第一章 空间向量与立体几何 解答题专项训练15题（B卷）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

空间向量与立体几何空间向量与立体几何 解答题专项训练 15 题（B 卷）解答题专项训练 15 题（B 卷）1.在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，BCAD，ADC90，BCCD=12AD1，E 为线段 AD 的中点PE底面 ABCD，点 F 是棱长 PC 的中点，平面 BEF 与棱 PD 相交于点 G（）求证：BEFG；（）若 PC 与 AB 所成的角为3，求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值2.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为菱形，AC1和 BD1相交于点O，E 为 CC1的中点（1）求证：OE平面 ABCD；（2）若 B1在平面 ABCD 上的射影为 AC 的中点1，1= ， =23求平面 BED1与平面 ABCD 所成锐二面角的大小3.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，2AD ，3AB ，平面PAD 平面ABCD，E为棱PB上一点（不与P、B重合） ，平面ADE交棱PC于点F.（1）求证：ADEF；（2）若二面角BACE的余弦值为3 3020，求点B到平面AEC的距离.4.如图， 四棱锥中， 底面 ABCD 为矩形， 侧面 PAD 为正三角形， 且平面平面 ABCD，E 为 PD 中点，（1）求证：平面平面 PCD；（2）若二面角的平面角大小满足，求线段 AB 的长PABCDPAD 2AD AEC APCD2cos4 5.如图 1，等腰梯形ABCD中，/AB CD，24ABAD，P为AB的中点，对角线AC平分DAB，将ACD沿AC折起到如图 2 中ACD的位置.（1）求证：PDAC .（2）若二面角BACD为直二面角，M为线段AB上的点，且二面角AD CM与二面角MD CB大小相等，求出AMAB的值.6.如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为正方形，AP 平面 CDP，已知2APDP，Q 为线段 DP 的中点（1）求证：/ /BP平面 ACQ；（2）求二面角CBQP的平面角的余弦值7.如图1，在直角梯形ABCD中，/AD BC，2BAD，1ABBC，2AD ，E是AD的中点，O是AC与 BE 的交点将ABE沿 BE 折起到1ABE的位置，如图2（1）证明：CD 平面1AOC；（2）若平面1ABE 平面BCDE，求平面1ABC与平面1ACD夹角的余弦值8.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，4PAAD，2AB ，M是PD上一点，且BMPD.（1）求异面直线PB与CM所成角余弦的大小；（2）求点M到平面PAC的距离.9.如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADDC，平面 SAD平面 ABCD，P 为 AD 的中点，SASD2，BC =12ADl，CD =3（）求证：SPAB；（）求直线 BS 与平面 SCD 所成角的正弦值；（）设 M 为 SC 的中点，求二面角 SPBM 的余弦值10. 如图 1 所示，在凸四边形 ABCD 中，ACBADC =2，DACCAB =6，AB4，点 E 为 AB 的中点，M 为线段 AC 上的一点，且 MEAB，沿着 AC 将DAC 折起来，使得平面 DAC平面 BAC，如图 2 所示（1）证明：BCAD；（2）求平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值11. 如图，已知在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1C1C 为正方形，ABAC2，AMAB1，M、N 分别是 CC1、BC 的中点，点 P 是线段 A1B1上的动点（1）证明：AMPN；（2）若 BC22，若1 = 21，求平面 PMN 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值12. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PAAD，ABCD，CDAD，ADCD2AB2，E，F 分别为 PC，CD 的中点，DEEC（1）求证：平面 ABE平面 BEF；（2）设 PAa，若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 4，3，求 a 的取值范围13.