第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（二）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

第三章 圆锥曲线的方程 综合测试（一）第三章 圆锥曲线的方程 综合测试（一）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1抛物线27yx 的焦点坐标为A7,04B70,4C1,028D10,28【答案】D【详解】把抛物线27yx 化为标准方程217xy ，可得抛物线的焦点在y轴上，开口向下，且127p ，即114p ，所以焦点坐标为10,28.故选：D.2“01t ”是“曲线2211xytt表示椭圆”的A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为曲线2211xytt为椭圆，所以0101tttt ，解得01t 且12t ，所以“01t ”是“01t 且12t ”的必要而不充分条件.故选：A3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A45B35C25D15【答案】B【解析】由题意可知2222222 22444acbacbacbac 2223523052305cacaeee .4 （2021揭阳第一中学高二期中）已知椭圆：与双曲线：（，）具有共同的焦点，离心率分别为，且.2222111xyab110abD2222221xyab20a 20b 1F2F1e2e213ee点是椭圆和双曲线的一个交点，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】设，.根据圆锥曲线定义与勾股定理可得，从而可得，结合，可得结果.【详解】设，.在椭圆中，所以.在双曲线中，所以，所以，即，得，即.因为，所以，解得.故选：C5 （2021福建省厦门集美中学高二期中）已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ） ABCD【答案】A【解析】设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.【详解】PCD12PFPF2=e4 236223 3411PFr22PFr2221bb2221112ee213ee11PFr22PFrC2222212121 211 22222crrrrrrarr2221 2112444rracbD2222212121 221 22222crrrrrrarr2221 2222444rrcab2221bb222221acca222212aac2221112ee213ee2222132ee22e 1F2F22122:10,0 xyCababP222xyc1C121tan3PFF102173232PFm13PFm2a2cm由题意知，在中，可设，则，由勾股定理可得，又由得，所以，.故选：A.6 （2021贵州贵阳市贵阳一中高三月考 （文） ） 已知抛物线：的焦点为，点，分别在抛物线上，且，则（ ）A4B6C8D12【答案】B【解析】由抛物线的定义及其性质，解三角形的知识结合焦点弦公式，即可解出【详解】令，则，过，作准线 ：的垂线，垂足为，过作，垂足为，如图，易得，在中，直线的倾斜角为，焦点弦，1290FPF12Rt FPF121tan3PFF2PFm13PFm221212102FFPFPFmc122PFPFa22am21022ceaC220ypx pFMN34MFMN 16MN p 3MFtNFtNMl2px NMNNHMMH2MHtRtMNH60NMH=MN6022sinpMN，故选：B. 7已知O为坐标原点，F是椭圆C：12222byax（0 ba）的左焦点，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上一点，且xPF 轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为（ ） 。A、31B、21C、32D、43【答案】A【解析】作图，由题意得)0(，aA 、)0( ，aB、)0(，cF ，设)0(mE，由OEPF /得|AOAFOEMF，则acamMF)(|，又由MFOE/，得|21BFBOMFOE，则acamMF2)(|，由得)(21caca，即ca3，则31ace，故选 A。8已知直线)2( xky（0k）与抛物线C：xy82相交于A、B两点，F为C的焦点，若|2|FBFA ，则k（ ） 。6p =A、31B、32C、32D、322【答案】D【解析】设抛物C：xy82的准线为l：2x，直线)2( xky（0k）恒过定点)02(，P，如图过A、B分别作lAM 于M，lBN 于N，由|2|FBFA ，则|2|BNAM ，点B为AP的中点，连接OB，则|21|AFOB ，|BFOB ，点B的横坐标为1，故点B的坐标为)221 ( ，322)2(1022k，故选 D。二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9.