3.2.2 双曲线的简单几何性质-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

双曲线的性质双曲线的性质要点一、双曲线的简单几何性质要点一、双曲线的简单几何性质1.双曲线的定义：双曲线的定义：平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数 2a(2a0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，点 P 在双曲线右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率 e 的最大值为_举一反三：举一反三：【变式 1】已知 a、b、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程 ax2bxc0 无实根，则双曲线离心率的取值范围是()A1e52 B1e2C1e3 D1e0，b0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的 3 倍，则双曲线的渐近线方程为()Ay2x By2 2x Cy24x Dy3x5与双曲线16922yx=1 有共同的渐近线，且经过点(-3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A.8 B.4 C.2 D.1 6.已知双曲线2224=1xyb（b0） ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（ ）A22443=1yx B22344=1yx C2224=1xyb D2224=11xy二、填空题二、填空题7双曲线2214xyb的离心率 e(1,2)，则 b 的取值范围是_8设直线 x3ym0(m0)与双曲线2222byax=1 (a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B若点P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是 9双曲线以椭圆221925xy的焦点为焦点，离心率是椭圆离心率的 2 倍，求双曲线的方程为 10已知F是双曲线22:18yC x 的右焦点，P 是 C 左支上一点，0,6 6A，当APF 周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题三、解答题11.设 F1，F2分别为双曲线22221xyab(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足212PFFF，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程12设双曲线2222byax=1（0a0，b0)过点( 14, 5)A，且点 A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程14已知双曲线2214xy的两个焦点分别为12FF、，点 P 在双曲线上且满足1290FPF，求12FPF的面积.15双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2且与双曲线交于 A、B 两点。(1)若 l 的倾斜角为2，F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设3b ，若 l 的斜率存在，且11()0F AFBAB ，求 l 的斜率. 双曲线的性质双曲线的性质要点一、双曲线的简单几何性质要点一、双曲线的简单几何性质1.双曲线的定义：双曲线的定义：平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数 2a(2a0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，点 P 在双曲线右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率 e 的最大值为_【解析】由|PF1|PF2|2a 及|PF1|4|PF2|得：|PF2|23a，又|PF2|ca，所以23aca，53ac ，53aec，即 e 的最大值为53.举一反三：举一反三：【变式 1】已知 a、b、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程 ax2bxc0 无实根，则双曲线离心率的取值范围是()A1e52 B1e2C1e3 D1e0，b0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的 3 倍，则双曲线的渐近线方程为()Ay2x By2 2x Cy24x Dy3x4. 【答案】 ：B【解析】 ：如图，分别过双曲线的右顶点 A，右焦点 F 作它的渐近线的垂线，B、C 分别为垂足，则OBAOCF，13OAABOFFC，13ac，2 2ba，故渐近线方程为：2 2yx .5与双曲线16922yx=1 有共同的渐近线，且经过点(-3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A.8 B.4 C.2 D.1 5. 【答案】 ：C【解析】 ：设所求方程为22916xyk,代入(-3,23)得14k , 52c ,双曲线221916xy的渐近线为43yx ，焦点5( ,0)2到渐近线43yx 的距离 d=2.6.已知双曲线2224=1xyb（b0） ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（ ）A22443=1yx B22344=1yx C2224=1xyb D2224=11xy6. 