =-+= 又又 平面平面 /平面平面。（ 2） 若） 若 = ， 则， 则 =,-, ， =( ,) 平面平面的一个法向量为的一个法向量为 = (,)设平面设平面的法向量为的法向量为 = ( , ,)， 由由 = = ，可知，可知 + = - = 不妨令不妨令 = ，则，则 = ， =- 平面平面的一个法向量为的一个法向量为 = , ,-设二面角设二面角-的平面角为的平面角为 为锐角为锐角 =|,|=| |= 二面角二面角-的大小为的大小为。（3） 点点在线段在线段上，而上，而 = (,)设设 = ，其中，其中 , = ( , ,)即：即：点坐标为点坐标为( , ,) =- ,- , = ,-, = ，即，即- - + = = - ，解得，解得 的最大值为的最大值为题型题型 7 二面角问题二面角问题例例 7 （2020 年年 1 月常州市教育协会期末测试，第月常州市教育协会期末测试，第 20 题，题，12 分）分）如图，在四棱柱 1111中，侧棱1 底面， ， = 1， = 1= 2， = =5。（1）求二面角1-1的正弦值；（2）点是线段1的中点，点为线段11上点，若直线与平面所成角的正弦值为36767，求线段1的长。【答案】 （【答案】 （1） （2）【解析】 （【解析】 （1） 证明：如图，以） 证明：如图，以为坐标原点，以为坐标原点，以、所在直线分别为所在直线分别为、轴建系轴建系则则( , ,)，( , ,)，( , ,)，( ,-,)，( , ,)，( , ,)，(,)，( ,-,)又又 分别为分别为的中点的中点 ( ,-,)，= ( ,-,)， = ( , ,)，= (,)设设 = ( ， ，)是平面是平面的法向量的法向量由由 = = ，得，得- + = = 取取 = ，得，得 = ( , ,)设设 = ( ， ，)是平面是平面的法向量的法向量由由 = = ，得，得 + = = 取取 = ，得，得 = (，-，) , =|=- + =-设二面角设二面角-的平面角为的平面角为 =-=所以二面角所以二面角-的正弦值为的正弦值为（2） 由题意可设） 由题意可设 = ， 其中， 其中 ,， ， ( , ,)， =- , + ,又因为又因为 = (,)是平面是平面的一个法向量的一个法向量所以所以,=|= + ( + )+ 设直线设直线和平面和平面所成角为所成角为 =|,|= + ( + )+ =整理，得整理，得+ -= - += 解得解得 =或或 =-（舍）（舍） 线段线段的长为的长为题型题型 8 异面直线的夹角问题异面直线的夹角问题例例 8 （2020 年年 1 月常州市教育协会期末测试，第月常州市教育协会期末测试，第 11 题，题，5 分）分）如图，在三棱锥-中， ， 平面， = 6， = = 8，点、分别为，的中点，点在线段上若 =34，则异面直线与 OD 所成角的余弦值为（ B ）A. -37B. 37C. -47D. 47【解析】【解析】 ， 平面平面， 以以为原点，为原点，为为轴，轴，为为轴，轴，为为轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 = ， = = ( , ,)，( , ,)，( , ,) 点点、分别为分别为，的中点的中点 ( , ,)，( , ,) = ( , ,)， = (- ,-,)， = ( , ,) 异面直线异面直线与与 OD 所成角的余弦值为所成角的余弦值为| |=|=|- + + + + |=变式训练变式训练（2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试，第月常州溧阳市期末测试，第 18 题，题，12 分）分）如图，在正方体-111中，点是的中点。（1）求1与1所成的角的余弦值；（2）求1与平面1所成的角正弦值。【答案】 （【答案】 （1）（2）【解析】 （【解析】 （1） 以） 以,所在的直线分别为所在的直线分别为,轴，建立空间直角坐标系轴，建立空间直角坐标系设正方体棱长为设正方体棱长为 2，则，则( , ,),( , ,)( , ,),( , ,),( , ,),( , ,) = ( , ,-),= (- , ,)设设与与所成角为所成角为则则 =|,|=|= 与与所成角的余弦值为所成角的余弦值为（2）= (- , ,), = (- , ,),=( , ,)设平面设平面的一个法向量为的一个法向量为 = (,)由由 = = - + = - + = = = ，取取 = ，则，则 = ( , ,)设设与平面与平面所成的角为所成的角为则则 =|,|=|= = 与平面与平面所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为题型题型 9 球的内接几何体问题球的内接几何体问题例例 9 （2021 年年 1 月苏州中学期末测试，第月苏州中学期末测试，第 13 题，题，5 分）分）一个球的直径为 2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为 42 。