1.2空间向量基本定理、1.3.2 空间向量运算的坐标表示-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示【要点梳理】【要点梳理】要点一、空间向量的基本定理要点一、空间向量的基本定理1. 空间向量的基本定理：空间向量的基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组 x、y、z，使 p=xa+yb+zc2基底、基向量概念：基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量 a、b、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是p|p=xa+yb+zc，x、y、zR，这个集合可看做是由向量 a、b、c 生成的，所以我们把a、b、c称为空间的一个基底a、b、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底要点二、空间向量的坐标表示要点二、空间向量的坐标表示（1）单位正交基底）单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，常用表示（2）空间直角坐标系）空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；（3）空间直角坐标系中的坐标）空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量 a，其坐标向量为 i，j，k，若 a=a1i+a2j+a3k，则有序数组（a1，a2，a3）叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作 a=（a1，a2，a3） 在空间直角坐标系 Oxyz 中，对于空间任一点 A，对应一个向量，若，则有 , , i j k O , , i j k O, ,i j k xyzOxyzO, ,i j k xOyyOzzOxOA OAxiyjzk 序数组（x，y，z）叫点 A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为 A（x，y，z） ，其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫点 A 的纵坐标，z 叫点 A 的竖坐标要点三、要点三、 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算（1）空间两点的距离公式）空间两点的距离公式若，则即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。，或 （2）向量加减法、数乘的坐标运算）向量加减法、数乘的坐标运算若，则：； ；（3）向量数量积的坐标运算）向量数量积的坐标运算若，则：；即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则，要点诠释：要点诠释：111( ,)A x y z222(,)B xyz222111212121(,)(,)(,)ABOBOAxyzx y zxx yy zz 2222212121|()()()ABABxxyyzz 222,212121()()()A Bdxxyyzz111( ,)ax y z222(,)bxyz121212(,)abxxyyzz121212(,)abxxyyzz111(,)()axyzR111( ,)ax y z222(,)bxyz12121 2a bx xy yz z 123( ,)aa a a123( ,)bb b b222123|aa aaaa 222123|bb bbbb 1 1223 3222222123123cos(0,0)| |aba ba ba ba bababaaabbb（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中 的范围是(2) (3) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与 的关系（相等，互余，互补） 。（5）空间向量平行和垂直的条件）空间向量平行和垂直的条件若，则，规定：规定：与任意空间向量平行或垂直作用：作用：证明线线平行、线线垂直.【典型例题】【典型例题】类型一、空间向量的坐标表示类型一、空间向量的坐标表示例例 1. 如下图，已知在正四棱锥 P-ABCD 中，O 为底面中心，底面边长和高都是 2，E、F 分别是侧棱PA、PB 的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点 A、B、C、D、P、E、F 的坐标 （1）如下图甲，以 O 为坐标原点，分别以射线 DA、DC、OP 的指向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系； （2）如下图乙，以 O 为坐标原点，分别以射线 OA、OB、OP 的指向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系a ba b |a|b|cosa bcosa b|a| |b| 0, ,.AC BDAC DBCA BDCA DB 111( ,)ax y z222(,)bxyz12/ /ababxx12yy12()zzR111222xyzxyz222(0)x y z 12121 200aba bx xy yz z 0举一反三：举一反三：【变式 1】已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 2 的正方体，E、F 分别为 BB1和 DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中 E、F 点的坐标。