第二章 直线和圆的方程单元测试（二）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

第二章 直线和圆的方程 综合测试（二）第二章 直线和圆的方程 综合测试（二）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1 （2020宝山上海交大附中开学考试）若直线1xyab通过点(cossin)M，则（ ）A221abB221abC22111abD22111ab2 （2020云南其他（文） ）已知圆22:230C xyx，直线:1l ykx与圆 C 交于A，B 两点，当弦长AB最短时k的值为（ ）A1B2C1D23 （2019广东湛江期末）已知圆22(1)4xy内一点 P（2，1） ，则过 P 点的最短弦所在的直线方程是（ ）A10 xy B30 xyC30 xyD2x 4 （2021湖南高三其他模拟）已知直线210 xy 与圆22(1)(2)4xy相交于,A B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）A230 xyB250 xyC230 xyD250 xy5 （2021四川高二期末（理） ）已知圆221xy与直线310axby （a，b为非零实数）相切，则2213ab的最小值为（ ）A10B12C13D166 （2021黑龙江哈尔滨市哈九中高二期中（文） ）直线2410 xy 关于0 xy对称的直线方程为（ ）A4210 xyB4210 xy C4210 xy D4210 xy 7 （2021安徽）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为2,0 ,3,23 ,1,23 ,ABC4,Da， 若它们都在同一个圆周上， 则a的值为 （ ）A0B1C2D38 （2021河南洛阳市）从直线34:15xly上的动点P作圆221xy的两条切线，切点分别为C、D，则CPD最大时，四边形OCPD（O为坐标原点）面积是（ ）A3B2 2C2 3D2二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9已知圆M的一般方程为06822yxyx，则下列说法正确的是（ ） 。A、圆M的圆心为)34(，B、圆M被x轴截得的弦长为8C、圆M的半径为10D、圆M被y轴截得的弦长为610直线3 kxy与圆4)2()3(22yx相交于M、N两点，若32|MN，则k的取值可以是（ ） 。A、1B、21C、0D、111 （2021山东济南市高三其他模拟）已知圆22:68210C xyxy，O为坐标原点，以OC为直径的圆C与圆C交于AB两点，则（ ）A圆C的方程为22340 xyxyB直线AB的方程为34210 xyC,OA OB均与圆C相切D四边形CAOB的面积为4 2112 （2020辽宁大连八中高二期中）以下四个命题表述正确的是（ ）A圆222xy上有且仅有3个点到直线:10l xy 的距离都等于22B曲线221:+20Cxyx与曲线222480C : xyxym，恰有四条公切线，则实数m的取值范围为4m C 已知圆22:2C xy，P为直线2 30 xy上一动点， 过点P向圆C引一条切线PA，其中A 为切点，则PA的最小值为2D已知圆22:4C xy，点P为直线:280lxy上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A ，B为切点，则直线AB经过点11,2三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13 （2019黑龙江鹤岗月考（文） ）已知点P xy，在直线1 0 xy上运动，则2211xy取得最小值时点P的坐标为_14 （2020五华云南师大附中月考（文） ）已知 P 是直线 l: 260 xy上一动点，过点 P作圆 C:22230 xyx的两条切线，切点分别为 A、B.则四边形 PACB 面积的最小值为_.15 （2021辽宁）已知圆心为,0a的圆C与倾斜角为56的直线相切于点3,3N，则圆C的方程为_16 （2021江苏南京市）直线323yx与圆D：22313xy交与A ，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为_四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17已知三角形ABC的三个顶点)05(，A、)33(，B、)20( ，C。（1）求BC边所在直线的方程；（2）求ABC的面积。18 ABC的一个顶点) 13(，A，AB边上的中线CM所在直线方程为059106yx，B的平分线方程BT为0104yx。（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程。19 （2020辽宁高二期中）已知圆22:4O xy与x轴负半轴的交点为 A，点P在直线: 320lxya上，过点P作圆O的切线，切点为T.