如图，在四棱台1111ABCDABC D中，底面ABCD是菱形111112AAABAB，60ABC，1AA 平面ABCD（1）若点M是AD的中点，求证：1/ /C M平面11AAB B；（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角1EADD的余弦值为13？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由14.在三棱锥中，平面，平面平面（1）证明：平面；（2）若为的中点，且，求二面角的余弦值PABCBCPABPAC ABCPA ABCDPC2 2PAABABBCABDC15. 如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，BCAD，ABCD，E 为棱 PB 上一点，AC 与 BD 交于点 O，且 ACBD，AD1，BCPCPB3， =3 22（1）证明：ACDE；（2）是否存在点 E，使二面角 BDCE 的余弦值为3 7638？若存在，求出 E 点位置，若不存在，请说明理由 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 解答题专项训练 15 题（B 卷）解答题专项训练 15 题（B 卷）1.在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，BCAD，ADC90，BCCD=12AD1，E 为线段 AD 的中点PE底面 ABCD，点 F 是棱长 PC 的中点，平面 BEF 与棱 PD 相交于点 G（）求证：BEFG；（）若 PC 与 AB 所成的角为3，求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值【解题思路】 （）证明四边形 BCDE 为平行四边形，得到 BE/CD推出 BE/平面 PCD然后证明 BE/FG（） （解法 1）以 E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 Exyz求出 = (1， 1，)， = ( 1，1，0) 通过 PC 与 AB 所成角为3， 求解 = (0，1， 6) 求出平面 BEF的法向量，利用空间向量的数量积求解直线 PB 与平面 BEF 的所成角的正弦值【解答过程】 （）证明：因为 E 为 AD 中点，所以 =12 = 1又因为 BC1，所以 DEBC在梯形 ABCD 中，DE/BC，所以四边形 BCDE 为平行四边形所以 BE/CD又因为 BE平面 PCD，且 CD平面 PCD，所以 BE/平面 PCD因为 BE平面 BEF，平面 BEF平面 PCDFG，所以 BE/FG（）解： （解法 1）因为 PE平面 ABCD，且 AE，BE平面 ABCD，所以 PEAE，且 PEBE因为四边形 BCDE 为平行四边形，ADC90，所以 AEBE以 E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 Exyz则 E（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（0，1，0） ，C（1，1，0） ，D（1，0，0） 设 P（0，0，m） （m0） ，所以 = (1， 1，)， = ( 1，1，0)因为 PC 与 AB 所成角为3，所以|，| = | | | = |22 + 2 2| = 2=12所以 =6则(0，0，6)，( 12，12，62)所以 = (0，1，0)， = ( 12，12，62)， = (0，1， 6)设平面 BEF 的法向量为 = (，)，则 = 0， = 0.即 = 012 +12 +62 = 0.令 x6，则 =6，所以 = (6，0，6)所以， = | |= 6 67 42= 67所以直线 PB 与平面 BEF 的所成角的正弦值为672.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为菱形，AC1和 BD1相交于点O，E 为 CC1的中点（1）求证：OE平面 ABCD；（2）若 B1在平面 ABCD 上的射影为 AC 的中点1，1= ， =23求平面 BED1与平面 ABCD 所成锐二面角的大小【解题思路】 （1）由中位线的性质可得 OEAC，由此即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式得解【解答过程】解： （1）证明：因为 ABCD，ABCD，所以 AC1，BD1相互平分，所以 O 为 BD1和 AC1的中点，又因为 E 为 CC1的中点，所以 OE 为ACC1的中位线，所以 OEAC，又因为 OE平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 OE平面 ABCD；（2）因为 B 在平面 ABCD 