题型题型 10 几何体的体积问题几何体的体积问题例例 10 （2020 年年 1 月南通如皋市期末测试，第月南通如皋市期末测试，第 21 题，题，12 分）分）如图， 是边长为 3 的正三角形，D，E分别在边 AB，AC 上，且 = = 1，沿 DE 将 翻折至 位置，使二面角-为 60。（1）求证： 平面 ；（2）求四棱锥-的体积。【答案】【答案】(1)见解析；见解析；(2)【解析】【解析】(1)在在中，中， = ， = ， = ， = + - cos = ， + = = ，AED=90即即 DE AE，DE EC翻折后，翻折后， ，DE EC又又 = ， 平面平面 平面平面，且，且 = 又又 平面平面 在在中，中， = ， = ， = ，与证明与证明AED=90同理可得同理可得: = 由及由及 = ， 平面平面 平面平面(2)由由(1)可知可知: 平面平面，又，又 平面平面 BDEC 平面平面 平面平面在平面在平面内过内过作作 于于 H 平面平面 平面平面 = 平面平面 平面平面 BDEC又又 = sin=四边形= -= -=四边形 =变式训练变式训练（2019 年年 1 月苏州市期末联考，第月苏州市期末联考，第 9 题，题，5 分）分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年 例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥 如图，在“堑堵”-111中， ，若“阳马”-11的体积为 20cm，则“堑堵”-111的体积为 30 cm。【解析】如图，连接【解析】如图，连接 A1C，根据等底等高，易得：根据等底等高，易得：-= -= -B= - BA1ACC1的体积为的体积为 20cm3， ABCA1B1C1的体积为的体积为 30cm3，题型题型 11 平面图形的翻折问题平面图形的翻折问题例例 11 （2019 年年 1 月苏州市期末联考， 第月苏州市期末联考， 第 16 题，题， 12 分）分） 如图， AC， DF 分别为正方形 ABCD 和正方形 CDEF的对角线，M，N 分别是线段 AC，DF 上的点，且 AM=12MC、DN=12NF。（1）证明：MN平面 BCF；（2）证明：MNDC。【答案】 （【答案】 （1）详见解析（）详见解析（2）详见解析）详见解析【解析】【解析】【详解】【详解】(1)取取 DC 的三等分点的三等分点 P，使，使 = = MP AD MP BC MP平面平面 FBC = NP FC NP平面平面 FBC平面平面 MNP平面平面 FBC MN平面平面 FBC（2）CD CB，CD CF CD平面平面 FBC CD平面平面 MNP CD MN即即 MN DC课堂练习1、 （、 （2020 年年 1 月无锡市期末测试，第月无锡市期末测试，第 2 题，题，5 分）分）已知向量 = (0,1,1)， = (1,-2,1).若向量 + 与向量= (,2,)平行，则实数的值是（ D ）A. 6B. -6C. 4D. -42、 （、 （2020 年年 1 月无锡市期末测试，第月无锡市期末测试，第 21 题，题，12 分）分）如图1，在高为6的等腰梯形中，且= 12， = 6，将它沿对称轴1折起，使平面1 平面1，如图2，点为的中点，点在线段上(不同于，两点)，连接并延长至点，使/。（1）证明： 平面；（2）若 = 2，求二面角-的余弦值。【答案】 （【答案】 （1）证明略； （）证明略； （2）课后巩固练习一、选择题一、选择题1、 （、 （2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试，第月常州溧阳市期末测试，第 4 题，题，5 分）分） = (2,2-3,1)， = (-4,2,3-2).若/。则实数的值是（ D ）A. 2B. 13C. 2D. 02、 （、 （2020 年年 1 月南通市启东中学期末测试，第月南通市启东中学期末测试，第 11 题，题，5 分，多选）分，多选）如图,在棱长均相等的四棱锥 中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有（ ABD ）A. 平面B. 平面平面C. 