第9讲 双曲线的方程和性质 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 9 讲 双曲线的方程和性质玩前必备1双曲线的定义平面内到两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a|F1F2|)的点 P 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距当|PF1|PF2|2a2a|F1F2|时， 点 P 的轨迹为靠近 F2的双曲线的一支.,当|PF1|PF2|2a2a|F1F2|时，点 P 的轨迹为靠近 F1的双曲线的一支.若 2a2c，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线；若 2a2c，则轨迹不存在；若 2a0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)在双曲线的标准方程中，看 x2项与 y2项的系数的正负，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2项的系数为正，则焦点在 y 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.3双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)范围|x|a，yR R|y|a，xR R对称性对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴线段 A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 2a，虚轴长为 2b焦距|F1F2|2c离心率eca 1b2a2(1，) e 是表示双曲线开口大小的一个量，e 越大开口越大.渐近线ybaxyabxa，b，c 的关系a2c2b2常用结论1过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径2与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2y2b2t(t0)3双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.4若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.玩转典例题型一双曲线的定义 例 1（2020山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点P，两个定点1F，2F，若12PFPF为大于零的常数，则动点P的轨迹为（ ）A双曲线B射线C线段D双曲线的一支或射线例 2（2020四川内江）一动圆与两圆 x2+y21 和 x2+y28x+120 都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线例 3（2020安徽贵池。池州一中高二期末（理） ）方程221,()22xykRkk表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A 2k 或2k B1k C3k D 1k 或1k 玩转跟踪 1 已知ABC 的顶点 A(5,0)， B(5,0)， ABC 内切圆的圆心在直线 x2 上， 则顶点 C 的轨迹方程是()A.x24y2211(x2) B.y24x2211(y2)C.x221y241 D.y24x2212 （2020浙江瓯海.温州中学高二期末）双曲线221412xy的左右焦点分别为1F，2F，点在P双曲线上，若15PF ，则2PF （ ）A1B9C1或9D73.若曲线2211xymm表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）A1m B0m C102mD112m题型二焦点三角形问题例 4（1） （2020江西高二期末（文） ）已知双曲线2217xym，直线 l 过其左焦点1F，交双曲线左支于A、B 两点，且AB4，2F为双曲线的右焦点，2ABF的周长为 20，则 m 的值为 （ ）A8B9C16D20(2)（2020四川南充.高二期末（理） ）设12FF、分别是双曲线2213yx 的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PFPF，则12PFF的面积等于A5 3B2 10C4 5D3 15例 5 （2020吉林松原）已知点P是双曲线22184xy上一点，1F，2F分别为双曲线的左右焦点，若12FPF的外接圆半径为 4，且12FPF为锐角，则12PFPF（ ）A15B16C18D20例 6 已知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF|PA|的最小值为_玩转跟踪 1 （2020宁夏兴庆.银川九中）已知12,F F是双曲线22(0)xym m的两个焦点，点P为该双曲线上一点，若12PFPF，且122 3PFPF，则m （ ）A1B2C3D32 （2020武威第八中学高二期末 （理） ） 已知双曲线C:221916xy的左右焦点分别为12,F F,P为C的右支上一点,且212| | PFFF,则12PFF的面积等于A24B36C48D963.已知 F1，F2为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|2|PF2|，则 cosF1PF2_.题型三 题型三 双曲线的标准方程例 7例 7（1）已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 y34x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线 C的标准方程为()A.x29y2161B.x216y291C.x23y241 D.x24y231（2）(一题多解)与椭圆x24y21 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线标准方程是()A.x24y21 B.x22y21C.x23y231 Dx2y221（3）经过点 P(3,27)，Q(62，7)的双曲线的标准方程为_（4）焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线y24x21 有相同渐近线的双曲线的标准方程是_玩转跟踪1 （2020四川高二期末）已知离心率为 