【答案】 ：D【解析】根据对称性，不妨设 A 在第一象限，A(x，y)， 22224444224xxybbbyxyb， 221612422bbxybb，故双曲线的方程为221412xy二、填空题二、填空题7双曲线2214xyb的离心率 e(1,2)，则 b 的取值范围是_7. 【答案】 ：12b0【解析】 ：b0，离心率42be(1,2)，12b0.8设直线 x3ym0(m0)与双曲线2222byax=1 (a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B若点P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是 8 【答案】 ：25【解析】双曲线的两条渐近线方程为 yabx，与直线 x3ym0 联立，可得 A(abma3，abmb3)，B(abma3，abmb3)，AB 中点坐标为(2229abma，22293abmb)，点 P(m，0)满足|PA|PB|，39093222222mabmaabmb，a2b，22bac5b，e259双曲线以椭圆221925xy的焦点为焦点，离心率是椭圆离心率的 2 倍，求双曲线的方程为 9 【答案】 ：221253944yx【解析】 ：椭圆焦点为(0，4)，离心率45cea，双曲线的离心率 e12e85，111485caa，a152，b2 1c2 1a2 11625439410已知F是双曲线22:18yC x 的右焦点，P 是 C 左支上一点，0,6 6A，当APF 周长最小时，该三角形的面积为 10. 【答案】 ：12 6【解析】2218yx ，a2=1，b2=8，c2=9，F（3，0）设左焦点为 F1（3，0） ，(0,6 6)A，当 A，P，F1三点共线时，APF 周长最小，此时( 2,2 6)P 16 (6 62 6)2 3 4 612 6APFS 三、解答题三、解答题11.设 F1，F2分别为双曲线22221xyab(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足212PFFF，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程11. 【解析】 ：过 F2作 F2APF1于 A，由题意知Error!2a，Error!2c，则Error!2b，Error!4b，而Error!Error!2a，4b2c2a，c2ba，c2(2ba)2，a2b24b24aba2，解得43ba，双曲线的渐近线方程为:43yx .12设双曲线2222byax=1（0ab）的半焦距为 c，直线l过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为43c，求双曲线的离心率. 12.【解析】 ： 由已知，l的方程为 ay+bx-ab=0, 原点到l的距离为34c，则有2234abcab, 又 c2=a2+b2, 243abc，两边平方，得 16a2(c2-a2)=3c4.两边同除以 a4并整理得 3e4-16e2+16=0，e2=4 或243e . 0a0，b0)过点( 14, 5)A，且点 A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程13.【解析】 ：双曲线22221xyab的两渐近线的方程为 bxay0.点 A 到两渐近线的距离分别为:122| 145 |badab，222| 145badab已知 d1d243，故2222|145|43baab ()又 A 在双曲线上，则14b25a2a2b2()()代入()，得 3a2b24a24b2()联立()、()解得 b22，a24.故所求双曲线方程为22142xy.14已知双曲线2214xy的两个焦点分别为12FF、，点 P 在双曲线上且满足1290FPF，求12FPF的面积.14. 解法一：解法一： 由双曲线的方程知 a=2, b=1, 5c .因此12| 22 5FFc.由于双曲线是对称图形，如图所示，设 P 点坐标为(x,142x)，由已知 F1PF2P，111F PF Pkk , 即221144155xxxx ，得2245x ，12212111|12 512425F PFxSFF 解法二：解法二：(|PF1|-|PF2|)2=4a2=16,又由勾股定理得|PF1|2+|PF1|2=(2c)2=20,|PF1|PF2|=21|PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2=21(20-16)=2, 121F PFS.15双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2且与双曲线交于 A、B 两点。(1)若 l 的倾斜角为2，F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设3b ，若 l 的斜率存在，且11()0F AFBAB ，求 l 的斜率. 15. 【解析】(1)设 A(xA，yA)由题意，F2(c，0)，222241(1)cbyb cbA，因为F1AB 是等边三角形，所以23 |cyA，即244(1)3bb，解得 b22故双曲线的渐近线方程为2yx (2)由已知，F1(-2，0)，F2(2，0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l:yk(x-2)显然 k0由2213(2)yxyk x，得2222(3)4430kxk xk因为 l 与双曲线交于两点，所以 k2-30，且36(1+k2)0设 AB 的中点为 M(xM，yM)由11()0F AFBAB 即10FMAB ，知 F1MAB，故11Fkk 而1212222263223323Fxxkkkxyk xkkkk，所以23123kkk ，得235k ，故 l 的斜率为155