（1）若4 3a，切点(1,3)T，求直线 AP ；（2）若3PAPT，求实数a的取值范围.20(本题 12 分)已知圆 C 的圆心坐标为 C（3，0） ，且该圆经过点 A（0，4） （1）求圆 C 的标准方程；（2）若点 B 也在圆 C 上，且弦 AB 长为 8，求直线 AB 的方程；（3）直线 l 交圆 C 于 M，N 两点，若直线 AM，AN 的斜率之积为 2，求证：直线 l 过一个定点，并求出该定点坐标（4）直线 l 交圆 C 于 M，N 两点，若直线 AM，AN 的斜率之和为 0，求证：直线 l 的斜率是定值，并求出该定值21 （2020肥东县综合高中月考（文） ）已知圆22(3)(4)16xy，直线1:0lkxyk，且直线1l与圆交于不同的两点,P Q，定点A的坐标为(1,0).（1）求实数k的取值范围；（2）若,P Q两点的中点为M，直线1l与直线2:240lxy的交点为N，求证：| |AMAN为定值.22 （2020宝山上海交大附中开学考试）已知直线:20l xy和点( 1,1), (1,1)AB（1）直线 l 上是否存在点 C，使得ABC为直角三角形，若存在，请求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）在直线 l 上找一点 P，使得APB最大，求出 P 点的坐标. 第二章 直线和圆的方程 综合测试（二）第二章 直线和圆的方程 综合测试（二）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1 （2020宝山上海交大附中开学考试）若直线1xyab通过点(cossin)M，则（ ）A221abB221abC22111abD22111ab【答案】D【解析】依题意可得，M点在单位圆上，所以直线1xyab与单位圆有交点，则圆心即原点到直线的距离221111dab，即22111ab，故选 D2 （2020云南其他（文） ）已知圆22:230C xyx，直线:1l ykx与圆 C 交于A，B 两点，当弦长AB最短时k的值为（ ）A1B2C1D2【答案】A【解析】据题意直线:1l ykx恒过定点0,1E，圆心1,0C，当直线l与 CE 垂直时，弦长AB最短，此时1CEk ，1k 故选 A3 （2019广东湛江期末）已知圆22(1)4xy内一点 P（2，1） ，则过 P 点的最短弦所在的直线方程是（ ）A10 xy B30 xyC30 xyD2x 【答案】B【解析】由题意可知,当过圆心且过点2,1P时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为1,0C,2,1P，则由两点间斜率公式可得1 012 1CPk，所以与PC垂直的直线斜率为1k ， 则由点斜式可得过点2,1P的直线方程为112yx ，化简可得30 xy， 故选：B4 （2021湖南高三其他模拟）已知直线210 xy 与圆22(1)(2)4xy相交于,A B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）A230 xyB250 xyC230 xyD250 xy【答案】D【分析】由圆的平面几何性质可知，过圆心与210 xy 垂直的直线即为所求，根据垂直关系求出 AB 中垂线斜率即可求解.【详解】因为直线 AB：210 xy 的斜率为2，可知垂直平分线的斜率为12，又圆22(1)(2)4xy的圆心为(1, 2)，所以弦 AB 的垂直平分线方程为1212yx，化简得250 xy，故选：D5 （2021四川高二期末（理） ）已知圆221xy与直线310axby （a，b为非零实数）相切，则2213ab的最小值为（ ）A10B12C13D16【答案】D【分析】先根据直线与圆相切得到22,a b的关系式，然后利用“1”的妙用结合基本不等式求解出2213ab的最小值.【详解】因为圆221xy与直线310axby 相切，所以2200 113ab，所以2231ab，所以2222222222222213133310616310ababababbabbaa，取等号时2214ab，所以2213ab的最小值为16.故选：D.6 （2021黑龙江哈尔滨市哈九中高二期中（文） ）直线2410 xy 关于0 xy对称的直线方程为（ ）A4210 xyB4210 xy C4210 xy D4210 xy 【答案】A【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线2410 xy 上一点00,P xy关于直线0 xy的对称点，代入直线2410 xy 中即可得到对称直线方程.【详解】设直线2410 xy 上一点00,P xy关于直线0 xy对称点的坐标为,P x y，则00001022yyxxxxyy，整理可得：00 xyyx ，2410yx ，即直线2410 xy 关于0 xy对称的直线方程为：4210 xy.故选：A.7 （2021安徽）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为2,0 ,3,23 ,1,23 ,ABC4,Da， 若它们都在同一个圆周上， 则a的值为 （ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】设圆的方程为220 xyDxEyF，由题意得22222220203233230123230DFDEFDEF，解得444DEF ，所以224440 xyxy，又因为点4,Da在圆上，所以2244 4440aa ，即2a .