2 的双曲线222210,0 xyabab与椭圆22184xy有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A221412xyB221124xyC2213yx D2213xy2 （2020河南林州一中高二月考（理） ）已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线方程为34yx，P为该双曲线上一点，12,F F为其左、右焦点，且12PFPF，1218PFPF，则该双曲线的方程为（ ）A2213218xyB2211832xyC221916xyD221169xy3 （2020全国）已知5,0F 是双曲线222210,0 xyabab的左焦点，过F作一条渐近线的垂线与右支交于点P，垂足为A，且3PAAF，则双曲线方程为（ ）A221205xyB221520 xyC221169xyD221916xy题型四 题型四 椭圆的性质例 8例 8（2020湖南开福）已知1F、2F分别为双曲线2222:1xyEab的左、右焦点，点M在E上，1221:2:3:4FFF MFM ，则双曲线E的渐近线方程为（ ）A2yx B12yx C3yx D33y 例 9 例 9 (2020全国卷) 已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C的两条渐近线分别交于 A，B 两点若 F1A AB ， F1B F2B 0，则 C 的离心率为_例 10 例 10 （2020广西兴宁）设 F 是双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点.过点 F 作斜率为-3 的直线 l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A(1, 10)B(1, 5)C( 10,)D( 5,)玩转跟踪1(2020福建厦门一模)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M，N 两点，若|MN|2，ABF 的面积为8，则 C 的渐近线方程为()Ay3x By33xCy2x Dy12x2(2020天津高考)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且|AB|4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率为()A.2B.3C2 D.53.（2020东湖江西师大附中高三月考（理） ）斜率为3的直线与双曲线22221xyab恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A2,)B(2,)C(1, 3)D( 3,)玩转练习1双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()Ay2xBy3xCy22x Dy32x2设 F1，F2是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|6|OP|，则 C 的离心率为()A.5 B2C.3 D.23(2020全国卷)双曲线 C：x24y221 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO 的面积为()A.324 B.322C22 D324(2020全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为()A.2B.3C2 D.55(多选)已知双曲线 C 过点(3，2)且渐近线为 y33x，则下列结论正确的是()AC 的方程为x23y21BC 的离心率为3C曲线 yex21 经过 C 的一个焦点D直线 x2y10 与 C 有两个公共点6(多选)已知点 P 是双曲线 E：x216y291 的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、右焦点，PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的有()A点 P 的横坐标为203BPF1F2的周长为803CF1PF2小于3DPF1F2的内切圆半径为327(2020湖北模拟)设 F1(c,0)，F2(c,0)是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，点 P 是 C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是F1PF2的平分线，过点 F1作 PQ 的垂线，垂足为 Q，O 为坐标原点，则|OQ|()A为定值 aB为定值 bC为定值 cD不确定，随 P 点位置变化而变化8(多选)已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1，椭圆 C1的上顶点为M，且 MF1 MF2 0.双曲线 C2和椭圆 C1有相同焦点，且双曲线 C2的离心率为 e2，P 为曲线 C1与 C2的一个公共点，若F1PF23，则正确的是()A.e2e12 Be1e232Ce2 1e2 252 De2 2e2 119已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为 F，离心率为2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为_10 (2020广东揭阳一模)过双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为_11已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为_12(一题两空)中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 F1，F2，且|F1F2|213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4，离心率之比为 37.(1)椭圆的方程为_；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，则 cosF1PF2_.13已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为 yx 且 c2，求双曲线的方程；(2)以原点 O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为3，求双曲线的离心率14已知点 F1，F2分别是双曲线 C： x2y2b21(b0)的左、右焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，MF1F230.