已知O为坐标原点，1,2M，P是抛物线C：22ypx上的一点，F为其焦点，若F与双曲线2213xy的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）A若6PF ，则点P的横坐标为 4B该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为3C若POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9DPMF周长的最小值为35【答案】ACD【解析】因为双曲线的方程为2213xy，所以23a ，21b ，则222cab，因为抛物线C的焦点F与双曲线2213xy的右焦点重合，所以=22p，即4p ，选项 A：若6PF ，则点P的横坐标为042PFxp，所以选项 A 正确；选项 B：因为抛物线C的焦点F与双曲线2213xy的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为2222 333ba，所以选项 B 错误；选项 C： 因为(0,0)O、(2,0)F，所以POF外接圆的圆心的横坐标为 1，又因为POF外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为 3，所以3r ，所以该外接圆面积为29Sr，所以选项 C 正确；选项 D：因为PMF的周长为5 () 2525 352PPMpCPFPMMFxPMxPMx ，所以选项 D 正确.故选：ACD10. （2020江苏南京高二期末）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅已知点10M，直线 l：2x ，若某直线上存在点 P，使得点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）A点 P 的轨迹曲线是一条线段B点 P 的轨迹与直线 l：1x 是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C26yx不是“最远距离直线”D112yx是“最远距离直线”【答案】BCD【解析】由题意可得，点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1，即等价于“点 P 到点 M 的距离等于到直线 l：1x 的距离”故 P 点轨迹是以10M，为焦点， 直线 l：1x 为准线的抛物线，其方程是24yx，故 A 错误;点 P 的轨迹方程是抛物线24yx，它与直线 l没交点，即两者是没有交会的轨迹，故 B 正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线24yx有交点，把26yx代入抛物线24yx，消去 y 并整理得2590 xx因为254 1 9110 ，无解，所以26yx不是“最远距离直线”，故 C 正确；把112yx代 入 抛 物 线24yx， 消 去 y 并 整 理 得21240 xx， 因 为2124 1 41280 ，有解，所以112yx是“最远距离直线”，故 D 正确故选：BCD11 （2021江苏高三专题练）已知抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线为 l，过 F 点的直线与抛物线 E 交于 A，B 两点，C，D 分别为 A，B 在 l 上的射影，且|AF|3|BF|，M 为 AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）ACFD90B直线 AB 的斜率为3CCMD 为等腰直角三角形D线段 AB 的长为163【答案】ABD【详解】由抛物线的方程可得：F（1，0） ，准线方程为：x1，设直线 AB 的方程为：xmy+1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 C（1，y1） ，D（1，y2） ，联立方程214xmyyx消去x 整理可得：y24my40，所以 y1+y24m，y1y24，所以1212( 2,) ( 2,)4440FC FDyyy y uu u r uuu rgg，所以 FCFD，即CFD90，所以 A 正确，选项 B： 因为|AF|3|BF|，所以3AFFBuuu ruur，即 y13y2，且 y1+y24m，y1y24，解得33m ，所以直线 AB 的斜率为13km，故 B 正确，选项 C： 由 A 正确，则 CMDM 不可能，且角 C 和角 D 不可能为直角，故 C 错误，选项 D： 22222121216= 1()4116164(1)3ABmyyy ymmmgg故 D 正确，故选：ABD12 （2021聊城市山东聊城一中高三） 曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线222210,0 xyabab上点00,P xy处的曲率半径公式为3222220044xyRa bab，则下列说法正确的是（ ）A对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB椭圆222210 xyabab上一点处的曲率半径的最大值为aC椭圆222210 xyabab上一点处的曲率半径的最小值为2baD对于椭圆22211xyaa上点01,2y处的曲率半径随着a的增大而碱小【答案】AC【详解】A：由题设知：圆的方程可写为22221xyRR，所以圆上任一点00,P xy曲率半径为3322222440044xyRRRRRRR ，正确；B、 C： 由222210,0 xyabab弯曲最大处为(,0)a， 最小处为(0,)b， 所以在(,0)a处有322222440abRa baba，在(0,)b处有322222440baRa babb，即22,baRab，故 B 错误，C 正确；D：由题意，01,2y处的曲率半径32220414Raya，而202114ya ，所以8234333223242111()4444aaRaaaa，令824333( )44aaf aa，则在1a 上有11342( )(84)06afaaa恒成立，故R在1a 上随着a的增大而增大，错误；故选：AC.