专题研究二：直线与双曲线的位置关系 课件新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.ppt

1、专题研究二：直线与双曲线的位置关系专题研究二：直线与双曲线的位置关系关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率yxOA2B2A1B1.F1F2yB2A1A2 B1 xO.F2F1)0( 1babyax2 22 22 22 2bybaxa A1（- a，0），），A2（a，0）B1（0，-b），），B2（0，b）) 10( eaceF1(-c,0) F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0),b(abyax00 1 2 22 22 22 2Ryaxax， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称A1（- a，0），），A2（a，

2、0）) 1( eace渐进线渐进线无无xaby温故知新温故知新关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称) 1( eace渐进线渐进线xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或) 1( ea

3、cexaby椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习复习:相离相离相切相切相交相交直线与双曲线位置关系种类直线与双曲线位置关系种类XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(0个交点，一个交点，个交点，一个交点，一个交点或两个交点一个交点或两个交点)直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点思考：如何通过研究方程判断思考：如何通

4、过研究方程判断直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系消去 ，得22222222y = kx+ my = kx+ my:y:xyxy-=1-=1abab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为二次项系数为0时，时，L与双曲线的渐近线平行与双曲线的渐近线平行或重合。或重合。重合：无交点；重合：无交点；平行：有一个交点。平行：有一个交点。2.二次项系数不为二次项系数不为0时时,上式为一元二次方程上式为一元二次方程, 0 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0=00相交相交相切相切相离相离相切一点相

5、切一点: =0相相 离离: 0直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系:相交两点相交两点: 0 同侧：同侧： 0 异侧异侧: 0 一点一点: 直线与渐进线平行直线与渐进线平行12xx12xx 特别特别注意注意：直线与双曲线的位置关系中：直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支两解，两解不一定同支1 0 个交点和两个交点的情况都正常个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系依然可以用判别式判断位置关系2一个交点却包括了两种位置关系一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交相切和相交 ( 特殊的相交特殊的相交 ) ,

6、那么是否意味那么是否意味着判别式等于零时着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交即可能相切也可能相交 ? 判断下列直线与双曲线之间的位置关系：判断下列直线与双曲线之间的位置关系：11169:,3:22yxcxl21169:,134:22yxcxyl相相 切切相相 交交试一下试一下:判别式情况如何判别式情况如何?一般情况的研究1:,:2222byaxcmxabyl显然显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就是相交也就是相交.把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程,看看看判别式如何看判别式如何?根本就没有判别式根本就没有判别式 ! 当直线与双曲线的渐

7、进线平行时当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直把直线方程代入双曲线方程线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程根本得不到一元二次方程 , 当然也就当然也就没有所没有所谓的判别式了谓的判别式了 。 结论：结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的位置关系判别式依然可以判断直线与双曲线的位置关系 ！例例1：如果：如果直线直线 1ykx与双曲线与双曲线 224xy仅有一个公共点，求仅有一个公共点，求 k的取值范围的取值范围 即即 解：解： 由由 2214ykxxy得得 2250 xkx21-k方程只有一解方程只有一解 当当 012k1k时，方程只有一解时，

8、方程只有一解当当 012k时，应满足时，应满足 解得解得 0)1 (20422kk25k 故故 251 ，的值为k题型一：直线与双曲线的位置关系题型一：直线与双曲线的位置关系55,122kk 且引申引申1：如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4没有公共点，求没有公共点，求k的取值范围的取值范围解：由 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解y=kx-1x2-y2=41-k20=4k2+20(1-k2)055,22k 拓展延伸拓展延伸如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求右支有两个公共点，求k的取值范围的取值范围如果直线如果

9、直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求左支有两个公共点，求k的取值范围的取值范围如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4左、右支各左、右支各1个公共点，求个公共点，求k的取值范围的取值范围x1x2= - 0解：等价于4k2+20(1-k2)0 x1+x2= - 2 01-k20221k0解：等价于4k2+20(1-k2)0 x1+x2= - 2 01-k2022- k0 x1x2= - 02-1k0a-32aa且解得：解：将解：将y=ax+1代入代入3x2-y2=1又设方程的两根为又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得

10、得(3-a2)x2-2ax-2=0,原点原点O（0，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.例例3、直线、直线y-ax-1=0和曲线和曲线3x2-y2=1相交，交点为相交，交点为A、B，当，当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。为直径的圆经过坐标原点。1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 题型五：直线与双曲线相交中的垂直与对称问题题型五：直线与双曲线相交中的