【变式 2】 如图所示， 已知 PA平面 ABCD， M、 N 分别是 AB、 PC 的中点， 并且 PA=AD=1， 四边形 ABCD为正方形以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求、的坐标表示类型二：空间向量的直角坐标运算类型二：空间向量的直角坐标运算例例 2、已知=（2，1，2） ，=（0，1，4） ，求+，3+2，MN DCababababab举一反三：举一反三：【变式】已知向量=（3，5，-1） ，=（2，2，3） ，=（4，-1，-3） ，则下列向量的坐标是：= ； ； ； 例例 3已知向量=（4，2，4） ，=（6，3，2） ，求：（1）； （2）|，|； （3） （2+3）（2）举一反三：举一反三：【变式 1】已知，（1）求,； （2）求； （3）求.abc2aabc2a3b4cmanbababababab(1,2,2)a (1,0,1)b |a|ba b , a b 【变式 2】已知(3, 2, 3)a ，( 1,1,1)bx ，且a与b的夹角为钝角，则 x 的取值范围是（ ）A （2，+） B55( 2, )( ,)33 C （，2） D5( ,)3例例 4已知， ，求一个向量使，且.举一反三：举一反三：【变式 1】已知空间三点 A（2，0，2） ，B（1，1，2） ，C（3，0，4） ；设（）求 cos； （）若向量与互相垂直，求 k 的值.( 2,2,0)a ( 2,0,2)b nnanbaABbAC ，a,b kab2kab【变式 2】已知，（1）若，求实数 k 的值；（2）若，求实数 k 的值； （3）若取得最小值，求实数 k 的值.【变式 3】在棱长为 的正方体中，分别是中点，在棱上，是的中点，（1）求证：；（2）求与所成的角的余弦；（3）求的长.(1,5, 1)a ( 2,3,5)b k/3ababk3ababkab11111ABCDABC D,E F1,DD DBGCD14CGCDH1C G1EFBCEF1C GFH类型三、类型三、 空间向量的共线与共面空间向量的共线与共面例例 5若空间三点 A（1，5，2） ，B（2，4，1） ，C（p，3，q+2）共线，则 p=_，q=_。举一反三：举一反三：【变式 1】已知，求证：A、B、C 三点共线.【变式 2】已知点 A（4，1，3） ，B（2，5，1） ，C 为线段 AB 上一点，且3| |ACAB ，则点 C 的坐标是（ ）A71 5( , )22 2 B3( , 3,2)8 C107(, 1, )33 D57 3( , )22 22 4 13 7 54 10 9OA( , , ),OB( , , ),OC( , ) AADBCBCD1111EF例例 6求证 A（3，0，5） ，B（2，3，0） ，C（0，5，0） ，D（1，2，5）四点共面.举一反三举一反三【变式 1】 已知，若三向量共面，则实数 等于（ ）A. B. C. D.【变式 2】证明：四点 A(1,0,1)， B(4,4,6)， C(2,2,3)，D(10,14,17) 在同一平面内.【变式 3】如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点.（1）证明 ADD1F；（2）求 AE 与 D1F 所成的角；（3）证明面 AED面 A1D1F.=(2,-1,3)ab=(-1,4 -2)，c=(7,5)，bca、 、627637647657AABBCC111xyzMN【变式 4】如下图，直棱柱 ABCA1B1C1的底面ABC 中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.（1）求BN的长；（2）求 cos11BA CB ，的值；（3）求证：A1BC1M.空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示【要点梳理】【要点梳理】要点一、空间向量的基本定理要点一、空间向量的基本定理1. 空间向量的基本定理：空间向量的基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组 x、y、z，使 p=xa+yb+zc2基底、基向量概念：基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量 a、b、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是p|p=xa+yb+zc，x、y、zR，这个集合可看做是由向量 a、b、c 