故选：C.8 （2021河南洛阳市）从直线34:15xly上的动点P作圆221xy的两条切线，切点分别为C、D，则CPD最大时，四边形OCPD（O为坐标原点）面积是（ ）A3B2 2C2 3D2【答案】B【解析】圆221xy的圆心为坐标原点O，连接OC、OD、OP，则OPCOPD ，设OPCOPD ，则2CPD，OCPC，则1sinOCOPOP，当OP取最小值时，OPl，此时2215334OP ，2212 2PCPDOP，OCOD，OPOP，故OPCOPD，此时，21 2 22 2OPCOCPDSSOCPC 四边形.故选：B.二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9已知圆M的一般方程为06822yxyx，则下列说法正确的是（ ） 。A、圆M的圆心为)34(，B、圆M被x轴截得的弦长为8C、圆M的半径为10D、圆M被y轴截得的弦长为6【答案】ABD【解析】由圆M的一般方程为06822yxyx，则圆M：2225)3()4(yx，故圆心为)34(，半径为5，则 A 选项正确、C 选项错误，令0 x，得0y或6y，弦长为6，则 D 选项正确，令0y，得0 x或8x，弦长为8，则 B 选项正确，故选 ABD。10直线3 kxy与圆4)2()3(22yx相交于M、N两点，若32|MN，则k的取值可以是（ ） 。A、1B、21C、0D、1【答案】BC【解析】圆4)2()3(22yx的圆心为)23( ，半径为2，由32|MN可得圆心)23( ，到直线3 kxy的距离1)2(222MNd，又直线方程可化为03 ykx，11|323|2kk，解得043k，k的取值可以是21、0，故选 BC。11 （2021山东济南市高三其他模拟）已知圆22:68210C xyxy，O为坐标原点，以OC为直径的圆C与圆C交于AB两点，则（ ）A圆C的方程为22340 xyxyB直线AB的方程为34210 xyC,OA OB均与圆C相切D四边形CAOB的面积为4 21【答案】AC【分析】A将圆C的方程化为标准方程，求解出圆心C的坐标，则圆C的标准方程可求，最后化为一般方程并判断；B联立两个圆的一般方程，通过相减消去22,xy得到直线AB的方程并判断；C根据切线的定义进行判断；D根据2AOCCAOBSS四边形结合线段长度求解出结果并判断.【详解】解：由圆22:68210C xyxy，得22344xy，则圆心3,4C，线段OC的中点坐标为3,22，则以OC为直径的圆的方程为22325(2)24xy，整理得：22340 xyxy，即圆C的方程为22340 xyxy，故 A 正确；联立222234068210 xyxyxyxy，两式作差可得：34210 xy，即直线AB的方程为34210 xy，故 B 错误；,A B在以OC为直径的圆上，,CAOA CBOB，由圆心与切点的连线与切线垂直，可得,OA OB均与圆C相切，故 C 正确；CAOA，且5,2OCCA，2225 421OAOCCA，四边形CAOB的面积为122212 212S ，故 D 错误故选：AC12 （2020辽宁大连八中高二期中）以下四个命题表述正确的是（ ）A圆222xy上有且仅有3个点到直线:10l xy 的距离都等于22B曲线221:+20Cxyx与曲线222480C : xyxym，恰有四条公切线，则实数m的取值范围为4m C 已知圆22:2C xy，P为直线2 30 xy上一动点， 过点P向圆C引一条切线PA，其中A 为切点，则PA的最小值为2D已知圆22:4C xy，点P为直线:280lxy上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A ，B为切点，则直线AB经过点11,2【答案】ACD【分析】选项 A 根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项 B 根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解 ； 选项 C 利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项 D 利用切线的性质得切点弦方程，再根据切点弦方程求定点.【详解】选项 A：圆222xy的圆心为0,0O ，半径2r .圆心0,0O到直线:10l xy 的距离121222Odr，所以圆222xy上有且仅有3个点到直线:10l xy 的距离都等于22 故选项 A 正确；选项 B：方程22+20 xyx可化为2211xy ，故曲线1C 表示圆心为11,0C，半径11r 的圆.方程22480 xyxym可化为222420 xym 因为圆1C 与曲线2C 有四条公切线，所以曲线2C也为圆，且圆心为22,4C ，半径220rm (20m )同时两圆的位置关系为外离，有1212C Crr ，即5120m ，解得420m.