11、垂直与对称问题它有两个实根，必须它有两个实根，必须,不存在。上，所以这样的在直线）不，中点（，纵坐标为的中点横坐标为：，即线段，那么的方程为：所以直线垂直，所以，与对称则直线两点关于直线）（，使得假设存在这样的实数、解：方法axyyxxxyaxyaxyxyyxyxa2132, 312*22AB412L221121),B(,A12212211练习练习.已知直线已知直线y=ax+1与双曲线与双曲线3x2-y2=1相交于相交于A、B两点两点. (1)当当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=1/

12、2 x对称，对称， 若存在，求若存在，求a； 若不存在，说明理由若不存在，说明理由.不存在。所以这样的，显然不符合上式，上，那么直线，又（，）在即：）（）（）（差得：（两式做那么有中点为（，），线段与双曲线的两个交点，直线）（解：法会更简单。和中点问题，利用点差本题涉及到直线的斜率axxyxyxaxyyxyx21212121222222212211,1313AB1),B(,A22yx.LC :1A,B35例例已已知知直直线线与与双双曲曲线线相相交交于于两两点点. .与与双双曲曲线线的的渐渐近近线线相相交交于于C C, ,D D两两点点, , 求求证证: :| |A AC C| |= =| |B

13、 BD D| | 分析：只需证明线段分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。的中点重合即可。证明证明: (1)若若L有斜率，设有斜率，设L的方程为的方程为:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 与与相相交交于于两两点点22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b0yx035 2CD210kbL,D,5k30,xx35k 与渐近线相交于C两点与渐近线相交于C两点可可见见A AB B, ,C CD D的的中中点点横横坐坐标标都都相相同同, ,从从而而中中点点重重合合. .(2)若直线L的斜率不存在,由

14、对称性知结论亦成立.若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.题型六：证明题型六：证明1 .位置判定位置判定2.弦长公式弦长公式3.中点问题中点问题4.垂直与对称垂直与对称5.设而不求设而不求(韦达定理、点差法韦达定理、点差法)小结：小结：2 2、定义式：、定义式： edMFedMF2211|3 3、焦半径公式：、焦半径公式：焦点在焦点在X轴上：轴上：MF1| = a + ex , |MF2| = a - ex焦点在焦点在Y轴上轴上：MF1| = a + ey , |MF2| = a - ey左加右减，下加上减左加右减，下加上减例例2、.45516:)05()(的轨迹，求点的距离的比是常数的

15、距离和它到定直线，到定点，点MxlFyxM解：解：xy516xl：.F(5,0)OM（x,y）的距离，则到直线是点设lMd45|dMFd.45|516|)5(22xyx即化简得.14416922yx191622yx即.68的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点 M.)0(:)0()(2的轨迹，求点距离的比是常数的的距离和它到定直线，与定点，点MacaccaxlcFyxM解：解：xyl l.FF OM的距离，则到直线是点设lMd由题意知acdMF|d.|)(222accaxycx即化简. )()(22222222acayaxac，则设222bac12222byax方程化为)0, 0(ba.22的

16、双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点baM.双曲线的第二定义：双曲线的第二定义：(1).MFlceea动点与一个定点 的距离和它到一条定直线 的距离的比是常数，则这个点的轨迹是双曲线2222221:(0);xyabaF cxc双曲线中右焦点， ，对应的右准线方程是.)0(21caxcF对应的左准线方程是，左焦点yl l.FF OMd.x“三定三定”： 定点是焦点；定点是焦点；定直线是准线；定直线是准线；定值是离心率定值是离心率.(定点不在定直线上定点不在定直线上)F1F2xy2axc2axc 22221(0,0)xyababaaac两条准线比双曲两条准线比双曲线的顶点更接近线的顶点更接近中心中

17、心A1A2OF22axc准线方程：2axc，求证：是双曲线右支上任意点）（的焦点已知双曲线),(),0 ,(0 ,)0, 0( 100212222yxPcFcFbabyax例例2、证明：证明：，01|exaPFP说明：说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径称为双曲线的焦半径.cax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得accaxPF201|01|:|exaPF整理得：由双曲线的第一定义得0122|exaaPFPF)|(|min2acPFe其中 为双曲线的离心率.yl l.F2F1O.02|exaPFx)|(|min1caPF| |,|),(),0 ,(0 ,)0, 0( 12100