上的射影为 AC 的中点 O，所以 B1O1平面 ABCD又因四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD，所以 AC，BD，O，B 两两垂直，所以分别以射线 O1B，O1C，O1B1为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设 O1B1由四边形 ABCD 为菱形， =23，1= 得 = = 1= 2，1 = = = 2，11=3 = = 1= 2，11=3，所以(1，0，0)，1( 2，0，3)，( 12，3，32)，所以1= ( 3，0，3)， = ( 32，3，32)，设平面 BED1的法向量为1= (，)，则11= 01 = 0，即3 +3 = 032 +3 +32 = 0，令 =3，则 x1，y0，所以1= (1，0，3)，易知平面 ABCD 的一个法向量为2= (0，0，1)，设平面 BED1与平面 ABCD 所成锐二面角为 ，则 =|12|1|2|=32，所以平面 BED1与平面 ABCD 所成锐二面角为63.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，2AD ，3AB ，平面PAD 平面ABCD，E为棱PB上一点（不与P、B重合） ，平面ADE交棱PC于点F.（1）求证：ADEF；（2）若二面角BACE的余弦值为3 3020，求点B到平面AEC的距离.【答案】 （1）证明见解析； （2）3 1010.【分析】（1）先根据线面平行判定定理得AD平面PBC，再根据线面平行性质定理得结果；（2）取AD的中点O，根据面面垂直性质定理得PO 平面ABCD，再根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积解得平面AEC的一个方向量，再利用向量夹角公式以及二面角与向量夹角关系列方程，解得 E 点坐标，最后根据向量求点面距，即得结果.【详解】（1）底面ABCD为矩形，ADBC.又AD Q平面PBC，BC 平面PBC，AD平面PBC.又AD Q平面ADE，平面ADE 平面PBCEF，ADEF.（2）取AD的中点O，连接PO，过点O作OHAB交BC于点H.侧面PAD为正三角形，POAD.平面PAD 平面ABCD且交线为AD，PO平面ABCD，ABCD为矩形，ABAD，OHAD，如图所示，建立以OA，OH，OP所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系Oxyz0,0,0O，0,0, 3P，1,0,0A，1,3,0B，1,3,0C .设, ,E x y z，又(01)PEPB ，,3 , 33E.1,3 , 33AE ，2, 0 , 3AC .设平面AEC的法向量为111,nx y z1111123000(1)3( 33 )0 xyn ACn AExyz ，令13x ，12y，13(31)1z，平面AEC的一个法向量3(31)2,31,n.又易知0,3, 0OP 是平面ABC的一个法向量，22933 301|cos,|203(31)313(1)OP mOP mOP m ，解得：23，23233, ,E，13, 133BE .又平面AEC的一个法向量3 23 3, ,n ，点B到平面AEC的距离为：|63 1010|2 10BE ndn .4.如图， 四棱锥中， 底面 ABCD 为矩形， 侧面 PAD 为正三角形， 且平面平面 ABCD，E 为 PD 中点，（1）求证：平面平面 PCD；（2）若二面角的平面角大小满足，求线段 AB 的长PABCDPAD 2AD AEC APCD2cos4 【答案】 （1）证明见解析； （2）.【解析】（1）取 AD 的中点 O，侧面 PAD 为正三角形，又平面平面 ABCD，平面 PAD，平面平面，平面 ABCD，如图所示，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，设，则，即，DP、平面 PCD，且，平面 PCD，又平面 AEC，平面平面 PCD（2）由（1）可知，平面 PCD 的法向量为，3OPADPAD OP PADABCDADOP ABa=(1,0,0)A( 1, ,0)Ca( 1,0,0)D (0,0, 3)P13,0,22E33,0,22AE (0, ,0)DCa(1,0, 3)DP3330220AE DPAE DC AEDPAEDCDC DPDCDAEAE AEC ( 2, ,0)ACa ( 1,0, 3)AP 33,0,22AE 设平面 APC 的法向量为，则，即，令，则，由题可知，二面角的平面角为锐角，解得或（舍负） ，线段 AB 的长为5.如图 1，等腰梯形ABCD中，/AB CD，24ABAD，P为AB的中点，对角线AC平分DAB，将ACD沿AC折起到如图 2 中ACD的位置.（1）求证：PDAC .