三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13 （2021安徽高二期中 （文） ） 已知抛物线2:C ymx的焦点是椭圆22195xyE：的左焦点，则抛物线C的准线方程是_【答案】2x 【解析】先求得椭圆的左焦点，然后利用抛物线交点与准线的关系求解即可.【详解】椭圆22:195xyE中，2229,5,954.2abcc 于是抛物线C的焦点是( 2,0)，故其准线方程是2x 故答案为：2x .14 （2021四川广元市高二期末（理） ）抛物线24xy的焦点为F，已知抛物线在A点处的切线斜率为 2，则直线AF与该切线的夹角的正弦值为_【答案】55【解析】利用导数的几何意义，结合切线的斜率求解切点坐标，然后求解切线与AF的正切值，再利用三角函数恒等变换公式可求得结果【详解】解：由24xy，得214yx，则12yx，设点A的坐标为( , )m n，则由题意可得122m ，解得4m ，则4n ，所以(4,4)A，因为抛物线24xy的焦点(0,1)F，所以4 13404AFk，设切线与AF的夹角为，则3214tan32124 ，所以221tan54sintancos11tan514，故答案为：5515如图所示，已知F是椭圆12222byax（0 ba）的左焦点，P是椭圆上的一点，xPF 轴，ABOP/（O为原点） ，则该椭圆的离心率是 。【答案】22【解析】)(2abcP，又PFO与BOA相似，则acbabAOOFBOPF2|，解得cb ，又222cba得22222aceca。16设抛物线C：pxy22（0p）的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B、D两点，若120BFD，ABD的面积为32，则p 。【答案】1【解析】120BFD，pAFDFBF2|，30DBFBDF，又pFF|，pAFDFBF2|，pBD32|，A到准线l的距离pAFd2|，323232221|212pppBDdSABD，解得1p。四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17. （2020全国高二单元练）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C22:12xy上，过 M 作x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足2NPNM .（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x 上，且1OP PQ .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线l过 C 的左焦点 F.【解析】（1）设 P（x，y） ，M（00,xy）,则 N（0,0 x） ，00NP(x, ),NM0,xyy （）由NP2NM 得00202xyy，.因为 M（00,xy）在 C 上，所以22x122y.因此点 P 的轨迹为222xy.由题意知 F（-1,0） ，设 Q（-3，t） ，P（m，n） ，则OQ3t PF1 mn OQ PF33mtn ， ，OPmn PQ3mtn ，（，）.由OP PQ1 得-3m-2m+tn-2n=1，又由（1）知222mn，故 3+3m-tn=0.所以OQ PF0 ，即OQPF.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.18 （12 分）已知双曲线22:33Cxy.（1）求双曲线的两条渐近线的夹角的大小；（2）设定点 A(a，0)(a0)，求双曲线上的动点 P 到 A 的距离 d 的最小值.【答案】 （1）3； （2）2min1,04312,42aadaa.【详解】（1）双曲线 C 的两条渐近线方程是3yx ，则它们的夹角是3；（2）设,P x y为双曲线上任意一点，则2233xy2222()423dAPxayxaxa，2234()3,(, 11,)44aadxx 二次函数22423yxaxa的对称轴04ax ，定义域为(, 11,) 当14a，即04a时，当1x 时，min1da当14a，即4a 时，当4ax 时，2min334ad综上所述2min1,04312,42aadaa19 （12 分）如图，直线: l yxb与抛物线2:4C xy相切于点A .（1）求实数b的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【详解】（1）直线: l yxb与抛物线2:4C xy相切于点A .则24yxbxy，得2440 xxb， （*）因为直线l与抛物线C相切，所以2( 4)4( 4 )0b ，解得1b .（2）由（1）可知1b ，故方程（*）即为2440 xx，解得2x ，代入24xy，得1y .