第6讲 直线和圆、圆和圆的位置关系 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 6 讲 直线和圆、圆和圆的位置关系玩前必备1直线与圆的位置关系(半径为 r，圆心到直线的距离为 d)相离相切相交图形方程观点000量化几何观点drdrdr2圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1，r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|常用结论1圆的切线方程常用结论(1)过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0 xy0yr2.2圆系方程(1)同心圆系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中 a，b 是定值，r 是参数；(2)过直线 AxByC0 与圆 x2y2DxEyF0 交点的圆系方程：x2y2DxEyF(AxByC)0(R R)；(3)过圆 C1： x2y2D1xE1yF10 和圆 C2： x2y2D2xE2yF20 交点的圆系方程 ： x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(该圆系不含圆 C2，解题时，注意检验圆 C2是否满足题意，以防漏解)玩转典例题型一直线与圆的位置关系的判断 例 1(1)(一题多解)直线 l：mxy1m0 与圆 C：x2(y1)25 的位置关系是()A相交B相切C相离 D不确定(2)(2020杭州模拟)若无论实数 a 取何值时，直线 axya10 与圆 x2y22x2yb0 都相交，则实数 b 的取值范围为()A(，2) B(2，)C(，6) D(6，)(3)若圆 x2y2r2(r0)上恒有 4 个点到直线 xy20 的距离为 1，则实数 r 的取值范围是()A(21，) B(21，21)C(0，21) D(0，21)玩转跟踪 1已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是()A相切 B相交C相离 D不确定2直线 y33xm 与圆 x2y21 在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范围是()A(3，2) B(3，3)C.(33，233) D.(1，233)题型二圆的弦长问题例2(1)(2020太原模拟)若3a23b24c20， 则直线axbyc0被圆O： x2y21所截得的弦长为()A.23B1C.12 D.34(2)(2020成都模拟)已知直线 axbyc0 与圆 O： x2y21 相交于 A， B 两点， 且|AB|3， 则 OA OB 的值是()A12 B.12C43 D0玩转跟踪 1已知圆 C：(x1)2(y2)22 截 y 轴所得线段与截直线 y2xb 所得线段的长度相等，则 b_.2若点 P(1,1)为圆 x2y26x0 中弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线的方程为_，|AB|_.题型三 题型三 圆的切线问题例 3例 3已知点 P(21,22)，点 M(3,1)，圆 C：(x1)2(y2)24.(1)求过点 P 的圆 C 的切线方程；(2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长玩转跟踪1(2020杭州模拟)由直线 yx1 上的一点向圆(x3)2y21 引切线，则切线长的最小值为()A1B2C.7 D32(2020安徽马鞍山二模)在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C：(x3)2(ya)24 上存在两点 A，B 满足：AOB60，则实数 a 的最大值是()A5 B3C.7 D2 3题型四题型四 直线与部分圆的相交问题直线与部分圆的相交问题【例 4】 （2021 春浙江月考）若直线 l：yk（x+1）4 与曲线 = 1-4 2有两个交点，则 k 的取值范围是（）A(0，34)B34，1C （0，3D3，+）【玩转跟踪】1.（2020秋广安期末） 已知直线yx+a与曲线 =2 2的两个不同的交点， 则实数a的取值范围是 （）A （2，2）B （0，2）C(2，2)D2，2)2.（2020 秋芜湖期末）平面直角坐标系内，过点(2，0)的直线 l 与曲线 =1 2相交于 A、B 两点，当AOB 的面积最大时，直线 l 的斜率为（）A-33B-3C-12D-22题型五 题型五 圆与圆的位置关系例 5例 5（2021 春瑶海区月考）圆 C1：x2+y21 与圆 C2：x2+y2+k（4x+3y）10（kR，k0）的位置关系为（）A相交B相离C相切D无法确定例 6 例 6 已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 外切，则 ab 的最大值为()A.62B.32C.94 D23例 7 例 7 （2020 秋朝阳区校级月考）已知圆 C1： （xa）2+y21 和 C2：x2+y22by+b240 恰好有三条公切线，则 (-3)2+ ( 4)2的最小值（）A2B1 +2C2-2D4例 8 例 8 （2021毕节市模拟） 已知圆 C1： x2+y2kx2y0 和圆 C2： x2+y22ky20 相交， 则圆 C1和圆 C2的公共弦所在的直线恒过的定点为（）A （2，2）B （2，1）C （1，2）D （1，1）玩转跟踪1.（2021 春北海期末）已知半径为25的圆 M 与圆 x2+y25 外切于点 P（1，2） ，则点 M 的坐标为（）A （6，3）B （3，6）C （3，6）D （6，3）2如果圆 C：x2y22ax2ay2a240 与圆 O：x2y24 总相交，那么实数 a 的取值范围是_3.