第7讲 椭圆的方程和性质 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 7 讲 椭圆的方程和性质玩前必备1椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 2a(2a|F1F2|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆，这两个定点 F1，F2叫做椭圆的焦点. 2a|F1F2|时，动点的轨迹是线段 F1F2；2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在.2椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)焦点在 x 轴上标准方程中 x2项的分母较大；焦点在 y 轴上标准方程中 y2项的分母较大.3椭圆的几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于 x 轴，y 轴对称，关于原点中心对称(a,0)，(a,0)，(0，b)，(0，b)顶点坐标(b,0)，(b,0)，(0，a)，(0，a)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)半轴长长半轴长为 a，短半轴长为 b，ab离心率ecaa，b，c 的关系a2b2c2长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心离心率表示椭圆的扁平程度当 e 越接近于 1 时，c 越接近于 a，从而 ba2c2越小，因此椭圆越扁常用结论1焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作 r1|PF1|，r2|PF2|.(1)x2a2y2b21(ab0)，r1aex0，r2aex0；(2)y2a2x2b21(ab0)，r1aey0，r2aey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)2焦点三角形 ： 椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积为 S，则在椭圆x2a2y2b21(ab0)中(1)当 P 为短轴端点时， 最大(2)S12|PF1|PF2|sin b2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.(3)焦点三角形的周长为 2(ac)3焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin2b2a.4AB 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则(1)弦长 l1k2|x1x2| 11k2|y1y2|；(2)直线 AB 的斜率 kABb2x0a2y0.玩转典例题型一椭圆的定义椭圆的定义 例 1下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点 F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2| 2的点 P 的轨迹为椭圆；已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4 的点 P 的轨迹为线段；到定点 F1(3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆例 2（1） （2020福建高二期末）如果222xky表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）A(0,1)B(0,2)C(1,)D(0,)（2） （2020江苏省苏州实验中学高二期中）方程2214xym表示椭圆，则实数m的取值范围（ ）A0m B4m C04mD0m 且4m 例 3已知两圆 C1： (x4)2y2169，C2： (x4)2y29，动圆 M 在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x264y2481B.y264x2481C.x248y2641 D.x264y2481例 4（2020全国高三其他）已知椭圆2212516xy，3,0A，2,1B ，点M是椭圆上的一动点，则MAMB的最小值为（ ）A62B102C112D122玩转跟踪 1 （2020全国高三其他（理） ）已知平面内两个定点(3,0)M和点( 3,0)N ，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数(0)a a ，设点P的轨迹为C. 存在常数(0)a a ，使C上所有点到两点( 4,0),(4,0)距离之和为定值； 存在常数(0)a a ，使C上所有点到两点(0, 4),(0,4)距离之和为定值； 不存在常数(0)a a ，使C上所有点到两点( 4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值； 不存在常数(0)a a ，使C上所有点到两点(0, 4),(0,4)距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_.（填出所有正确命题的序号）2 （2020吉林省实验高二期末（理） ）方程 x2ky22 表示焦点在 x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ）A0k B12kC1k D01k3.已知1F为椭圆459522 yx的左焦点，P 为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则|1PAPF 的最小值_题型二焦点三角形问题例 5（1） （2020黑龙江哈尔滨三中高二期中）已知ABC的顶点B，C在椭圆221169xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则ABC的周长是（）A8B8 3C16D24（2） （2020广西田阳高中） ） 已知P是椭圆221259xy上一点， 12,F F为椭圆的两焦点， 且01260FPF，则12FPF面积为（ ）A3 3B2 3C3D33例 6（2020湖北襄阳。高二期中）椭圆22194xy的左右焦点分别为12,F F，点P在椭圆上，若14PF ，则12FPF_.例 7设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A.36 B.13 C.12 D.33玩转跟踪 1 （2020黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文） ）已知点12,F F分别是椭圆221259xy的左、右焦点,点P在此椭圆上,则12PFF的周长等于（ ）A20B16C18D142已知 P 是椭圆2214xy上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF260，则F1PF2的面积是_3.