故点(2,1)A，因为圆A 与抛物线C的准线相切，所以圆A 的半径r等于圆心A 到抛物线的准线1y 的距离，即|1( 1)| 2r ，所以圆A 的方程为22(2)(1)4xy.20 （2021河南高二月考（理） ）已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，椭圆 C 的离心率为.（）求椭圆 C 的标准方程；（）从椭圆 C 在第一象限内的部分上取横坐标为 2 的点 P，若椭圆 C 上有两个点 A，B 使2222:10 xyCabab 24 3xy22得的平分线垂直于坐标轴，且点 B 与点 A 的横坐标之差为，求直线 AP 的方程.【答案】 （）； （）.【解析】（）由题意可得关于参数的方程，解之即可得到结果；（）设直线 AP 的斜率为 k，联立方程结合韦达定理可得 A 点坐标，同理可得 B 点坐标，结合横坐标之差为，可得直线方程.【详解】（）由抛物线方程可得焦点为，则椭圆 C 的一个顶点为，即.由，解得.椭圆 C 的标准方程是；（）由题可知点，设直线 AP 的斜率为 k，由题意知，直线 BP 的斜率为，设，直线 AP 的方程为，即.联立方程组消去 y 得.P，A 为直线 AP 与椭圆 C 的交点，即.把换成，得.，解得，当时，直线 BP 的方程为，经验证与椭圆 C 相切，不符合题意；当时，直线 BP 的方程为，符合题意.直线 AP 得方程为.APB8322163xy12yx8324 3xy03，03，23b 22222cabeaa26a 22163xy2,1Pk11,A x y22,B xy12yk x 12ykxk 221 2 ,1,63ykxkxy 2222141 28840kxkk xkk212884221kkxk21244221kkxkkk22244221kkxk21288213kxxk112kk或1k 3yx12k 122yx 12yx21已知椭圆C：12222byax（0 ba）的四个顶点组成的四边形的面积为22，且经过点)221 ( ，。过椭圆右焦点F作直线l与椭圆C交于A、B两点。（1）求椭圆C的方程；（2）若OBOA ，求直线l的方程。【解析】 （1）四边形的面积为222221ba，2ab， 又点)221 ( ，在C：12222byax上，则121122ba，22a，12b，椭圆的方程为1222 yx； （2）由（1）可知椭圆C的右焦点)01 ( ，F，当直线l无斜率时，直线l的方程为1x，则)221 ( ，A、)221 ( ，B，OBOA 不成立，舍， 当直线l有斜率时，设直线方程为将) 1( xky，代入椭圆方程，整理得0) 1(24)21 (2222kxkxk，0恒成立，设)(11yxA，、)(22yxB，则2221214kkxx，222121) 1(2kkxx， 又22212122121 1)(kkxxxxkyy， 002121yyxxOBOAOBOA， 即04122121) 1(2222222kkkkkk，解得2k， 则直线l的方程为：) 1(2xy。 22 （12 分）已知抛物线E：pxy22（0p） ，直线3 myx与E交于A、B两点，且6OBOA，其中O为坐标原点。（1）求抛物线E的方程；（2 ）已知点C的坐标为)03(，记直线CA、CB的斜率分别为1k、2k，证明：22221211mkk为定值。【解析】 （1）联立方程组322myxpxy，消元得：0622ppmyy，0恒成立，设)(11yxA，、)(22yxB，pmyy221，pyy621， 又6694)(2122212121pyypyyyyxxOBOA，21p，从而xy 2； （2）6311111myyxyk，6322222myyxyk，1161ymk，2261ymk， 22221222212)6()6(211mymymmkk)11(36)11(12222121yyyym )11(36)11(12222121yyyym22212122121212)(3612yyyyyyyyyym， 又mpmyy221，3621pyy，则2421122221mkk， 即22221211mkk为定值24。 第三章 圆锥曲线的方程 综合测试（二）第三章 圆锥曲线的方程 综合测试（二）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1 （2020全国高考）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ，则点 C 的轨迹为（ ）A圆B椭圆C抛物线D直线【答案】A【解析】设20ABa a，以 AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：,0 ,0AaB a，设,C x y，可得：,ACxa yBCxa y，从而 ：2AC BCxaxay，结合题意可得 ：21xaxay，整理可得 ：2221xya，即点 C 的轨迹是以 AB 中点为圆心，21a 为半径的圆.故选：A.2 （2020湖北襄阳高二期末） 将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()b ab同时增加(0)m m 个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则（ ）A对任意的, a b，12eeB当ab时，12ee；当ab时，12eeC对任意的, a b，12eeD当ab时，12ee；当ab时，12ee【答案】D【解析】依题意，因为，由于，所以当时， 所以12ee；当时，而，所以，所以12ee所以当ab时，12ee；当ab时，12ee3.