生成的，所以我们把a、b、c称为空间的一个基底a、b、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底要点二、空间向量的坐标表示要点二、空间向量的坐标表示（1）单位正交基底）单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，常用表示（2）空间直角坐标系）空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；（3）空间直角坐标系中的坐标）空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量 a，其坐标向量为 i，j，k，若 a=a1i+a2j+a3k，则有序数组（a1，a2，a3）叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作 a=（a1，a2，a3） 在空间直角坐标系 Oxyz 中，对于空间任一点 A，对应一个向量，若，则有 , , i j k O , , i j k O, ,i j k xyzOxyzO, ,i j k xOyyOzzOxOA OAxiyjzk 序数组（x，y，z）叫点 A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为 A（x，y，z） ，其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫点 A 的纵坐标，z 叫点 A 的竖坐标要点三、要点三、 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算（1）空间两点的距离公式）空间两点的距离公式若，则即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。，或 （2）向量加减法、数乘的坐标运算）向量加减法、数乘的坐标运算若，则：； ；（3）向量数量积的坐标运算）向量数量积的坐标运算若，则：；即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则，要点诠释：要点诠释：111( ,)A x y z222(,)B xyz222111212121(,)(,)(,)ABOBOAxyzx y zxx yy zz 2222212121|()()()ABABxxyyzz 222,212121()()()A Bdxxyyzz111( ,)ax y z222(,)bxyz121212(,)abxxyyzz121212(,)abxxyyzz111(,)()axyzR111( ,)ax y z222(,)bxyz12121 2a bx xy yz z 123( ,)aa a a123( ,)bb b b222123|aa aaaa 222123|bb bbbb 1 1223 3222222123123cos(0,0)| |aba ba ba ba bababaaabbb（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中 的范围是(2) (3) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与 的关系（相等，互余，互补） 。（5）空间向量平行和垂直的条件）空间向量平行和垂直的条件若，则，规定：规定：与任意空间向量平行或垂直作用：作用：证明线线平行、线线垂直.【典型例题】【典型例题】类型一、类型一、 空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示例例 1. 如下图，已知在正四棱锥 P-ABCD 中，O 为底面中心，底面边长和高都是 2，E、F 分别是侧棱PA、PB 的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点 A、B、C、D、P、E、F 的坐标 （1）如下图甲，以 O 为坐标原点，分别以射线 DA、DC、OP 的指向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系； （2）如下图乙，以 O 为坐标原点，分别以射线 OA、OB、OP 的指向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系a ba b |a|b|cosa bcosa b|a| |b| 0, ,.AC BDAC DBCA BDCA DB 111( ,)ax y z222(,)bxyz12/ /ababxx12yy12()zzR111222xyzxyz222(0)x y z 12121 200aba bx xy yz z 0 【解析】 （1）所以，所以向量的坐标为（1，1，0） ，即点 B 的坐标为 B（1，1，0） 同理可得 A（1，1，0） ，C（1，1，0） ，D（1，1，0） 又点 P 在 z 轴上，所以，向量的坐标为（0，0，2） ，即点 P 的坐标为 P（0，0，2） 因为 F 为侧棱 PB 的中点，所以， 所以点 F 的坐标为，同理点 E 的坐标为 故所求各点的坐标分别为： A（1，1，0） ，B（1，1，0） ，C（1，1，O） ，D（1，1，0） ，P（0，0，2） ，； （2），即点 A 的坐标为， 同理可得，P（0，0，2） ， 因为 E 为侧棱 PA 的中点， 故，所以点， 同理点故所求各点的坐标分别为： ，P（0，0，2） ，举一反三：举一反三：【变式 1】已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 2 的正方体，E、F 分别为 BB1和 DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中 E、F 点的坐标。