故选项 B 错误；选项 C：圆22:2C xy的圆心0,0C ，半径2r ，圆心0,0C到直线2 30 xy的距离2 32Cdr，所以直线与圆相离.由切线的性质知，PAC 为直角三角形，22222CPAPCrd ，当且仅当PC 与直线2 30 xy垂直时等号成立，所以PA 的最小值为2 .故选项 C 正确；选项 D：设点00,P xy，因为点00,P xy在直线280 xy上，所以00280 xy，0082yx ，由圆的切线性质知，直线AB的方程为004xxyy，00824xxyx，整理得02840 xy xy ，解方程20.840 xyy得，1,12xy .所以直线AB过定点11,2.故选项 D 正确.故选：ACD.三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13 （2019黑龙江鹤岗月考（文） ）已知点P xy，在直线1 0 xy上运动，则2211xy取得最小值时点P的坐标为_【答案】11,22【解析】2211xy转化为直线1 0 xy 上的点, x y到点1,1的距离的平方，又点1,1到直线1 0 xy 的距离最小，过点1,1且与直线1 0 xy 垂直的直线为yx因此两直线联立，10 xyyx ，解得1212xy 故点P的坐标为11,2214 （2020五华云南师大附中月考（文） ）已知 P 是直线 l: 260 xy上一动点，过点 P作圆 C:22230 xyx的两条切线，切点分别为 A、B.则四边形 PACB 面积的最小值为_.【答案】2【解析】由题意得：圆的方程为：22(1)4xy圆心为( 1 0) ，半径r为 2，又四边形 PACB 的面积SPAAC22224PCACACPC，所以当 PC 最小时，四边形 PACB 面积最小将( 1 0) ，代入点到直线的距离公式，min22| 1 6|521PC ，22| |521PAPB|222PACBPA rS故四边形 PACB 面积的最小值为 2故答案为：215 （2021辽宁）已知圆心为,0a的圆C与倾斜角为56的直线相切于点3,3N，则圆C的方程为_【答案】2244xy【解析】由题意得，圆的半径222(3)( 3)(3)3raa，直线的方程为：3(3)(3)3yx ，整理得：303xy，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离2233(3)3313adra，所以224 (3)3aa，解得4a ，所以圆C的方程为2244xy.故答案为：2244xy16 （2021江苏南京市）直线323yx与圆D：22313xy交与A ，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为_【答案】43【解析】如图所示：直线323yx的斜率是33，则倾斜角为6，则1=,2=66 ，因为ADBD，所以1= 2，所以=66，即4=3.故答案为 ：43四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17已知三角形ABC的三个顶点)05(，A、)33(，B、)20( ，C。（1）求BC边所在直线的方程；（2）求ABC的面积。【解析】 （1）BC边过两点)33(，B、)20( ，C，3530) 3(2BCk， BC边所在直线的方程为)0(352xy，即0635yx； （2）)05(，A，点A到直线BC的距离为：34343135|603)5(5|22d， )33(，B、)20( ，C，34)23()03(|22BC， 2313434313421ABCS。 18 ABC的一个顶点) 13(，A，AB边上的中线CM所在直线方程为059106yx，B的平分线方程BT为0104yx。（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程。【解析】 （1）设)(00yxB，则AB的中点)2123(00yxM，在直线CM上， 059211023600yx，即0555300 yx， 又点B在直线BT上，在010400 yx，联立可得100 x，50y，即B点的坐标为)510(，； （2）设点) 13(，A关于直线BT的对称点D的坐标为)(ba，则点D在直线BC上， 由题意可知0102142314131baab，解得71ba，即)71 ( ，D， 9210157BDBCkk， 直线BC的方程为)10(925xy，即06592yx。 19 （2020辽宁高二期中）已知圆22:4O xy与x轴负半轴的交点为 A，点P在直线: 320lxya上，过点P作圆O的切线，切点为T.（1）若4 3a，切点(1,3)T，求直线 AP ；（2）若3PAPT，求实数a的取值范围.【答案】 （1）2 3(2)9yx； （2）38318188a【分析】(1)由于( 2,0)A ,因此关键求点P坐标，这可利用方程组求解，一是由OTPT得340 xy，二是根据点P在直线上，即38 30 xy，解得(7,2 3)P,得直线 AP 的方程；(2)由3PAPT，可得点P的轨迹是一个圆2281()1614xy，因此由直线320 xya与圆2281()1614xy有交点得解【详解】（1）由题意，直线PT切于点T，则OTPT，又切点T的坐标为(1,3)，所以3OTk ，133PTOTkk ，故直线PT的方程为33(1)3yx，即340 xy.