（2018全国高考）设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为23的直线与 C交于 M，N 两点，则FM FN =( )A5B6C7D8【答案】D【解析】根据题意，过点（2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3yx，与抛物线方程联立22(2)34yxyx，消元整理得：yy2680，解得(1,2),(4,4)MN，又(1,0)F，所以(0,2),(3,4)FMFN ，从而可以求得0 32 48FM FN ，故选 D4在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ，则点 C 的轨迹为A圆B椭圆C抛物线D直线【答案】A【详解】设20ABa a，以 AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：,0 ,0AaB a，设,C x y，可得：,ACxa yBCxa y，从而：2AC BCxaxay，结合题意可得：21xaxay，整理可得：2221xya，即点 C 的轨迹是以 AB 中点为圆心，21a 为半径的圆.5 （2020浙江高考真题）已知点 O（0，0） ，A（2，0） ，B（2，0） 设点 P 满足|PA|PB|=2，且 P 为函数 y=23 4x图像上的点，则|OP|=（ ）A222B4 105C7D10【答案】D【详解】因为| 24PAPB，所以点P在以,A B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1ca可得，222413bca ，即双曲线的右支方程为22103yxx，而点P还在函数23 4yx的图象上，所以，由2221033 4yxxyx，解得1323 32xy，即13271044OP 6 （2020全国高考真题）设双曲线 C：22221xyab（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5P 是 C 上一点，且 F1PF2P若PF1F2的面积为 4，则 a=（ ）A1B2C4D8【答案】A【详解】5ca，5ca ，根据双曲线的定义可得122PFPFa，1 2121|42PF FPFFSP，即12|8PFPF，12FPF P，22212|2PFPFc，22121224PFPFPFPFc，即22540aa，解得1a ，故选：A.7 （江西高二期末）已知直线和直线，抛物线上一动点1:4360lxy2:1lx 24yxP到直线和直线的距离之和的最小值是( )A2B3CD【答案】A【解析】直线 l2： x1 为抛物线 y24x 的准线由抛物线的定义知，P 到 l2的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线 y24x 上找一个点 P，使得 P 到点 F(1,0)和直线 l2的距离之和最小， 最小值为 F(1,0)到直线 l1： 4x3y60 的距离， 即 dmin28 （2020四川成都七中高三其他模拟（文） ）已知 P(x0,y0)是椭圆 C:+y2=1 上的一点,F1,F2分别是椭圆 C 的左、右焦点,若0,则 x0的取值范围是ABCD【答案】A【解析】将原问题转化为椭圆与圆的交点问题，求得临界值，然后求解 x0的取值范围即可.【详解】如图，设以 O 为原点、半焦距为半径的圆 x2+y2=3 与椭圆交于 A，B 两点.由得，要使0，则点 P 在 A、B 之间，1l2l1153716406524x12PF PF 2 6 2 6,332 3 2 3,3333,3366,333c 2222314xyxy2 63x12PF PF x0的取值范围是故选 A二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9设抛物线C：pxy22（0p）的焦点为F，点M在C上，5|MF，若以MF为直径的圆过点)20( ，则C的方程为（ ） 。A、xy22B、xy42C、xy82D、xy162【答案】BD【解析】设)(00yxM，则52|0pxMF，则250px，又)02(，pF，则以MF为直径的圆的方程为0)()2()(00yyypxxx，将)02( ，代入，得04800ypx，即0842020 yy，40y，由0202pxy 得：)25(216pp，解得2p或8，则方程为xy42或xy162，故选 BD。10我们把离心率为215 e的双曲线12222byax（0a，0b）称为黄金双曲线。如图所示，1A、2A是双曲线的实轴顶点，1B、2B是虚轴顶点，1F、2F是焦点， 过右焦点2F且垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，则下列命题正确的是（ ） 。A、双曲线11522yx是黄金双曲线B、若acb 2，则该双曲线是黄金双曲线C、若90211ABF，则该双曲线是黄金双曲线D、若90MON，则该双曲线是黄金双曲线【答案】BCD2 6 2 6,33【解析】A 选项，21525151e，不是黄金双曲线，B 选项，222acacb，化成022acac，即012ee，又1e，解得215 e，是黄金双曲线，C 选项，90211ABF，221221211|AFABFB，22222)(caabcb，化简得022aacc，由知是黄金双曲线，D 选项，90MON，xMN 轴，abMF22|，且2MOF是等腰Rt，abc2，即acb 2，由知是黄金双曲线，综上，BCD 是黄金双曲线，故选 BCD。