（2021宁江区校级三模） 圆 C1： （x2）2+（y4）29 与圆 C2： （x5）2+y216 的公切线条数为 （）A1B2C3D44已知两圆 x2y22x6y10，x2y210 x12ym0.(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)当 m45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长玩转练习1圆 x2y22x4y0 与直线 2txy22t0(tR R)的位置关系为()A相离B相切C相交 D以上都有可能2过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50 B2xy70Cx2y50 Dx2y703已知圆 C：(x3)2(y1)21 和两点 A(t,0)，B(t,0)(t0)，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则实数 t 的最小值为()A4 B3C2 D14若圆 O1：x2y25 与圆 O2：(xm)2y220 相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是()A3 B4C23 D85(多选)已知直线 x2ya0 与圆 O： x2y22 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为()A.6 B.5C6 D56(多选)已知圆 C： (x3)2(y3)272，若直线 xym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则 m()A2 B4C6 D107(2020湖南长沙月考)设直线 l：(m1)x(2m1)y3m0(mR R)与圆(x1)2y28 相交于 A，B 两点，C 为圆心，且ABC 的面积等于 4，则实数 m_.8若直线 l：ykx1 被圆 C：x2y22x30 截得的弦最短，则直线 l 的方程是_9已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：yx1 被圆 C 所截得的弦长为 22，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_10(一题两空)已知圆 C：x2y22x4y10，O 为坐标原点，动点 P 在圆 C 外，过 P 作圆 C 的切线，设切点为 M.(1)若点 P 运动到(1,3)处，则此时切线 l 的方程为_；(2)满足条件|PM|PO|的点 P 的轨迹方程为_11已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若 OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.12已知以点 C(t，2t)(tR R，t0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其中 O 为坐标原点(1)求证：OAB 的面积为定值；(2)设直线 y2x4 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|ON|，求圆 C 的方程第 6 讲 直线和圆、圆和圆的位置关系玩前必备1直线与圆的位置关系(半径为 r，圆心到直线的距离为 d)相离相切相交图形方程观点000量化几何观点drdrdr2圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1，r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|常用结论1圆的切线方程常用结论(1)过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0 xy0yr2.2圆系方程(1)同心圆系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中 a，b 是定值，r 是参数；(2)过直线 AxByC0 与圆 x2y2DxEyF0 交点的圆系方程：x2y2DxEyF(AxByC)0(R R)；(3)过圆 C1： x2y2D1xE1yF10 和圆 C2： x2y2D2xE2yF20 交点的圆系方程 ： x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(该圆系不含圆 C2，解题时，注意检验圆 C2是否满足题意，以防漏解)玩转典例题型一直线与圆的位置关系的判断 例 1(1)(一题多解)直线 l：mxy1m0 与圆 C：x2(y1)25 的位置关系是()A相交B相切C相离 D不确定(2)(2020杭州模拟)若无论实数 a 取何值时，直线 axya10 与圆 x2y22x2yb0 都相交，则实数 b 的取值范围为()A(，2) B(2，)C(，6) D(6，)(3)若圆 x2y2r2(r0)上恒有 4 个点到直线 xy20 的距离为 1，则实数 r 的取值范围是()A(21，) B(21，21)C(0，21) D(0，21)解析(1)法一：(代数法)由Error!Error!消去 y，整理得(1m2)x22m2xm250，因为 16m2200，所以直线 l 与圆相交法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d|m|m2114，点 M 在圆 C 外部当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x3，即 x30.