（2）若二面角BACD为直二面角，M为线段AB上的点，且二面角AD CM与二面角MD CB大小相等，求出AMAB的值.【答案】 （1）证明见解析； （2）2 33AMAB.【解析】 （1）证明：连接DP，CP，设DP与AC交于点O，如图 1 所示.( , , )mx y z00m ACm AP 2030 xayxz 1x 2ya33z =231,3am223331223cos,4444| |3333m AEm AEmAEaaAPCD221cos44433a3a 33四边形ABCD是等腰梯形，ABDC，ADBC，DCACAB ，又AC平分DAB，DACCABDCA ，CDAD，结合P为AB的中点，2ABAD，易证得四边形APCD为菱形，ACDP.如图 2，ACOP，ACOD，且OPODO，AC 平面D PO，又PD平面D PO，PDAC .（2）二面角BACD为直二面角，ACOP，OP 平面ACD，易知OPBC，BC平面ACD，二面角AD CB为直二面角，又二面角AD CM与二面角MD CB大小相等，二面角AD CM的平面角为45，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图 3 所示的空间直角坐标系Oxyz，如图 1，在菱形APCD中，易知3PAD，1ODOP，3OAOC.3,0,0A，3,2,0B ，3,0,0C ，0,0,1D，3,0,1CD ，2 3,2,0AB ，设01AMAB ，32 3 ,2 ,0M，2 3 1,2 ,0CM ，易知平面ACD的一个法向量为0,1,0m ，设, ,nx y zr为平面MCD的法向量，则00n CDn CD ，即2 3 12030 xyxz，取1x ，则3z ，3 1y ，得3(1)1,3n，23 12cos,23 113m nm nmn ，解得2 33，满足题意，故2 33AMAB.6.如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为正方形，AP 平面 CDP，已知2APDP，Q 为线段 DP 的中点（1）求证：/ /BP平面 ACQ；（2）求二面角CBQP的平面角的余弦值【答案】 （1）证明见解析 （2）5 5151【解析】 （1）连结BD交AC于点O，连结OQABCD 为正方形，则O为BD的中点，又Q为DP中点所以/ /OQBP，BP 面ACQ，OQ 面ACQ，所以/ /BP面ACQ（2）AP 平面 CDP，CD 面CDP，则APCD又 ABCD 为正方形，所以ADCD，且ADAPA所以CD 面ADP， 由CD 面 ABCD所以面ADP 面 ABCD过P作PHAD交AD于H点，则PH 面 ABCD2APDP，则2 2AD 取BC的中点为N，以H为原点， HA为x轴，HN为轴y，HP为z轴建立空间直角坐标系则220,0,2 ,0,2,2 2,022PQB，2 2 2,0C， 设面BPQ的法向量为1111,nx y z，3 22, 2 2,22BQ ，22,0,22QP 所以1100n BQn QP ，即111113 222 202222022xyzxz ，取11,1,1n ，设面CBQ的法向量为2222,nxyz ，3 22, 2 2,22BQ ，2 2,0,0BC ，所以2200nBQnBC ，即22223 222 20222 20 xyzx，取20,1,4n ，所以12121255 51cos,51173n nn nnn ，所以二面角CBQP的平面角的余弦值5 5151.7.如图1，在直角梯形ABCD中，/AD BC，2BAD，1ABBC，2AD ，E是AD的中点，O是AC与 BE 的交点将ABE沿 BE 折起到1ABE的位置，如图2（1）证明：CD 平面1AOC；（2）若平面1ABE 平面BCDE，求平面1ABC与平面1ACD夹角的余弦值【答案】 （1）证明见解析； （2）63【解析】 （1）在图1的直角梯形CD中，连接CE，/AD BC，1ABBC，2AD ，E是AD的中点，所以/AE BC且AEBC，所以，四边形ABCE是菱形，则ACBE，翻折后，在图2中，1BEOA，BEOC1OAOCO，BE平面1AOC，又因为/D C且1BC ，2AD ，E是AD的中点，/BC DE且BCDE，所以四边形BCDE是平行四边形，从而/CD BEBE 平面1AOC，CD平面1AOC；（2）由已知，平面1ABE 平面BCDE，又由（1）知，1BEOA，BEOC所以1AOC为二面角1ABEC的平面角，所以12AOC如图，以O为原点，OB、OC、1OA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，因为111ABAEBCED，/BC DE且BCDE，所以2,0,02B，2,0,02E，120,0,2A，20,02C得22,022BC ，1220,22AC,，2,0,0CDBE 设平面1ABC的法向量1111,nx y z，平面1ACD的法向量2222,nxyz ，平面1ABC与平面1ACD夹角为，则11100n BCnAC ，得111100 xyyz，令11y ，可得111xz，则11,1,1n ，22100nCDnAC ，得22200 xyz，令21y ，可得20 x ，21z ，则20,1,1n ，从而12121226coscos,332n nn nnn ，即平面1ABC与平面1ACD夹角的余弦值为638.