11 （2021武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二期末）已知曲线，、为实数，则下列说法正确的是（ ）A曲线可能表示两条直线B若，则是椭圆，长轴长为C若，则是圆，半径为D若，则是双曲线，渐近线方程为【答案】AC【解析】取，可判断 A 选项的正误；将曲线的方程化为标准方程，可判断 B 选项的正误；将方程化为圆的标准方程，可判断 C 选项的正误；分和两种情况讨论，将曲线的方程化为标准方程，求出双曲线的渐近线方程，可判断 D 选项的正误.【详解】对于 A 选项，若，则曲线的方程为，即，此时，曲线表示两条直线，A 选项正确；对于 B 选项，若，则，曲线的标准方程为，22:1C mxnymnC0mnC2 m0mnC1m0m nCnyxm 0m 0n C00mn00mnC0m 0n C21mx 1xm C0mn110nmC22111xymn此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，该椭圆的长轴长为，B 选项错误；对于 C 选项，若，曲线的方程为，此时，曲线表示圆，且该圆的半径为，C 选项正确； 对于 D 选项，若，则曲线的方程为，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，此时，双曲线的渐近线方程为；当，时，则曲线的方程为，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，所以，双曲线的渐近线方程为.综上所述，D 选项错误.故选：AC.12 （2020湖南师大附中高二期末）已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线，经过点，以上一点为圆心的圆过定点，记，为圆与轴的两个交点（ ）A抛物线的方程为B当圆心在抛物线上运动时，随的变化而变化C当圆心在抛物线上运动时，记，有最大值D当且仅当为坐标原点时，【答案】ACD【解析】Cy2n0mnC221xymC1m0m 0n C22111xymnCx21am21bn Cbmyxxan 0m 0n C22111yxnmCy21an21bm Camyxxbn y1C2,2P1C2C0,1AMN2Cx1C22xy2CMN2C2C|AMm|ANnmnnm2CAMAN由已知，设抛物线方程为，将点代入即可判断 A 选项；设圆心，求出圆的半径，写出圆的方程，令，可求得、，由此可判断 B 选项；设，根据条件可求得，利用基本不等式讨论即可判断 C 选项；再根据可判断 D 选项【详解】解：由已知，设抛物线方程为，解得所求抛物线的方程为，故 A 正确；设圆心，则圆的半径，圆的方程为，令，得，得，（定值） ，故 B 不正确；设，当时，当时，故当且仅当时，取得最大值为，故 C 正确；由前分析，即，当且仅当时，故 D 正确；故选：ACD三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）22xpy2,2P22,2aCa0y MN(1,0)M a(1,0)N amnnm222|AMANMN22xpy2222p1p C22xy22,2aCa22212ara2C222222()122aaxaya0y 22210 xaxa 11xa21xa12|2MNxx(1,0)M a(1,0)N a22211(1)122mxaaa 22221(1)122nxaaa 2222442442 144mnmnaanmmnaa0a 2mnnm0a 2242 12 24mnnmaa2a mnnm2 22222|24 |4AMANaMN2222224aaaa 0a 222|AMANMN13.（2020山东泰安一中高二月考）已知双曲线（0ab）的焦距为2c，右顶点为， 抛物线的焦点为,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】yx 【解析】由已知,OAa AFc，所以，,2pOFp b把2pyb 代入双曲线方程22221xyab得，222,xa所以，直线2py 被双曲线截得的线段长为2 2a，从而2 22 ,2ac ca，所以，2222,abaab，所求渐近线方程为yx .14 （2020福建莆田一中高二月考）椭圆2222:1(0)xyrabab的左、右焦点分别为12.FF、焦距为2c，若直线3yxc与椭圆r的一个交点M满足12212,MFFMF F 则该椭圆的离心率等于 .【答案】31【解析】注意到直线过点(,0)c即为左焦点1F，又斜率为3，所以倾斜角为060，即01260MFF.又故02130MF F，那么02190F MF.01121cos602 2MFFFcc，02123sin602 32MFFFcc，122223123ccceaMFMFcc.15.（2020大连 24 中高二月考）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点M在 C上，5MF ，若以 MF为直径的圆过点（0,2） ，则C的方程为 .