又点 C(1,2)到直线 x30 的距离 d312r，即此时满足题意，所以直线 x3 是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为 y1k(x3)，即 kxy13k0，则圆心 C 到切线的距离 d|k213k|k21r2，解得 k34.切线方程为 y134(x3)，即 3x4y50.综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x30 或 3x4y50.|MC|312122 5，过点 M 的圆 C 的切线长为|MC|2r2541.玩转跟踪1(2020杭州模拟)由直线 yx1 上的一点向圆(x3)2y21 引切线，则切线长的最小值为()A1B2C.7 D3解析：选 C切线长的最小值是当直线 yx1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为 d|301|222，故切线长的最小值为d2r27.2(2020安徽马鞍山二模)在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C：(x3)2(ya)24 上存在两点 A，B 满足：AOB60，则实数 a 的最大值是()A5 B3C.7 D2 3解析：选 C根据题意，圆 C 的圆心为(3，a)，在直线 x3 上，分析可得：当圆心距离 x 轴的距离越远，AOB 越小如图：当 a0 时，圆心 C 在 x 轴上方，若 OA，OB 为圆的切线且AOB60，此时 a 取得最大值，此时AOC30，有|OC|2|AC|4，即(30)2(a0)216，解得 a7，故实数 a 的最大值是7，故选 C.题型四题型四 直线与部分圆的相交问题直线与部分圆的相交问题【例 4】 （2021 春浙江月考）若直线 l：yk（x+1）4 与曲线 = 1-4 2有两个交点，则 k 的取值范围是（）A(0，34)B34，1C （0，3D3，+）【解题思路】曲线 C 的方程变形可得（x1）2+y24（x1） ，则曲线 C 是以（1，0）为圆心，半径为 2的圆的左半部分，设 M（1，2） ，直线 l 恒过点 P（1，4） ，由直线与圆的位置关系，即可得出答案【解答过程】解：曲线 C 的方程为 x1-4 2，变形可得（x1）2+y24（x1） ，所以曲线 C 是以（1，0）为圆心，半径为 2 的圆的左半部分，设 M（1，2） ，直线 l 的方程为 yk（x+1）+4，恒过点 P（1，4） ，若直线 l：yk（x+1）+4 与曲线 C：y1-4 2有两个交点，所以 kkPM时，直线与半圆有 2 个交点，而 kPM=4 21 1= 3，所以 k3，所以 k 的取值范围为3，+） 故选：D【玩转跟踪】1.（2020秋广安期末） 已知直线yx+a与曲线 =2 2的两个不同的交点， 则实数a的取值范围是 （）A （2，2）B （0，2）C(2，2)D2，2)【解题思路】根据直线和圆的位置关系即可得到结论利用特殊位置进行研究即可【解答过程】解：曲线 =2 2线是以（0，0）为圆心，2为半径位于 x 轴上方的半圆当直线 l 过点 A（-2，0）时，直线 l 与曲线有两个不同的交点，此时 0 =-2+ a，解得 a =2当直线 l 与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，0）到直线 xy+a0 的距离 d =|2=2，解得 a2 或2（舍去） ，若曲线 C 和直线 l 有且仅有两个不同的交点，则直线 l 夹在两条直线之间，因此2 a2，故选：D2.（2020 秋芜湖期末）平面直角坐标系内，过点(2，0)的直线 l 与曲线 =1 2相交于 A、B 两点，当AOB 的面积最大时，直线 l 的斜率为（）A-33B-3C-12D-22【解题思路】作出图象，利用三角形面积的最值，确定AOB90，然后求出圆心到直线的距离，结合三角形的边角关系进行求解即可【解答过程】解：曲线 =1 2表示以 O 圆心半径为 1 的上半圆，则AOB 的面积 S =12|OA|OB|sinAOB =12sinAOB，要使三角形的面积最大，此时 sinAOB1，即AOB90，则|AB| =2取 AB 的中点 C，则|OC| =12AB| =22，|OD| =2，sinODC =|=222=12，则ODC30，xDA150，即直线的倾斜角为 150，则直线的斜率 ktan150 =-33，故选：A题型五 题型五 圆与圆的位置关系例 5例 5（2021 春瑶海区月考）圆 C1：x2+y21 与圆 C2：x2+y2+k（4x+3y）10（kR，k0）的位置关系为（）A相交B相离C相切D无法确定【解题思路】由两圆的方程分别求出圆心和半径，然后由两点间距离公式求出|C1C2|，与两圆半径比较即可判断【解答过程】解：圆 C1：x2+y21 的圆心 C1（0，0） ，半径 r1，圆 C2：x2+y2+k（4x+3y）10 的圆心 C2(-2，-32)，半径 R =1 +2542，因为|12| =42+942=2542，则 1 +2542125421 +1 +2542所以两圆相交故选：A例 6 例 6 已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 外切，则 ab 的最大值为()A.62B.32C.94 D23解析由圆 C1与圆 C2外切， 可得ab2222213， 即(ab)29.根据基本不等式可知 ab(ab2)294，当且仅当 ab 时等号成立，ab 的最大值为94.