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，4PAAD，2AB ，M是PD上一点，且BMPD.（1）求异面直线PB与CM所成角余弦的大小；（2）求点M到平面PAC的距离.【答案】 （1）155； （2）2 55.【解析】 （1）连BD交AC于O，连MO，PA 平面ABCD，所以,PAAB PACD，在Rt PAB中，224,2,2 5PAABPBPAAB，又因为底面ABCD是矩形，所以O为BD中点，2,4ABAD，所以2 5BDPB，因为M是PD上一点，且BMPD，所以M为PD中点，1/,2MO PB MOPB，所以OMC（或补角）就为PB与CM所成的角，因为,PACD ADCD PAADA所以CD 平面,PAD CDPD，22()2 32PDMCCD，115,522MOPBCOAC，3152cos,55MCOMCMO所以异面直线PB与CM所成角余弦值为155；（2）解 1：过D做DNAC于N，PA 平面ABCD，所以,PADN PAACA，所以DN 平面PAC，DN为点D到平面PAC的距离，在RtACD中，4 55CD DADNAC，又M是PD中点，所以点M到平面PAC的距离为2 55解 2：因为Rt BCEV，PA 平面ABCD，所以111162 443323P ACDACDVSPA ，在Rt ADC中，222 5ACADCD，所以112 544 522PACSAC PA，设点D到平面PAC的距离为h，则14 533D PACPACVShh，由P ACDD PACVV，得4 51633h ，所以4 55h 又M是PD中点，所以点M到平面PAC的距离为2 55解法二：分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，（1）0,0,0 ,2,442,0,0 ,0,4,0,0 ,0 ,0,APCBD则2,0, 4PB ，2,4, 4PC ，0,4, 4PD ，设01PMPD，则0,4 , 4PM ，所以2,4 ,44BMPMPB ，由BMPD，知0 164 440BM PD ，所以12，M为PD中点，所以0,2,2M，2, 2,2CM ，40815cos,52 52 3PB CMPB CMPB CM 所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为155（2）0,0,4AP ，2,4,0AC ，设平面PAC的法向量为, ,nx y z，由00AP nAC n ，得40240zxy，所以0z ，取2x ，得1y ，所以2, 1,0n 是平面PAC的一个法向量所以点M到平面PAC的距离为224202 55210CM nn 9.如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADDC，平面 SAD平面 ABCD，P 为 AD 的中点，SASD2，BC =12ADl，CD =3（）求证：SPAB；（）求直线 BS 与平面 SCD 所成角的正弦值；（）设 M 为 SC 的中点，求二面角 SPBM 的余弦值【解题思路】 （）在SAD 中，由 SASD，P 为 AD 的中点，可得 SPAD，再由面面垂直的性质可得 SP平面 ABCD，从而得到 SPAB；（）在直角梯形 ABCD 中，由已知可得四边形 BCDP 为平行四边形，得到 ADPB，由（）可知，SP平面 ABCD，故以 P 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Pxyz，求出平面 SCD 的一个法向量，则直线 BS 与平面 SCD 所成角可求；（）证明 AP平面 SBP，可得 = (1，0，0)为平面 SPB 的一个法向量，求出平面 MPB的一个法向量，则由两法向量所成角的余弦值可得二面角 SPBM 的余弦值【解答过程】 （）证明：在SAD 中，SASD，P 为 AD 的中点，SPAD，平面 SAD平面 ABCD，且平面 SAD平面 ABCDAD，SP平面 ABCD，又 AB平面 ABCD，SPAB；（）解：在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC =12，P 为 AD 中点，BCPD，且 BCPD，则四边形 BCDP 为平行四边形，ADDC，ADPB，由（）可知，SP平面 ABCD，故以 P 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Pxyz，则 