18、212222PFPFyxPcFcFbabyax，求是双曲线左支上任意点）（的焦点已知双曲线练习练习证明：证明：Pcax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得acxcaPF021|01|:|exaPF整理得：由双曲线的第一定义得0122|exaaPFPFyl l.F2F1O.xF1F2xy（二）（二）M2位于双曲线左支位于双曲线左支),(111yxM1 11|M Fexa121|M Fexa222(,)Mx y（一）（一）M1位于双曲线右支位于双曲线右支2 12|M Fexa222|M Fexa 焦半径公式：焦半径公式：O思考：焦点在思考：焦点在y轴上呢？轴上呢？(x, y 互换互换).两准线

19、间的距离：两准线间的距离：.准线方程：准线方程：c ca ac ca ax x2 22 2y或c c2 2a ad d2 2.焦准距：焦点到对应准线的距离焦准距：焦点到对应准线的距离c cb bd d2 24.双曲线的焦半径公式：双曲线的焦半径公式：点点M(x,y)在左支上时：在左支上时： |MF1|aex， |MF2|=aex点点M(x,y)在右支上时：在右支上时： |MF1|aex， |MF2|=aex常用结论常用结论:).0,(),0,(21cFcF 设双曲线设双曲线 的焦点为：的焦点为：0 0) )b b1 1( (a ab by ya ax x2 22 22 22 2 ,05、通经：

20、过焦点垂直与实轴的弦、通经：过焦点垂直与实轴的弦课堂练习课堂练习的两准线间的距离等于的两准线间的距离等于( )( )2 2、双曲线、双曲线13422xy的焦点坐标、的焦点坐标、准线方程准线方程1 1、求双曲线、求双曲线191622yx和离心率，并用第二定义描述该双曲线。和离心率，并用第二定义描述该双曲线。516x准线方程)0 , 5(F焦点坐标45e离心率（A） （B） （C） （D）77677858516B3、若改为求若改为求P到左准线的距离，答案如何？有几种解法？到左准线的距离，答案如何？有几种解法？ F1F2xycax2cax2OPPD5328108dd用椭圆的第二定义求解的一个问题，请

21、仿照用椭圆的第二定义求解的一个问题，请仿照此题，设计一个用双曲线的第二定义求解的此题，设计一个用双曲线的第二定义求解的问题，并给出解答。问题，并给出解答。)2 , 1 (A1121622yx一个问题：已知点一个问题：已知点 在椭圆在椭圆4在学习椭圆的知识时，曾解决过这样在学习椭圆的知识时，曾解决过这样)0 , 2(F内部，内部， 是椭圆的一个焦点，在椭圆上是椭圆的一个焦点，在椭圆上|2|PFPA 求一点求一点P，求，求 的最小值，这是的最小值，这是21dPF|2 PFd AFPdPd:2122结合图形得即，则比值定义得：的距离为到右准线，设点解：由题意得dPAPFPAdPFdPFdPe值。的值

22、最小，并求出最小，使得上求一点在双曲线），（）、，（例如：已知点PFPAPyxFA2113,021322d转化。中的二定义将用双曲线的第分析：本题的关键是利PFPFPA2121Pp），为：（这时最小值为：1332,2532Pcaxyo.F.A.的最小值呢？若改为求PFPA 2)21(22PFPAPFPA的最小值求右支上一点，定点是双曲线的右焦点为：已知双曲线方程为练|53|),2 , 9(,116912222MFMAAMFyxMy.F2F1O.xA得：解：由双曲线第二定义)( ,|2到右准线的距离为MdedMFdMF35|2即dMAMFMA|53|2536599)|(|2mincaxdMAA的

23、最小值。求曲线右支上一点，定点是双的右焦点为：已知双曲线方程为练习|),2 , 9(,116922222MFMAAMFyxMy.F2F1O.xA得：解：由双曲线第一定义62|21aMFMF6|12 MFMF即6|12MFMAMFMA621062146|)6|(|221min1AFMFMAxyo22221xyabMe1ca（一）双曲线第二定义：当点到一定点的距离和它到一定直线的距离之比是常数，这个点的轨迹是双曲线。2,()axa cc（二）准线方程：（三）焦半径公式的推（三）焦半径公式的推导及其应用导及其应用小小 结结F2 F1 F1F2xy（二）（二）M2位于双曲线左支位于双曲线左支),(111yxM1 11|M Fexa121|M Fexa222(,)Mx y（一）（一）M1位于双曲线右支位于双曲线右支2 12|M Fexa222|M Fexa 焦半径公式：焦半径公式：O思考：焦点在思考：焦点在y轴上呢？轴上呢？(x, y 互换互换)