直线与直线所成角的大小为 90D. 3、 （、 （2020 年年 1 月南通如皋市期末测试，第月南通如皋市期末测试，第 8 题，题，5 分）分）已知，是平面 外的两条不同直线，它们在平面 内的射影分别是直线，(与不重合)，则下列命题正确的个数是（ B ） 若/b，则/； 若 ，则 ； 若 ，则/b； 若 ，则 。A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个4、 （、 （2020 年年 1 月南京秦淮中学期末测试，第月南京秦淮中学期末测试，第 3 题，题，5 分）分）若向量 = (0,1,-1), = (1,1,0)，且( + ) ，则实数的值是（ C ）A. -1B. 0C. -2D. 15、 （、 （2020 年年 1 月南通如皋市期末测试，第月南通如皋市期末测试，第 11 题，题，5 分，多选）分，多选）在正三棱锥-中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则下列命题正确的是（ BC ）A. EF 与 AD 所成角的正切值为32B. EF 与 AD 所成角的正切值为23C. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为7212D. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为79第 2 题 第 6 题二、填空题二、填空题6、 （、 （2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试，第月常州溧阳市期末测试，第 15 题，题，5 分）分）已知四棱柱-111的底面是矩形， = 5， = 3，1= 4，1= 1= 60，则1= 。7、 （、 （2019 年年 1 月苏州市期末联考，第月苏州市期末联考，第 11 题，题，5 分）分）设 m，n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面下列命题中： 若 m，n，则 mn； 若 m，mn，则 n； 若 m ，则 m。正确命题的序号是 。8、 （、 （2020 年年 1 月南京秦淮中学期末测试， 第月南京秦淮中学期末测试， 第 15 题，题， 5 分）分） 在直三棱柱-111中， = 90，1= 2， = = 1，则异面直线1与1所成角的余弦值是 。9、 （、 （2020 年年 1 月徐州市期末测试，第月徐州市期末测试，第 14 题，题，5 分）分）在长方体-1111中， = = 3，1= 5，则1 1= 34 。三、解答题三、解答题10、 （、 （2020 年年 1 月常州溧阳市期末测试， 第月常州溧阳市期末测试， 第 20 题，题， 12 分）分） 如图， 四棱锥-中， 平面， ， ， =233， = 1， = = 2。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）在边是否存在一点使二面角-的余弦值为3010，若存在请确定点的位置，不存在，请说明理由。【答案】 （【答案】 （1）5738（2）存在，当）存在，当Q满足满足34BQBC时，能使三面角时，能使三面角APDQ的余弦值为的余弦值为301011、 （、 （2020 年年 1 月镇江市期末测试，第月镇江市期末测试，第 21 题，题，12 分）分）如图，在底面为正方形的四棱锥 中，侧棱 底面，其中 = = 2，点 E 是线段的中点。（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点 F 在线段 PB 上，使得二面角 的正弦值为33，求点的位置。【答案】 （【答案】 （1）6； （； （2）F为为PB的中点的中点12、 （、 （2020 年年 1 月南通如皋市期末测试， 第月南通如皋市期末测试， 第 18 题，题， 12 分）分） 在直三棱柱-中， = = 1，= 90，1= 2，M，N 分别是1、1上的点，且: = : = 1:2。（1）求证：/平面11；（2）求平面1与平面111所成锐二面角的余弦值。【答案】 （【答案】 （1）证明略； （）证明略； （2）212113、 （、 （2020 年年 1 月徐州市期末测试，第月徐州市期末测试，第 21 题，题，12 分）分）如图，在三棱锥-中，已知 ， = = 2，平面 平面，点,分别是,的中点， ，连接。（1）若 = 2，并异面直线与所成角的余弦值的大小；（2）若二面角-的余弦值的大小为55，求的长。【答案】 （【答案】 （1）33（2）2 63a