【答案】24yx或 216yx【解析】抛物线C 方程为22(0)ypx p,焦点(,0)2pF，设( , )M x y,由抛物线性质52pMFx,可得52px ，因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与 y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为 2，则 M 点纵坐标为 4，即(5,4)2pM,代入抛物线方程得210160pp，所以 p=2 或 p=8.所以抛物线 C 的方程为24yx或216yx.16数学中有许多形状优美寓意美好的曲线，曲线22:4C xyx y 就是其中之一，曲线 C 对应的图象如图所示，下列结论：直线 AB 的方程为：20 xy；曲线 C 与圆228xy有 2 个交点；曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 12；曲线 C 恰好经过 4 个整点(即横纵坐标均为整数的点).其中正确的是：_.(填写所有正确结论的编号)【答案】【详解】对于，曲线22:4C xyx y ，令0 x ，则2y ；令0y ，则2x ；所以点2,0A，0,2B，所以直线 AB 的方程为：221xy即20 xy，故错误；对于，由222248xyx yxy可得22xy或22xy ，所以曲线 C 与圆228xy有 2 个交点2,2，2,2，故正确；对于，在曲线上取点2,2D，2,2E ，2,0F ，0, 2G，顺次连接各点，如图，则12 44 2122ADEFGS ，所以曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 12，故正确；对于，曲线经过的整点有：2,0，0, 2，2,2，有 6 个，故错误.故答案为：.四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；（2）经过点) 132(，P，)23(，Q两点；（3）与椭圆13422yx有相同离心率且经过点)32(，。【解析】 （1）由已知得ca2，3ca，解得32a，3c，3b，所求椭圆方程为191222yx或112922yx； （2）设椭圆方程为122 ByAx（0A，0B且BA） ，则代入P、Q两点，解得151A，51B，所求椭圆方程为151522yx； （3）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为：tyx3422（0t） ，将点)32(，代入得23)3(4222t，故所求方程为16822yx，若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为：3422xy（0） ，将点)32(，代入得12254)3(3222，故所求方程为142532522xy。 18已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，OPOM=，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线【详解】(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a， c， 由已知得17acac ， ，解得 a = 4 , c = 3 又b2a2c2，b 7 ， 所以椭圆 C 的方程为221167xy . (2)设 M(x，y)，其中 x4,4，由已知|OPOM 及点 P 在椭圆 C 上可得2222911216()xxy ，整理得(1629)x2162y2112，其中 x4,4 当 34时，化简得 9y2112，所以点 M 的轨迹方程为 y 4 73(4x4)轨迹是两条平行于 x 轴的线段 当 34时，方程变形为 2222111211216916xy ，其中 x4,4当 034时，点 M的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足4x4 的部分；当341）的左、右顶点，G 为 E的上顶点，8AG GB ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.【解析】 （1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)xEyaa可得：,0Aa， ,0B a，0,1G,1AGa，, 1GBa 218AG GBa ，29a 椭圆方程为：2219xy（2）证明：设06,Py，则直线AP的方程为：00363yyx ，即：039yyx联立直线AP的方程与椭圆方程可得：2201939xyyyx，整理得：2222000969810yxy xy，解得：3x 或20203279yxy将20203279yxy代入直线039yyx可得：02069yyy所以点C的坐标为20022003276,99yyyy.同理可得：点D的坐标为2002200332,11yyyy当203y 时，直线CD的方程为：0022200002222000022006291233327331191yyyyyyyxyyyyyy，整理可得：2220000002224200000832338331116 96 3yyyyyyyxxyyyyy整理得：0002220004243323 33 3yyyyxxyyy所以直线CD过定点3,02当203y 时，直线CD：32x ，直线过点3,02故直线 CD 过定点3,0221 （2019福建省永春第一中学高二期末 （文） ） 已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.（1）求点的轨迹的方程；P221:18Fxy2F1F2P