【答案】C（0，2，0） ，D（0，0，0）且 F 为 DC 的中点，OBij OB 2OPk OP 1111()(2 )2222OFOBOPijkijk 1 1,12 2F11,122E11,122E1 1,12 2F2OAi ( 2,0,0)A(0,2,0)B(2,0,0)C (0,2,0)D112()( 22 )222OEOAOPikik 2,0,12E20,12F( 2,0,0)A(0,2,0)B(2,0,0)C (0,2,0)D2,0,12E20,12FF（0，1，0） 。又B（2，2，0） ，B1（2，2，2） ，且 E 为 BB1的中点，E（2，2，1） 。【变式 2】 如图所示， 已知 PA平面 ABCD， M、 N 分别是 AB、 PC 的中点， 并且 PA=AD=1， 四边形 ABCD为正方形以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求、的坐标表示【答案】，类型二：空间向量的直角坐标运算类型二：空间向量的直角坐标运算例例 2、已知=（2，1，2） ，=（0，1，4） ，求+，3+2，【解析】=（2，1，2） ，=（0，1，4） ，+=（2，1，2）+（0，1，4）=（2+0，1+（1） ，2+4）=（2，2，2）=（2，1，2）（0，1，4）=（20，1（1） ，24）=（2，0，6）3+2=3（2，1，2）+2（0，1，4）=（32，3（1） ，3（2） ）+（20，2（1） ，24）=（6，3，6）+（0，2，8）=（6，5，2）=（2，1，2）（0，1，4）=20+（1）（1）+（2）4=0+18=7举一反三：举一反三：MN DC11,0,22MN (0,1,0)DC abababababababababab【变式】已知向量=（3，5，-1） ，=（2，2，3） ，=（4，-1，-3） ，则下列向量的坐标是：= ； ； ； 【答案】(6,10,-2)；(1,8,5)；(16,0,-23)；(3m+2n,5m+2n,-m+3n)例例 3已知向量=（4，2，4） ，=（6，3，2） ，求：（1）； （2）|，|； （3） （2+3）（2）【答案】（1）=46+(2)(3)+(4)2=22；（2）；（3）举一反三：举一反三：【变式 1】已知，（1）求,； （2）求； （3）求.【答案】（1），（2）（3），abc2aabc2a3b4cmanbabababababab2222|4( 2)( 4)6 aa2222|6( 3)27 bb2222(23 ) (2 )23462 6226 7244b aabaa ba bb(1,2,2)a (1,0,1)b |a|ba b , a b 222|1223a 222|1012b 12121 2a bx xy yz z 1 12 02 13 32cos,2|32a ba ba b 0, a b ,4a b 【变式 2】已知(3, 2, 3)a ，( 1,1,1)bx ，且a与b的夹角为钝角，则 x 的取值范围是（ ）A （2，+） B55( 2, )( ,)33 C （，2） D5( ,)3【答案】B【解析】232(1)3cos,0| |222(1)a bxa babx ，解得2x 例例 4已知， ，求一个向量使，且.【答案】设，由，令.举一反三：举一反三：【变式 1】已知空间三点 A（2，0，2） ，B（1，1，2） ，C（3，0，4） ；设（）求 cos； （）若向量与互相垂直，求 k 的值.【解析】 （），（）， ， ( 2,2,0)a ( 2,0,2)b nnanb( , , )nx y z00nan anbn b 220220 xyxz1(1,1,1)xn得aABbAC ，a,b kab2kab110aABOBOA （， ， ）10 2 （- ， ， ）bACOCOA222222a b(1,1,0) ( 1,0,2)cos,|a |b|110( 1)02a b 1 ( 1) 1.00.2101025 (1, ,2)kabkk2(2, , 4)kabkk(2 )(2 )0(1)(2)2( 4)0522kabkabkabkabkkk kkk （）（）或【变式 2】已知，（1）若，求实数 k 的值；（2）若，求实数 k 的值； （3）若取得最小值，求实数 k 的值.【答案】，(1)，即由，解得； (2)，即，解得；(3) 当时，取得最小值。【变式 3】在棱长为 的正方体中，分别是中点，在棱上，是的中点，（1）求证：；（2）求与所成的角的余弦；（3）求的长.【答案】如图以为原点建立直角坐标系，(1,5, 1)a ( 2,3,5)b k/3ababk3ababkab(2,53,5)kabkkk 3(7, 4, 16)ab k/3ababk3abab(2,53,5)(7 , 4 , 16 )kkk 27534516kkk 13k k3abab k30abab(2,53,5) (7, 4, 16)0kkk 31060k 1063k kab2222(2)(53)(5)271638kkkkk 827k kab11111ABCDABC D,E F1,DD DBGCD14CGCDH1C G1EFBCEF1C GFHDDxyz则，（1），（2），与所成的角的余弦（3），类型三、类型三、 空间向量的共线与共面空间向量的共线与共面例例 5若空间三点 A（1，5，2） ，B（2，4，1） ，C（p，3，q+2）共线，则 p=_，q=_。