P（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（0，3，0） ，S（0，0，3） ，C（1，3，0） ，D（1，0，0） ， = （0， 3，3） = （0， 3，0） ， = （1，0， 3） ，设平面 SCD 的一个法向量 = (，)，由 = 3 = 0 = 3 = 0，取 z1，得 = ( 3，0，1)；设直线 BS 与平面 SCD 所成角为 ，则 sin|cos，| =| | |=32 6=24直线 BS 与平面 SCD 所成角的正弦值为24；（）解：APSP，APBP，SPBPP，AP平面 SBP，即 = (1，0，0)为平面 SPB 的一个法向量，M 为 SC 的中点，点 M 的坐标为（ 12，32，32） ，而 = （0，3，0） ， = （ 12，32，32） ，设平面 MPB 的一个法向量为 = (，)，由 =3 = 0 = 12 +32 +32 = 0，取 z1，得 = (3，0，1)cos， =| | |=32 1=32二面角 SPBM 的余弦值为3210. 如图 1 所示，在凸四边形 ABCD 中，ACBADC =2，DACCAB =6，AB4，点 E 为 AB 的中点，M 为线段 AC 上的一点，且 MEAB，沿着 AC 将DAC 折起来，使得平面 DAC平面 BAC，如图 2 所示（1）证明：BCAD；（2）求平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值【解题思路】 （1） 由已知结合平面与平面垂直的性质可得BC平面 DAC， 从而得到BCAD；（2）以 C 为原点，分别以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 MDE 的一个法向量与平面 DEB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求得平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值【解答过程】 （1）证明：如图，平面 DAC平面 BAC，且平面 DAC平面 BACAC，BC平面 BAC，且 BCAC，BC平面 DAC，而 AD平面 DAC，BCAD；（2）解：以 C 为原点，分别以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴建立空间直角坐标系，在图 1 中，ACBADC =2，DACCAB =6，AB4，BC2，AC = 23，CD =3，CMACAM =2 33，M（2 33，0，0） ，E（3，1，0） ，B（0，2，0） ，D（32，0，32） ， = ( 33， 1，0)， = ( 32， 1，32)， = ( 3，1，0)设平面 MDE 的一个法向量为 = (1，1，1)，由 = 331 1= 0 = 321 1+321= 0，取 z11，可得 = (33， 3，1)；设平面 DEB 的法向量为 = (2，2，2)，由 = 322 2+322= 0 = 32+ 2= 0，取 x21，得 = (1，3，3)设平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角为 ，则 cos =| | |=337 7=777259故平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值为77725911. 如图，已知在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1C1C 为正方形，ABAC2，AMAB1，M、N 分别是 CC1、BC 的中点，点 P 是线段 A1B1上的动点（1）证明：AMPN；（2）若 BC22，若1 = 21，求平面 PMN 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值【解题思路】 （1）取 AC 的中点 D，连结 DN，A1D，利用A1ADACM，可证明 AMA1D，又 AMA1B1，由线面垂直的判定定理可证明 AM平面 A1B1ND，从而证明 AMPN；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面 PMN 的法向量，由向量的夹角公式求解即可【解答过程】 （1）证明：取 AC 的中点 D，连结 DN，A1D，因为 AA1AC，ADCM，A1ACACM，所以A1ADACM，则AA1DCAM，又因为AA1D+A1DA90，所以CAM+A1DA90，则 AMA1D，又 AMA1B1，A1DA1B1A1，故 AM平面 A1B1ND，又 NP平面 A1B1ND，所以 AMPN；（2）解：因为 ABAC2，BC = 22，所以 AB2+AC2BC2，即 ABAC，因为 AMA1B1，A1B1AB，则 