联立直线l和PT，340,38 30 xyxy解得73xy即(7,2 3)P，所以直线 AP 的斜率为72 329023k，故直线 AP 的方程为2 3(2)9yx.（2）设( , )P x y，由3PAPT，22299(4)PAPTOP可得2222(2)9(4)xyxy，即221502xyx，即满足3PAPT的点P的轨迹是一个圆2281()1614xy，所以问题可转化为直线320 xya与圆2281()1614xy有公共点，所以2132944( 3)1ad，即39242a，解得38318188a.20(本题 12 分)已知圆 C 的圆心坐标为 C（3，0） ，且该圆经过点 A（0，4） （1）求圆 C 的标准方程；（2）若点 B 也在圆 C 上，且弦 AB 长为 8，求直线 AB 的方程；（3）直线 l 交圆 C 于 M，N 两点，若直线 AM，AN 的斜率之积为 2，求证：直线 l 过一个定点，并求出该定点坐标（4）直线 l 交圆 C 于 M，N 两点，若直线 AM，AN 的斜率之和为 0，求证：直线 l 的斜率是定值，并求出该定值【答案】 （1） （x3）2+y225； （2）x0 或 7x+24y960； （3）证明见解析， （6，12） ； （4）证明见解析，34.【详解】（1）圆以(3,0)为圆心，| 5AB 为半径，所以圆的标准方程为22325xy.（2）k不存在时，直线l的方程为：0 x ，22| 2 538AB ，满足题意；k存在时，设直线l的方程为：4ykx，22543d 2|34|3,1724kdkk ，所以直线l的方程为：724960 xy，综上所述，直线l的方程为0 x 或724960 xy.（3）设直线MN：ykxt，11,M x kxt，22,N x kxt，1212442AMANkxtkxtkkxx 2212122440kx xk txxt联立方程22222126160325ykxtkxktxtxy，所以122261ktxxk，2122161tx xk代入得 2222216426410ktktkkttk，化简得26tk ，所以直线l的方程为：26tyxt，所以过定点6, 12.（4）设直线 AM：ykx+4，联立方程222241680325ykxkxk xxy，所以 M 点的坐标为22268464,11kkkkk，同理 N 点的坐标为22268464,11kkkkk所以34MNMNMNyykxx ，故直线 l 的斜率是定值，且为3421 （2020肥东县综合高中月考（文） ）已知圆22(3)(4)16xy，直线1:0lkxyk，且直线1l与圆交于不同的两点,P Q，定点A的坐标为(1,0).（1）求实数k的取值范围；（2）若,P Q两点的中点为M，直线1l与直线2:240lxy的交点为N，求证：| |AMAN为定值.【答案】 （1）4(,)(0,)3 （2）10【解析】（1）因为圆22(3)(4)16xy与直线1l与交于不同的两点，所以23441kkk，即2340kk，解得43k 或0k （2）由0240kxykxy可得245()2121kkNkk，由220(3)(4)16kxykxy可得2222(1)(286)890kxkkxkk设PQ，两点横坐标分别为12xx，则21222861kkxxk得222243 42()11kkkkMkk，所以222222224342245(1)()(1)()112121kkkkkkAMANkkkk 2222 21 15 110121kkkkk22 （2020宝山上海交大附中开学考试）已知直线:20l xy和点( 1,1), (1,1)AB（1）直线 l 上是否存在点 C，使得ABC为直角三角形，若存在，请求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）在直线 l 上找一点 P，使得APB最大，求出 P 点的坐标.【答案】(1) 存在，1, 1 ,1, 3CC ；(2) P1, 1.【解析】(1) 点( 1,1), (1,1)AB，故2AB ，若直线 l 上存在点 C，使得ABC为直角三角形，设( ,2)C a a，则讨论以下三种情况：若 AB 是斜边，则222ACBCAB，即222213134aaaa，2340aa，则70 ，方程无解；若 AC 是斜边，则222ABBCAC，即222241313aaaa，1a=，符合题意，此时(1, 1)C；若 BC 是斜边，则222ABACBC，即222241313aaaa，11, 3aC ，；综上，若直线 l 上存在点1, 1 ,1, 3CC ，使得ABC为直角三角形，AC 是斜边；(2)根据题意，过 A，B 的圆与直线 l 相切于 P 时，APB最大.因为( 1,1), (1,1)AB，:20l xy，所以AB延长线与直线 l 相交于点(3,1)D,根据圆的性质2DPDA DB，而4,2DADB2 2DP，故切点 P 的坐标为1, 1，此时APB最大，为45.