（2020广西钦州一中高三开学考试（理） ）设椭圆 C：22221xyab(a0，b0)的左右焦点分别为1F，2F，离心率为32.P 是 C 上一点，且1FP2F P.若12PFF的面积为 4，则 a=（ ）A1B2C4D84.点 P(x，y)是椭圆22221xyab(ab0)上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF290，则该椭圆的离心率的取值范围是()A0e22B22e1C0eb0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为36的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A.23B.12C.13 D.14(2)(2020福州模拟)过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C的左焦点和上顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是_例 11例 11(1)若点 O 和点 F 分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP 的最大值为 ()A2 B3C6 D8(2)P 为椭圆x216y2151 上任意一点，EF 为圆 N： (x1)2y24 的任意一条直径，则 PE PF 的取值范围是()A0,15 B5,15C5,21 D(5,21)玩转跟踪1.(2020江西吉安一模)如图，用与底面成 45角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为()A.22 B.33C.32 D.132已知椭圆x24y2b21(0b2)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若|BF2|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是_3.（2020江苏淮安.高二期中）已知椭圆22221(0)xyabab的上顶点为B，右顶点为A，若过原点O作AB的垂线交椭圆的右准线于点P，点P到x轴的距离为22ac，则此椭圆的离心率为（ ）A22B12C32D33玩转练习1(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211my2m31 的长轴在 y 轴上，且焦距为 4，则 m 等于()A5B6C9 D102(2020河北衡水二模)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为13，则ab()A.98 B.322C.43 D.3243焦点在 x 轴上的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为()A.14 B.13C.12 D.234(2020安徽江南十校模拟)已知椭圆 G 的中心为坐标原点 O，点 F，B 分别为椭圆 G 的右焦点和短轴端点点 O 到直线 BF 的距离为3，过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2，则椭圆 G 的方程是()A.x24y221 B.y24x221C.x216y241 D.y216x2415(多选)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行， 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，下列式子中正确的是()Aa1c1a2c2 Ba1c1a2c2Cc1a2a1c2 D.c1a1c2a26(多选)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2在 y 轴上，短轴长等于 2，离心率为63，过焦点 F1作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，则下列说法正确的是()A椭圆 C 的方程为y23x21B椭圆 C 的方程为x23y21C|PQ|233DPF2Q 的周长为 437(2020全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为()A.x22y21 B.x23y221C.x24y231 D.x25y2418(2020福州模拟)已知 F1，F2为椭圆x24y21 的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是F1PF2内切圆的圆心，过 F1作 F1MPK 于 M，O 是坐标原点，则|OM|的取值范围为_9(一题两空)已知点 F1，F2分别是椭圆x225y291 的左、右焦点，点 P 在此椭圆上，则椭圆离心率为_，PF1F2的周长为_10椭圆x24y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则|PF2|_.11(2020江西赣州模拟)已知 A，B 是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)上的两点，且 A，B 关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若ABF 面积的最大值恰为 2，则椭圆 E 的长轴长的最小值为_12(一题两空)已知椭圆 E 的一个顶点为 A(0,1)，焦点在 x 轴上，若椭圆的右焦点到直线 xy220 的距离是 3.(1)椭圆 E 的方程为_；(2)设过点 A 的直线 l 与该椭圆交于另一点 B，当弦 AB 的长度最大时，则直线 l 的方程为_13 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦点分别为F1(c， 0)， F2(c,0)， 若椭圆上存在点P使1cos 2PF1F21cos 2PF2F1a2c2，求该椭圆的离心率的取值范围14已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F2(3,0)，离心率为 e.(1)若 e32，求椭圆的方程；(2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A，B 两点，M，N 分别为线段 AF2，BF2的中点，若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且22e32，求 k 的取值范围15.如图，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(1,0)，离心率为22，过点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD.(1)求椭圆的标准方程；(2)求以 A，B，C，D 为顶点的四边形的面积的取值范围第 7 讲 椭圆的方程和性质玩前必备1椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 2a(2a|F1F2|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆，这两个定点 F1，F2叫做椭圆的焦点. 2a|F1F2|时，动点的轨迹是线段 F1F2；2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在.2椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)焦点在 x 轴上标准方程中 x2项的分母较大；焦点在 y 轴上标准方程中 y2项的分母较大.3椭圆的几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于 x 轴，y 轴对称，关于原点中心对称(a,0)，(a,0)，(0，b)，(0，b)顶点坐标(b,0)，(b,0)，(0，a)，(0，a)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)半轴长长半轴长为 a，短半轴长为 b，ab离心率ecaa，b，c 的关系a2b2c2长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心离心率表示椭圆的扁平程度当 e 越接近于 1 时，c 越接近于 a，从而 ba2c2越小，因此椭圆越扁常用结论1焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作 r1|PF1|，r2|PF2|.(1)x2a2y2b21(ab0)，r1aex0，r2aex0；(2)y2a2x2b21(ab0)，r1aey0，r2aey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)2焦点三角形 ： 椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积为 S，则在椭圆x2a2y2b21(ab0)中(1)当 P 为短轴端点时， 最大(2)S12|PF1|PF2|sin b2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.(3)焦点三角形的周长为 2(ac)3焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin2b2a.4AB 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则(1)弦长 l1k2|x1x2| 11k2|y1y2|；(2)直线 AB 的斜率 kABb2x0a2y0.玩转典例题型一椭圆的定义椭圆的定义 例 1下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点 F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2| 2的点 P 的轨迹为椭圆；已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4 的点 P 的轨迹为线段；到定点 F1(3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆【答案】【解析】2b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A.36 B.13 C.12 D.33解析：选 D在 RtPF2F1中，令|PF2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2|3.所以 e2c2a|F1F2|PF1|PF2|33.玩转跟踪 1 （2020黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文） ）已知点12,F F分别是椭圆221259xy的左、右焦点,点P在此椭圆上,则12PFF的周长等于（ ）A20B16C18D14【答案】C【解析】根据椭圆方程可知5,4ac，根据椭圆的定义可知，12PFF的周长为2210818ac，故选 C.2已知 P 是椭圆2214xy上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF260，则F1PF2的面积是_【答案】33【解析】|PF1|PF2|4，22 3FF ，又F1PF260，由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos6012(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|PF1|PF2|，1243PFPF，1 21213sin6023PF FSPFPF.3.（2020广西钦州一中高三开学考试（理） ）设椭圆 C：22221xyab(a0，b0)的左右焦点分别为1F，2F，离心率为32.P 是 C 上一点，且1FP2F P.若12PFF的面积为 4，则 a=（ ）A1B2C4D8【答案】C【解析】23ca，2234ac，由椭圆定义，122PFPFa，由1FP2F P得22212|2PFPFc，12PFF的面积为 4，则121|42PFPF，即12|8PFPF，22121224PFPFPFPFc，即224163aa,解得216a ，即4a ，故选：C.4.点 P(x，y)是椭圆22221xyab(ab0)上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF290，则该椭圆的离心率的取值范围是()A0e22B22e1C0eb0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为36的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A.23B.12C.13 D.14(2)(2020福州模拟)过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C的左焦点和上顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是_解析(1)如图， 作 PBx 轴于点 B.由题意可设|F1F2|PF2|2c.由F1F2P120， 可得|PB|3c， |BF2|c，故|AB|acca2c，tanPAB|PB|AB|3ca2c36，解得 a4c，所以 eca14.