AMAB，又 AMACA，所以 AB平面 ACC1A1，又 AA平面 ACC1A1，所以 ABAA1，以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 N（1，1，0） ，M（0，2，1） ，因为1 = 21，所以(43，0，2)，所以 = ( 1，1，1)， = (43， 2，1)，设平面 MNP 的法向量为 = (，)，则 = + + = 0 =43 2 + = 0，令 x9，则 = (9，7，2)，又平面 ABC 的一个法向量为 = (0，0，1)，则|，| =| |=2134 1=13467，故平面 PMN 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为1346712. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PAAD，ABCD，CDAD，ADCD2AB2，E，F 分别为 PC，CD 的中点，DEEC（1）求证：平面 ABE平面 BEF；（2）设 PAa，若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 4，3，求 a 的取值范围【解题思路】 （1）由题目给出的条件，可得四边形 ABFD 为矩形，说明 ABBF，再证明 ABEF，由线面垂直的判定可得 AB面 BEF，再根据面面垂直的判定得到平面 ABE平面BEF；（2）以 A 点为坐标原点，AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交于二面角的关系求出二面角的余弦值， 根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得 a 的取值范围【解答过程】证明：如图，（1）ABCD，CDAD，ADCD2AB2，F 为 CD 的中点，ABFD 为矩形，ABBFDEEC，DCEF，又 ABCD，ABEFBFEFF，AB面 BEF，又 AE面 ABE，平面 ABE平面 BEF（2）解：DEEC，DCEF，又 PDEF，ABCD，ABPD又 ABPD，所以 AB面 PAD，ABPA以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴建立空间坐标系，则 B（1，0，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，a） ，C（2，2，0） ，E（1，1，2） = ( 1，2，0)， = (0，1，2) 平面 BCD 的法向量1= (0，0，1)，设平面 EBD 的法向量为2= (，)，由222 = 02 = 0，即 + 2 = 0 +2= 0，取 y1，得 x2，z = 2则2= (2，1， 2)所以 =24 + 1 +42=252+ 4因为平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 4，3，所以 cos12，22，即252+ 4 12，22由252+ 412得： 2 155 2 155由252+ 422得： 2 55或 2 55所以 a 的取值范围是2 55，2 155 13.如图，在四棱台1111ABCDABC D中，底面ABCD是菱形111112AAABAB，60ABC，1AA 平面ABCD（1）若点M是AD的中点，求证：1/ /C M平面11AAB B；（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角1EADD的余弦值为13？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由【答案】 （1）详见解析； （2）存在，且长度为312【分析】(1) 连接1B A,可得四边形11ABC M是平行四边形，可得11/C M B A，可证得1C M/平面11AAB B；（2）取BC中点Q，连接AQ，可得ABC是正三角形，分别以AQ,AD,1AA为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，假设点E存在，设点E的坐标为30， ，11 ，可得平面1AD E的一个法向量,3, 3n，平面1ADD的一个法向量为3 0 0AQ ， ，由二面角1EADD的余弦值为13，可得的值，可得CE的长.