(1)求双曲线 C 的方程；(2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1，P2，求 PP1 PP2 的值第 9 讲 双曲线的方程和性质玩前必备1双曲线的定义平面内到两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a|F1F2|)的点 P 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距当|PF1|PF2|2a2a|F1F2|时， 点 P 的轨迹为靠近 F2的双曲线的一支.,当|PF1|PF2|2a2a|F1F2|时，点 P 的轨迹为靠近 F1的双曲线的一支.若 2a2c，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线；若 2a2c，则轨迹不存在；若 2a0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)在双曲线的标准方程中，看 x2项与 y2项的系数的正负，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2项的系数为正，则焦点在 y 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.3双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)范围|x|a，yR R|y|a，xR R对称性对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴线段 A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 2a，虚轴长为 2b焦距|F1F2|2c离心率eca 1b2a2(1，) e 是表示双曲线开口大小的一个量，e 越大开口越大.渐近线ybaxyabxa，b，c 的关系a2c2b2常用结论1过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径2与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2y2b2t(t0)3双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.4若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.玩转典例题型一双曲线的定义 例 1（2020山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点P，两个定点1F，2F，若12PFPF为大于零的常数，则动点P的轨迹为（ ）A双曲线B射线C线段D双曲线的一支或射线【答案】D【解析】两个定点的距离为12FF,当1212PFPFFF时，P点的轨迹为双曲线的一支；当1212PFPFFF时，P点的轨迹为射线；不存在1212PFPFFF的情况.综上所述，P的轨迹为双曲线的一支或射线.故选：D例 2（2020四川内江）一动圆与两圆 x2+y21 和 x2+y28x+120 都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线【答案】C【解析】设动圆圆心( , )M x y，半径为r，圆 x2+y21 的圆心为(0,0)O，半径为1，圆 x2+y28x+120，得22(4)4xy，则圆心(4,0)C，半径为2，根据圆与圆相切，则|1MOr，|2MCr，两式相减得| 1MCMO，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.故选：C例 3（2020安徽贵池。池州一中高二期末（理） ）方程221,()22xykRkk表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A 2k或2k B1k C3k D 1k 或1k 【答案】C【解析】方程22122xykk表示双曲线，可得(2)(2)0kk，解得2k或2k ；记集合 |2Ak k 或2k ；所以方程22122xykk表示双曲线的充分不必要条件为集合A的真子集，由于|3k kA，故选：C玩转跟踪 1 已知ABC 的顶点 A(5,0)， B(5,0)， ABC 内切圆的圆心在直线 x2 上， 则顶点 C 的轨迹方程是()A.x24y2211(x2) B.y24x2211(y2)C.x221y241 D.y24x221解析：选 A如图，ABC 与内切圆的切点分别为 G，E，F.|AG|AE|7，|BF|BG|3，|CE|CF|，所以|CA|CB|734.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A， B 为焦点，实轴长为 4 的双曲线的右支，方程为x24y2211(x2)2 （2020浙江瓯海.温州中学高二期末）双曲线221412xy的左右焦点分别为1F，2F，点在P双曲线上，若15PF ，则2PF （ ）A1B9C1或9D7【答案】B【解析】双曲线221412xy的2,2 3,4 124abc，点在P双曲线的右支上，可得16PFac，点在P双曲线的左支上，可得12PFca，由15PF 可得P在双曲线的左支上，可得2124PFPFa，即有2549PF .故选：B.3.若曲线2211xymm表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）A1mB0m C102mD112m【答案】B【解析】把曲线2211xymm转化为2211yxmm，因为曲线表示焦点在y轴上的双曲线，所以100mm，即10mm，解得0m .故选：B.题型二焦点三角形问题例 4（1） （2020江西高二期末（文） ）已知双曲线2217xym，直线 l 过其左焦点1F，交双曲线左支于A、B 两点，且AB4，2F为双曲线的右焦点，2ABF的周长为 20，则 m 的值为 （ ）A8B9C16D20(2)（2020四川南充.