(2)由题设知，直线 l：xcyb1，即 bxcybc0，以 AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将 xc 代入椭圆 C 的方程，得 yb2a，即圆的半径 rb2a.又圆与直线 l 有公共点，所以2bcb2c2 b2a，化简得 2cb，平方整理得 a25c2，所以 eca55.又 0e1，所以 0e55.答案(1)D(2)(0，55例 11例 11(1)若点 O 和点 F 分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP 的最大值为 ()A2 B3C6 D8(2)P 为椭圆x216y2151 上任意一点，EF 为圆 N： (x1)2y24 的任意一条直径，则 PE PF 的取值范围是()A0,15 B5,15C5,21 D(5,21)解析(1)设点 P(x0，y0)，则x2 04y2 031，即 y2 033x2 04.因为点 F(1,0)，所以 OP FP x0(x01)y2 014x2 0 x0314(x02)22.又 x02,2，所以( OP FP )max6.(2)由题意知圆 N 的圆心 N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为 PE PF ( PN NE )( PN NF )( PN NE )( PN NE ) PN 2 NE 2| PN |24，因为 ac| PN |ac，即 3| PN |5，所以 PE PF 的取值范围是5,21答案(1)C(2)C玩转跟踪1.(2020江西吉安一模)如图，用与底面成 45角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为()A.22 B.33C.32 D.13解析：选 A设圆柱的底面圆的直径为 R，则椭圆的短轴长为 R.截面与底面成 45角，椭圆的长轴长为2R，椭圆的焦距为 (22R)2(R2)2R2，则 ecaR222R22.2已知椭圆x24y2b21(0b2)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若|BF2|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是_解析 ： 由椭圆的方程可知a2， 由椭圆的定义可知， |AF2|BF2|AB|4a8， 所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a3，所以 b23，即 b3.答案：33.（2020江苏淮安.高二期中）已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点P，点P到轴的距离为，则此椭圆的离心率为（ ）A22BCD【答案】C【解析】由题可知，椭圆的焦点在轴上，则，所以，由于点P在椭圆的右准线上，且P到轴的距离为，则，所以，由题得，则，即，则有，即，而，所以，整理得：，则，即，解得：，即椭圆的离心率为.故选：C.玩转练习1(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211my2m31 的长轴在 y 轴上，且焦距为 4，则 m 等于()A5B6C9 D10解析：选 C由椭圆x211my2m31 的长轴在 y 轴上，焦距为 4，可得m311m2，解得 m9.故选 C.2(2020河北衡水二模)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为13，则ab()A.98 B.322C.43 D.324解析：选 Decaa2b2a213，8a29b2，ab3 24.故选 D.3焦点在 x 轴上的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为()A.14 B.13C.12 D.23解析：选 C由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得122cb12(2a2c)b3，得 a2c，即 eca12，故选 C.4(2020安徽江南十校模拟)已知椭圆 G 的中心为坐标原点 O，点 F，B 分别为椭圆 G 的右焦点和短轴端点点 O 到直线 BF 的距离为3，过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2，则椭圆 G 的方程是()A.x24y221 B.y24x221C.x216y241 D.y216x241解析：选 C设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，由已知设 BF 的方程为xcyb1，因为点 O 到直线 BF 的距离为3.所以bca3，又因为过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2，所以2b2a2，结合 a2b2c2，知 a4，b2，故选 C.5(多选)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行， 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，下列式子中正确的是()Aa1c1a2c2 Ba1c1a2c2Cc1a2a1c2 D.c1a1c2a2解析：选 BC由题图可知 a1a2，c1c2，a1c1a2c2，A 不正确；a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2，B 正确；a1c2a2c1，可得(a1c2)2(a2c1)2，a2 1c2 12a1c2a2 2c2 22a2c1，即 b2 12a1c2b2 22a2c1，b1b2，所以 c1a2a1c2，C 正确；可得c1a1c2a2，D 不正确故选 B、C.6(多选)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2在 y 轴上，短轴长等于 2，离心率为63，过焦点 F1作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，则下列说法正确的是()A椭圆 C 的方程为y23x21B椭圆 C 的方程为x23y21C|PQ|233DPF2Q 的周长为 43解析：选 ACD由已知得，2b2，b1，ca63，又 a2b2c2，解得 a23.椭圆方程为 x2y231.如图：|PQ|2b2a23233，PF2Q 的周长为 4a43.故选 A、C、D.7(2020全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为()A.x22y21 B.x23y221C.x24y231 D.x25y241解析：选 B设|F2B|x(x0)，则|AF2|2x，|AB|3x，|BF1|3x，|AF1|4a(|AB|BF1|)4a6x，由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x，所以|AF1|2x.在BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2|BF2|2|F1F2|22|F2B|F1F2|cosBF2F1，即 9x2x2224xcosBF2F1，在AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF2|F1F2|cosAF2F1，即 4x24x2228xcosBF2F1，由得 x32，所以 2a4x2 3，a3，所以 b2a2c22.所以椭圆的方程为x23y221.故选 B.8(2020福州模拟)已知 F1，F2为椭圆x24y21 的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是F1PF2内切圆的圆心，过 F1作 F1MPK 于 M，O 是坐标原点，则|OM|的取值范围为_解析：如图，延长 PF2，F1M 相交于 N 点，K 点是F1PF2内切圆的圆心，PK 平分F1PF2，F1MPK，|PN|PF1|，M 为 F1N 中点，O 为 F1F2中点，M 为 F1N 中点，|OM|12|F2N|12|PN|PF2|12|PF1|PF2|b0)上的两点，且 A，B 关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若ABF 面积的最大值恰为 2，则椭圆 E 的长轴长的最小值为_解析：如图所示，设 AB 的方程为 tyx，F(c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)则 y1y2.联立Error!Error!可得 y2a2b2b2t2a2y1y2，ABF 的面积 S12c|y1y2|12cy1y224y1y2c a2b2b2t2a2cb， 当 t0 时取等号bc2，a2b2c22bc4，a2.椭圆 E 的长轴长的最小值为 4.答案：412(一题两空)已知椭圆 E 的一个顶点为 A(0,1)，焦点在 x 轴上，若椭圆的右焦点到直线 xy220 的距离是 3.(1)椭圆 E 的方程为_；(2)设过点 A 的直线 l 与该椭圆交于另一点 B，当弦 AB 的长度最大时，则直线 l 的方程为_解析：(1)由题意得，b1.右焦点(c,0)(c0)到直线 xy220 的距离 d|c22|23，c2.ab2c23，椭圆 E 的方程为x23y21.(2)当直线 l 的斜率不存在时，|AB|2，此时直线 l 的方程为 x0.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为ykx1，联立Error!Error!得(13k2)x26kx0，xA0，xB6k13k2，|AB|1k26|k|13k2，|AB|236k21k213k22.令 t13k2，t(1，)，则|AB|242(1t)21t1，当1t14，即 k21，得 k1 时，|AB|2取得最大值为92，即|AB|的最大值为322，此时直线 l 的方程为 yx1 或 yx1.2322，当弦 AB 的长度最大时，直线 l 的方程为 yx1 或 yx1.答案：(1)x23y21(2)yx1 或 yx113 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦点分别为F1(c， 0)， F2(c,0)， 若椭圆上存在点P使1cos 2PF1F21cos 2PF2F1a2c2，求该椭圆的离心率的取值范围解：由1cos 2PF1F21cos 2PF2F1a2c2得casinPF2F1sinPF1F2.又由正弦定理得sinPF2F1sinPF1F2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|ca.即|PF1|ca|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，所以|PF2|2a2ac，|PF1|2acac，因为 PF2是PF1F2的一边，所以有 2c2acac2a2ac2c2acac，即 c22aca20，所以 e22e10(0e1)，解得椭圆离心率的取值范围为(21,1)14已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F2(3,0)，离心率为 e.(1)若 e32，求椭圆的方程；(2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A，B 两点，M，N 分别为线段 AF2，BF2的中点，若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且22e32，求 k 的取值范围解：(1)由题意得 c3，ca32，所以 a23，又因为 a2b2c2，所以 b23.所以椭圆的方程为x212y231.(2)由Error!Error!得(b2a2k2)x2a2b20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 x1x20，x1x2a2b2b2a2k2，依题意易知，OMON，四边形 OMF2N 为平行四边形，所以 AF2BF2.因为 F2A (x13，y1)， F2B (x23，y2)，所以 F2A F2B (x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290.即a2a291k2a2k2a2990，将其整理为 k2a418a281a418a2181a418a2.因为22e32，所以 23a32，即 12a218.所以 k218，即 k(，2424，).15.如图，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(1,0)，离心率为22，过点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD.(1)求椭圆的标准方程；(2)求以 A，B，C，D 为顶点的四边形的面积的取值范围解：(1)由题意得 c1，ca22，所以 a2，bc1，则椭圆的标准方程为x22y21.(2)当两直线中有一条斜率不存在，另一条斜率为 0 时，S四边形 ADBC12|AB|CD|122222；当两直线斜率都存在且都不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，k0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将其代入椭圆方程整理得(12k2)x24k2x2k220，则 xx24k212k2，x1x22k2212k2，|AB|1k2|x1x2|22k2112k2，同理，|CD|22k21k22，S四边形 ADBC12|AB|CD|1222k2112k222k21k224k2122k425k24(k1k)22(k1k)21222(k1k)21169，2)，当 k1 时，S四边形 ADBC169.综上所述，四边形 ADBC 面积的取值范围是169，2.