【详解】解： （1）证明：连接1B A,由已知得，11/BCBC AD，且1112BCAMBC所以四边形11ABC M是平行四边形，即11/C M B A， 又1C M 平面11AAB B，1B A平面11AAB B，所以1C M/平面11AAB B（2）取BC中点Q，连接AQ因为ABCD是菱形，且60ABC，所以ABC是正三角形，所以AQBC即AQAD，由于ABC是正三角形所以，分别以AQ,AD,1AA为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系,如图0 0 0A， ，10 01A， ，1011D， ，3,0,0Q假设点E存在，设点E的坐标为30， ，11 30AE ， ，1011AD ， ，设平面1AD E的法向量nxyz， ，则100n AEn AD 即300 xyyz，可取,3, 3n平面1ADD的法向量为3 0 0AQ ， ，所以，231cos,336AQ n，解得：32 又由于二面角1EADD大小为锐角，由图可知，点 E 在线段 QC 上，所以32，即312CE 14.在三棱锥中，平面，平面平面PABCBCPABPAC ABC（1）证明：平面；（2）若为的中点，且，求二面角的余弦值【答案】 （1）证明见解析； （2）【解析】 （1）过点作，垂足为点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又平面，平面，又，、平面，平面；（2），为中点又为的中点，由（1）知，平面，平面，、平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如图PA ABCDPC2 2PAABABBCABDC19BBOACOPAC ABCPAC ABCACBOACBO ABCBOPACPAPABBOPABC PABPAPABBCPABCBOBBCBO ABCPAABCABBCBOACOBCDQPC/DO PAPA ABCDOABCAOBO ABCDOBODOAOOOAOBODxyzOxyz设，则，则，设平面的法向量为，则，由，即令得，则设平面的法向量为，由， 可 得， 令， 可 得， 则，由图象可知，二面角是钝角，因此，二面角的余弦值为15. 如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，BCAD，ABCD，E 为棱 PB 上一点，AC 与 BD 交于点 O，且 ACBD，AD1，BCPCPB3， =3 22（1）证明：ACDE；（2）是否存在点 E，使二面角 BDCE 的余弦值为3 7638？若存在，求出 E 点位置，若不存在，请说明理由2ABBC2AC 4PA 0,0,0O1,0,0A1,0,0C 0,1,0B1,0,4P0,0,2DABD1111,nx y z1,1,0AB 1,0,2AD 1100nABnAD 1111020 xyxz11z 12x 12y 2,2,1n rBCD2222,nxyz 1,1,0CB 1,0,2CD 2200nCBnCD 2222020 xyxz21z 22x 22y 22,2,1n 1212121cos,9n nn nn n ABDCABDC19【解题思路】 （1）证明 POAC，推出 AC平面 PBD，然后证明 ACDE（2）以 O 为原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z，轴建立空间直角坐标系，求出平面 EDC的一个法向量，平面 BDC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值，然后解得 =23，得到结果【解答过程】 （1）证明：因为四边形 ABCD 为等腰梯形，且 ACBD，所以OBC 为等腰直角三角形，因为 BC3，所以 = =3 22，因为 PC3， =3 22，所以 PC2PO2+OC2，所以 POAC，又因为 BD平面 PBD，PO平面 PBD，BDPOO，所以 AC平面 PBD，因为 DE平面 PBD，所以 ACDE（2）因为 PB3， =3 22， =3 22，所以 PB2PO2+OB2，即 BOPO，因为 POAC，AC平面 ABCD，BD平面 ABCD，ACBDO，所以 PO平面 ABCD，如图，以 O 为原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z，轴建立空间直角坐标系，由（1）知 = = 3 =3 22，故 O（0，0，0） ，(3 22，0，0)，(0，3 22，0)，( 22，0，0)， (0，0，3 22)， = (22，3 22，0)， = ( 3 22，3 22，0)， = ( 3 22，0，3 22)，假设在棱 PB 上存在一点 E 满足题意，设 = ，0，1所以 = = (3 22( 1)，3 22， 3 22)，设平面 EDC 的一个法向量为 = （x，y，z） ，则 = 0 = 0，即22 +3 22 = 03 22( 1) +3 22 3 22 = 0，令 y1，解得 = 3 =4 3，故 = ( 3，1，4 3)，易得平面 BDC 的一个法向量为 = （0，0，1） ，设二面角 BDCE 为 ，可知二面角为锐二面角 = |，| =| |=|4 3|10 + (4 3)2=3 7638，解得 =23，所以存在满足题意的点 E，位置在靠近 P 点 PB 的三等分点处