高二期末（理） ）设12FF、分别是双曲线2213yx 的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PFPF，则1 2PFF的面积等于A5 3B2 10C4 5D3 15【答案】 （1）B(2)D【解析】 （1）由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|20，又|AB|4，则|AF2|+|BF2|16据双曲线定义，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，所以 4a|AF2|+|BF2|（|AF1|+|BF1|）16412，即 a3，所以 ma29，故选 B(2)设12| 4 ,| 3PFx PFx，则由双曲线的定义可得12|-| 4322,PFPFxxxa故12| 8,| 6PFPF，又124FF ，故123664 1672 6o8c s8FPF ，故1215sin8FPF，所以1 2PFF的面积为1156 83 1528 .故选：D.例 5 （2020吉林松原）已知点P是双曲线22184xy上一点，1F，2F分别为双曲线的左右焦点，若12FPF的外接圆半径为 4，且12FPF为锐角，则12PFPF（ ）A15B16C18D20【答案】B【解析】依题意，2 2,2,8 42 3abc.在三角形12FPF中， 1224 3FFc，由正弦定理得12122 4sinFFFPF，即12124 338,sinsin2FPFFPF，由于12FPF为锐角，所以123FPF.根据双曲线的定义得1224 2PFPFa.在三角形12FPF中，由余弦定理得2221212122cos3FFPFPFPFPF ，即22121248PFPFPFPF，即2121248PFPFPFPF，即123248PFPF，所以1216PFPF.故选：B例 6 已知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF|PA|的最小值为_解析因为 F 是双曲线x24y2121 的左焦点， 所以 F(4,0)， 设其右焦点为 H(4,0)， 则由双曲线的定义可得|PF|PA|2a|PH|PA|2a|AH|4412042459.玩转跟踪 1 （2020宁夏兴庆.银川九中）已知12,F F是双曲线22(0)xym m的两个焦点，点P为该双曲线上一点，若12PFPF，且122 3PFPF，则m （ ）A1B2C3D3【答案】A【解析】双曲线22(0)xym m化为标准方程可得221xymm即,2am bm cm 由双曲线定义可知122PFPFm,所以22112224PFPFPFPFm,又因为122 3PFPF,所以221122212PFPFPFPF,由以上两式可得221226PFPFm,由12PFPF得2221248PFPFcm,所以826mm,解得1m ,故选:A.2 （2020武威第八中学高二期末（理） ）已知双曲线C:221916xy的左右焦点分别为12,F F,P为C的右支上一点,且212| |PFFF,则1 2PFF的面积等于A24B36C48D96【答案】C【解析】双曲线中3,4,5abc125,0 ,5,0FF212PFFF1226 1016PFaPF作1PF边上的高2AF，则18AF 2221086AF 1 2PFF的面积为121116 64822PFAF故选 C3.已知 F1，F2为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|2|PF2|，则 cosF1PF2_.解析：由双曲线的定义有|PF1|PF2|2a22，|PF1|2|PF2|，|PF1|42，|PF2|22，则 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|422222422 42 2234.答案：34题型三 题型三 双曲线的标准方程例 7例 7（1）已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 y34x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线 C的标准方程为()A.x29y2161B.x216y291C.x23y241 D.x24y231解析：选 B由题意得ba34，c2a2b225，所以 a4，b3，所以所求双曲线的标准方程为x216y291.（2）(一题多解)与椭圆x24y21 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线标准方程是()A.x24y21 B.x22y21C.x23y231 Dx2y221解析：选 B法一：椭圆x24y21 的焦点坐标是(3，0)设双曲线标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，因为双曲线过点 P(2,1)，所以4a21b21，又 a2b23，解得 a22，b21，所以所求双曲线标准方程是x22y21.法二：设所求双曲线标准方程为x24y211(10)，即x2y241，则有 425，解得 5，所以所求双曲线的标准方程为x25y2201.答案：x25y2201玩转跟踪1 （2020四川高二期末）已知离心率为 2 的双曲线222210,0 xyabab与椭圆22184xy有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A221412xyB221124xyC2213yx D2213xy【答案】C【解析】双曲线222210,0 xyabab与椭圆22184xy有公共焦点由椭圆22184xy可得284=4c 2c双曲线离心率2cea，22214 13abca ，双曲线的方程为：2213yx 故选：C2 （2020河南林州一中高二月考（理） ）已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线方程为34yx，P为该双曲线上一点，12,F F为其左、右焦点，且12PFPF，1218PFPF，则该双曲线的方程为（ ）A2213218xyB2211832xyC221916xyD221169xy【答案】D【解析】设22cab，则由渐近线方程为34yx，34ba=，又1222212122 ,PFPFaPFPFFF，所以22212122221224,4.PFPFPFPFaPFPFc两式相减，得21224PFPFb，而1218PFPF，所以29b ，所以3b，所以5c，4a ，故双曲线的方程为221169xy.