答案C例 7 例 7 （2020 秋朝阳区校级月考）已知圆 C1： （xa）2+y21 和 C2：x2+y22by+b240 恰好有三条公切线，则 (-3)2+ ( 4)2的最小值（）A2B1 +2C2-2D4【解题思路】根据题意，分析两圆的圆心和半径，结合两圆共切线的数目分析可得两圆外切，据此可以推到 a、b 放入关系，可得点（a，b）为圆 x2+y23 上一点，由此分析 (-3)2+ ( 4)2的几何意义，结合点与圆的位置关系可得答案【解答过程】解：根据题意，圆 C1： （xa）2+y21，圆心为（a，0） ，半径 R1，圆 C2：x2+y22by+b240，即 x2+（yb）24，其圆心 C2， （0，b） ，半径 r2，若两个圆恰好有三条公切线，则两圆外切，则有（a0）2+（0b）2a2+b2（2+1）29，则点（a，b）为圆 x2+y23 上一点，(-3)2+ ( 4)2的几何意义为圆 x2+y23 上一点和点（3，4）之间的距离，其最小值为32+ 42 3532，故选：A例 8 例 8 （2021毕节市模拟） 已知圆 C1： x2+y2kx2y0 和圆 C2： x2+y22ky20 相交， 则圆 C1和圆 C2的公共弦所在的直线恒过的定点为（）A （2，2）B （2，1）C （1，2）D （1，1）【解题思路】根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案【解答过程】解：根据题意，圆 C1：x2+y2kx2y0 和圆 C2：x2+y22ky20 相交，则2+ 2 2 = 02+ 2 2 2 = 0，则圆 C1和圆 C2的公共弦所在的直线为 kx2ky+2y20，变形可得 k（x2y）2（y1） ，则有-2 = 0 1 = 0，则有 = 2 = 1，即两圆公共弦所在的直线恒过的定点为（2，1） ，故选：B玩转跟踪1.（2021 春北海期末）已知半径为25的圆 M 与圆 x2+y25 外切于点 P（1，2） ，则点 M 的坐标为（）A （6，3）B （3，6）C （3，6）D （6，3）【解题思路】根据题意设出点 M 的坐标为（a，b） ，由两圆外切列方程组，求解即可【解答过程】解：设圆 M 的圆心坐标为 M（a，b） ，因为圆 x2+y25 的圆心为 O（0，0） ，半径 r =5，由圆 M 与圆 x2+y25 外切于点 P（1，2） ，得 M、P、O 三点共线且|OM|35，即 0 0=2 01 02+2= (25+5)2，解得 = 3 = 6或 =-3 = 6（不合题意，舍去） ；所以点 M 的坐标为（3，6） 故选：B2如果圆 C：x2y22ax2ay2a240 与圆 O：x2y24 总相交，那么实数 a 的取值范围是_解析：圆 C 的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为 2.依题意得 0a2a24，0|a|22.a(22，0)(0,22)答案：(22，0)(0,22)3.（2021宁江区校级三模） 圆 C1： （x2）2+（y4）29 与圆 C2： （x5）2+y216 的公切线条数为 （）A1B2C3D4【解题思路】根据题意，求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分析可得两圆相交，由此分析可得答案【解答过程】解：根据题意，圆 C1： （x2）2+（y4）29，其圆心为（2，4） ，半径 R3，圆 C2： （x5）2+y216，其圆心为（5，0） ，半径 r4，圆心距|C1C2| =9 + 16= 5，则有 rR|C1C2|r+R，两圆相交，则两圆有 2 条共切线；故选：B4已知两圆 x2y22x6y10，x2y210 x12ym0.(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)当 m45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解：因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11， 61m，(1)当两圆外切时，由5126321161m，得 m251011.(2)当两圆内切时， 因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离 5， 所以61m115， 解得 m251011.(3)由(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，得两圆的公共弦所在直线的方程为 4x3y230.故两圆的公共弦的长为 2112(|43 323|4232)227.玩转练习1圆 x2y22x4y0 与直线 2txy22t0(tR R)的位置关系为()A相离B相切C相交 D以上都有可能解析：选 C直线 2txy22t0 恒过点(1，2)，12(2)2214(2)50，点(1，2)在圆 x2y22x4y0 内部，直线 2txy22t0 与圆 x2y22x4y0 相交2过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50 B2xy70Cx2y50 Dx2y70解析：选 B由题意，过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得 r25，圆的方程为(x1)2y25，则过点(3,1)的切线方程为(x1)(31)y(10)5，即 2xy70.3已知圆 C：(x3)2(y1)21 和两点 A(t,0)，B(t,0)(t0)，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则实数 t 的最小值为()A4 B3C2 D1解析 ： 选 D由APB90得， 点 P 在圆 x2y2t2上， 因此由两圆有交点得|t1|OC|t1|t1|2t11t3，即 t 的最小值为 1.4若圆 O1：x2y25 与圆 O2：(xm)2y220 相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是()A3 B4C23 D8解析 ： 选B连接O1A， O2A，由于 O1与O2在点 A 处的切线互相垂直，因此 O1AO2A，所以|O1O2|2|O1A|2|O2A|2， 即m252025， 设AB交x轴于点C.