【解析】A、B、C 三点共线，则有与共线，即，又，举一反三：举一反三：1(1,1,1)B(0,1,0)C1(0,0, )2E1 1( ,0)2 2F3(0,0)4G1(0,1,1)C7 1(0, )8 2H1 11( ,)2 22EF 1( 1,0, 1)BC 11 11( ,) ( 1,0, 1)02 22EF BC 1EFBC11(0, 1)4C G 11 1113( ,) (0, 1)2 2248EF C G 2221113|( )( )()2222EF 2221117|(0)()( 1)44C G 13518cos(,)1731724EF C G EF1C G51171 3 1(, )2 8 2FH 22213141|()( )( )2828FH AB ACABAC (1, 1,3)AB (1, 2,4)ACpq1(1)123(4)pq 1232pq【变式 1】已知，求证：A、B、C 三点共线.【答案】法一：，则，又有公共点 AA、B、C 三点共线.法二：(x,yR)，则：(2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+10y, 5x+9y)且 x+y=1， A、B、C 三点共线.【变式 2】已知点 A（4，1，3） ，B（2，5，1） ，C 为线段 AB 上一点，且3| |ACAB ，则点 C 的坐标是（ ）A71 5( , )22 2 B3( , 3,2)8 C107(, 1, )33 D57 3( , )22 2【答案】C【解析】C 为线段 AB 上一点，且3| |ACAB ，13ACAB ，13OCOAAB 1(4,1,3)( 2, 6, 2)3107(, 1, )33例例 6求证 A（3，0，5） ，B（2，3，0） ，C（0，5，0） ，D（1，2，5）四点共面.【解析】法一：证， ，A、B、C、D 四点共面.2 4 13 7 54 10 9OA( , , ),OB( , , ),OC( , ) 1 3 42 6 8AB( , , ),AC( , , ) 12ABAC AB| AC AB AC 、OAxOByOC 3422514427104232131591xyxyyxxyxyxyxy 2OAOBOC /ABCD ( 1,3, 5)AB (1, 3,5)CD /ABCD 法二：证，显然，由共面向量定理，A，B，C，D 四点共面.A、B、C、D 四点共面.举一反三举一反三【变式 1】 已知，若三向量共面，则实数 等于（ ）A. B. C. D.【答案】D；由三向量共面，设，则即，解得【变式 2】证明：四点 A(1,0,1)， B(4,4,6)， C(2,2,3)，D(10,14,17) 在同一平面内.【答案】，设，则：(9,14,16)=(3x+y, 4x+2y, 5x+2y), ， A、B、C、D 四点共面.ACABAD ( 3,5, 5)AC ( 1,3, 5)AB ( 2,2,0)AD ACABAD =(2,-1,3)ab=(-1,4 -2)，c=(7,5)，bca、 、627637647657bca、 、bca=m+n(2,-1,3)=m(-1,4 -2)+n(7,5)，2=-m+7n-1=4m+5n3=-2m+n6573 4 51 2 29 14 16AB( , , ),AC( , , ), AD( ,) ADxAByAC 392421435216xyxxyyxy23ADABAC AABBCC111xyzMNAADBCBCD1111EF【变式 3】如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点.（1）证明 ADD1F；（2）求 AE 与 D1F 所成的角；（3）证明面 AED面 A1D1F. 【解析】取 D 为原点，DA、DC、DD1为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长为 2，则 A（2，0，0） 、A1（2，0，2） 、D1（0，0，2） 、E（2，2，1） 、F（0，1，0）.（1）DAFD1 =（2，0，0）（0，1，2）=0，ADD1F.（2）AEFD1=（0，2，1）（0，1，2）=0，AED1F，即 AE 与 D1F 成 90角.（3）DEFD1=（2，2，1）（0，1，2）=0，DED1F.AED1F，D1F面 AED.D1F面 A1D1F，面 AED面 A1D1F.【变式 4】如下图，直棱柱 ABCA1B1C1的底面ABC 中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.（1）求BN的长；（2）求 cos11BA CB ，的值；（3）求证：A1BC1M.【解析】 （1）依题意得 B（0，1，0） ，N（1，0，1） ，BN=222)01 () 10()01 (=3.（2）A1（1，0，2） ，B（0，1，0） ，C（0，0，0） ，B1（0，1，2） ，1BA=（1，1，2） ，1CB=（0，1，2） ，1BA1CB=3，1BA=6，1CB=5.cos1BA，1CB=|1111CBBACBBA =1030.（3）证明：C1（0，0，2） ，M（21，21，2） ，BA1=（1，1，2） ，MC1=（21，21，0） ，BA1MC1=0，A1BC1M.