故选：D3 （2020全国）已知5,0F 是双曲线222210,0 xyabab的左焦点，过F作一条渐近线的垂线与右支交于点P，垂足为A，且3PAAF，则双曲线方程为（ ）A221205xyB221520 xyC221169xyD221916xy【答案】D【解析】设双曲线右焦点为1F，连接1PF，左焦点,0Fc到渐近线byxa 的距离为22bcbab，故3PAb，4PFb在FAO中，cosbAFOc，由双曲线定义得142PFba，在1PFF中，由余弦定理得 2224242242bbabcbcc ，整理得2222161644babcab，即34ba，又2225ab，解得29a ，216b ，双曲线方程为221916xy.故选：D.题型四 题型四 椭圆的性质例 8例 8（2020湖南开福）已知1F、2F分别为双曲线2222:1xyEab的左、右焦点，点M在E上，1221:2:3:4FFF MFM ，则双曲线E的渐近线方程为（ ）A2yx B12yx C3yx D33y 【答案】C【解析】由题意，1F、2F分别为双曲线2222:1xyEab的左、右焦点，点M在E上，且满足1221:|:2:3:4FFF MFM ，可得122FFc，23F Mc，14FMc，由双曲线的定义可知21243aF MFMccc，即2ca，又由223bcaa，所以双曲线的渐近线方程为3yx .故选：C.例 9 例 9 (2020全国卷) 已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C的两条渐近线分别交于 A，B 两点若 F1A AB ， F1B F2B 0，则 C 的离心率为_解析法一：双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax， F1B F2B 0，F1BF2B，点 B 在O：x2y2c2上，如图所示，不妨设点 B 在第一象限，由Error!Error! F1A AB ，点 A 为线段 F1B 的中点，A(ac2，b2)，将其代入 ybax 得b2(ba)ac2.解得 c2a，故 eca2.例 10 例 10 （2020广西兴宁）设 F 是双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点.过点 F 作斜率为-3 的直线 l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A(1, 10)B(1, 5)C( 10,)D( 5,)【答案】C【解析】因为双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线方程为byxa ，当过点 F 且斜率为-3 的直线 l 与渐近线byxa 平行时.直线 l 只与双曲线右支有一个交点， 数形结合可知，当渐近线byxa 的斜率满足3ba ，即3ba时，直线 l 与双曲线左、右支均相交，所以2222391010babacae .故选:C.玩转跟踪1(2020福建厦门一模)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M，N 两点，若|MN|2，ABF 的面积为8，则 C 的渐近线方程为()Ay3x By33xCy2x Dy12x解析：选 B设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF是矩形，SABFSABF，即 bc8，由Error!Error!可得 yb2c，则|MN|2b2c2，即 b2c，b2，c4，ac2b22 3，C 的渐近线方程为 y33x，故选 B.2(2020天津高考)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且|AB|4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率为()A.2B.3C2 D.5解析：选 D由已知易得，抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线 l：x1，所以|OF|1.又双曲线的两条渐近线的方程为 ybax，不妨设点 A(1，ba)，B(1， ba)，所以|AB|2ba4|OF|4，所以ba2，即 b2a，所以 b24a2.又双曲线方程中 c2a2b2，所以 c25a2，所以 eca5.故选 D.3.（2020东湖江西师大附中高三月考（理） ）斜率为3的直线与双曲线22221xyab恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A2,)B(2,)C(1, 3)D( 3,)【答案】B【解析】因为斜率为3的直线与双曲线22221xyab恒有两个公共点，所以3ba，所以212cbeaa所以双曲线离心率的取值范围是(2,),故选：B玩转练习1双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()Ay2xBy3xCy22x Dy32x解析：选 Aecaa2b2a3，a2b23a2，b2a.渐近线方程为 y2x.2设 F1，F2是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|6|OP|，则 C 的离心率为()A.5 B2C.3 D.2解析：选 C不妨设一条渐近线的方程为 ybax，则 F2到 ybax 的距离 d|bc|a2b2b.在 RtF2PO 中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|6a，又|F1O|c，所以在F1PO 与 RtF2PO 中，根据余弦定理得cosPOF1a2c26a22accosPOF2ac，即 3a2c2(6a)20，得 3a2c2，所以 eca3.3 (2020全国卷)双曲线 C：x24y221 的右焦点为 F， 点 P 在 C 的一条渐近线上， O 为坐标原点， 若|PO|PF|，则PFO 的面积为()A.324 B.322C22 D32解析：选 A不妨设点 P 在第一象限，根据题意可知 c26，所以|OF|6.又 tanPOFba22，所以等腰三角形 POF 的高 h622232，所以 SPFO12632324.故选 A.4(2020全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为()A.2B.3C2 D.5解析：选 A设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件 |PQ|OF|可知， PQ 是以 OF 为直径的圆的直径， 且 PQOF.设垂足为 M， 连接 OP， 如图， 则|OP|a， |OM|MP|c2.由|OM|2|MP|2|OP|2得(c2)2(c2)2a2，故ca2，即 e2.故选 A.5(多选)已知双曲线 C 过点(3，2)且渐近线为 y33x，则下列结论正确的是()AC 的方程为x23y21BC 的离心率为3C曲线 yex21 经过 C 的一个焦点D直线 x2y10 与 C 有两个公共点解析：选 AC设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21，根据条件可知ba33，所以方程可化为x23b2y2b21，将点(3，2)代入得 b21，所以 a23，所以双曲线 C 的方程为x23y21，故 A 对；离心率 eca a2b2a2 313233， 故 B 错 ； 双曲线 C 的焦点为(2,0)， (2,0)， 将 x2 代入得 ye010， 所以 C 对 ； 联立Error!Error!整理得 y222y20，则 880，故只有一个公共点，故 D 错故选 A、C.6(多选)已知点 P 是双曲线 E：x216y291 的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、右焦点，PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的有()A点 P 的横坐标为203BPF1F2的周长为803CF1PF2小于3DPF1F2的内切圆半径为32解析：选 ABCD双曲线 E：x216y291 的 a4，b3，c5，不妨设 P(m，n)，m0，n0，由PF1F2的面积为 20，可得12|F1F2|ncn5n20，即 n4.由m2161691，可得 m203，故 A 正确由 P(203，4)，且 F1(5,0)，F2(5,0)，可得 kPF11235，kPF2125，则 tanF1PF21251235112 125 35360319(0，3)，则F1PF23，故 C 正确由|PF1|PF2| 163529 16259373133503，则PF1F2的周长为50310803，故 B 正确设PF1F2的内切圆半径为 r，可得12r(|PF1|PF2|F1F2|)12|F1F2|4，可得803r40，解得 r32，故 D 正确故选 A、B、C、D.7(2020湖北模拟)设 F1(c,0)，F2(c,0)是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，点 P 是 C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是F1PF2的平分线，过点 F1作 PQ 的垂线，垂足为 Q，O 为坐标原点，则|OQ|()A为定值 aB为定值 bC为定值 cD不确定，随 P 点位置变化而变化解析：选 A延长 F1Q， PF2交于点 M， 则三角形 PF1M 为等腰三角形，可得 Q 为 F1M 的中点，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|F2M|2a，由三角形中位线定理可得|OQ|12|F2M|a，故选 A.8(多选)已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1，椭圆 C1的上顶点为M，且 MF1 MF2 0.双曲线 C2和椭圆 C1有相同焦点，且双曲线 C2的离心率为 e2，P 为曲线 C1与 C2的一个公共点，若F1PF23，则正确的是()A.e2e12 Be1e232Ce2 1e2 252 De2 2e2 11解析：选 BD如图所示，设双曲线的标准方程为x2a2 1y2b2 11(a1，b10)，半焦距为 c.椭圆 C1的上顶点为 M，且 MF1 MF2 0.F1MF22，bc，a22c2.e1ca22.不妨设点 P 在第一象限，设|PF1|m，|PF2|n.mn2a，mn2a1.mnmn2mn24a2a2 1.在PF1F2中，由余弦定理可得：4c2m2n22mncos3(mn)23mn4a23(a2a2 1)4c2a23a2 1.两边同除以 c2，得 41e2 13e2 2，解得：e232.e1e2223232，e2 2e2 1(32)2(22)21.故选 B、D.9已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为 F，离心率为2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为_解析：由离心率为2，可知 ab，c2a，所以 F(2a,0)，由题意知 kPF4002a42a1，所以2a4，解得 a22，所以双曲线的方程为x28y281.答案：x28y28110 (2020广东揭阳一模)过双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为_解析 ： 将 xc 代入双曲线的方程得 y2b4a2yb2a，则 2c2b2a，即有 acb2c2a2，由 eca，可得 e2e10，解得 e512或 e152(舍)答案：51211已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为_解析 ： 双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，e21b2a24，b2a23，即 b23a2，c2a2b24a2，由题意可设 A(2a,3a)，B(2a，3a)，b2a23，渐近线方程为 y3x，则点 A 与点 B 到直线3xy0 的距离分别为 d1|23a3a|22332a，d2|23a3a|22332a，又d1d26，2332a2332a6，解得 a3，b29.双曲线的方程为x23y291.答案：x23y29112(一题两空)中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 F1，F2，且|F1F2|213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4，离心率之比为 37.(1)椭圆的方程为_；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，则 cosF1PF2_.解析：(1)由题知 c13，设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，双曲线方程为x2m2y2n21(m0，n0)，则Error!Error!解得 a7，m3.则 b6，n2.故椭圆方程为x249y2361.(2)不妨设 F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点，则|PF