在RtO1AO2中，sinAO2O155， 在RtACO2中，|AC|AO2|sinAO2O125552， |AB|2|AC|4.故选 B.5(多选)已知直线 x2ya0 与圆 O： x2y22 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为()A.6 B.5C6 D5解析：选 BD因为直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB 为等腰直角三角形，所以 O 到直线 AB 的距离为 1，由点到直线的距离公式可得|a|12221，所以 a5，故选 B、D.6(多选)已知圆 C： (x3)2(y3)272，若直线 xym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则 m()A2 B4C6 D10解析：选 AD圆 C：(x3)2(y3)272 的圆心 C 的坐标为(3,3)，半径 r62，因为直线 xym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为 22，则有 d|6m|1122，解得 m2 或 10，故选 A、D.7(2020湖南长沙月考)设直线 l：(m1)x(2m1)y3m0(mR R)与圆(x1)2y28 相交于 A，B 两点，C 为圆心，且ABC 的面积等于 4，则实数 m_.解析 ： 设 CA，CB 的夹角为 ，圆的半径为 r.所以 SABC12r2sin 4sin 4，得 2.易知圆心 C 到直线 l的距离为 2，所以|4m1|m122m122，解得 m12或72.答案：12或728若直线 l：ykx1 被圆 C：x2y22x30 截得的弦最短，则直线 l 的方程是_解析：依题意，直线 l：ykx1 过定点 P(0,1)圆 C：x2y22x30 化为标准方程为(x1)2y24.故圆心为 C(1,0)，半径为 r2.则易知定点 P(0,1)在圆内由圆的性质可知当 PCl 时，直线 l： ykx1 被圆C： x2y22x30 截得的弦最短因为 kPC10011，所以直线 l 的斜率 k1，即直线 l 的方程是 xy10.答案：xy109已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：yx1 被圆 C 所截得的弦长为 22，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_解析：由题意，设所求的直线方程为 xym0，圆心坐标为(a,0)(a0)，则由题意知(|a1|2)22(a1)2，解得 a3 或1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以 30m0，解得 m3，故所求的直线方程为 xy30.答案：xy3010(一题两空)已知圆 C：x2y22x4y10，O 为坐标原点，动点 P 在圆 C 外，过 P 作圆 C 的切线，设切点为 M.(1)若点 P 运动到(1,3)处，则此时切线 l 的方程为_；(2)满足条件|PM|PO|的点 P 的轨迹方程为_解析：把圆 C 的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为 C(1,2)，半径 r2.(1)当 l 的斜率不存在时，此时 l 的方程为 x1，C 到 l 的距离 d2r，满足条件当 l 的斜率存在时，设斜率为 k，当 l 的方程为 y3k(x1)，即 kxy3k0，则|k23k|1k22，解得 k34.l 的方程为 y334(x1)，即 3x4y150.综上，满足条件的切线 l 的方程为 x1 或 3x4y150.(2)设 P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24，|PO|2x2y2，|PM|PO|，(x1)2(y2)24x2y2，整理，得 2x4y10，点 P 的轨迹方程为 2x4y10.答案：(1)x1 或 3x4y150(2)2x4y1011已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若 OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设可知直线 l 的方程为 ykx1.因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31|1k21.解得473k473.所以 k 的取值范围为(473，473).(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以 x1x241k1k2，x1x271k2.OM ON x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k1k1k28.由题设可得4k1k1k2812，解得 k1，所以直线 l 的方程为 yx1.故圆心 C 在直线 l 上，所以|MN|2.12已知以点 C(t，2t)(tR R，t0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其中 O 为坐标原点(1)求证：OAB 的面积为定值；(2)设直线 y2x4 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|ON|，求圆 C 的方程解：(1)证明：由题意知圆 C 过原点 O，半径 r|OC|.|OC|2t24t2，设圆 C 的方程为(xt)2(y2t)2t24t2.令 y0，得 x10，x22t，则 A(2t,0)令 x0，得 y10，y24t，则 B(0，4t).SOAB12|OA|OB|12|4t|2t|4，即OAB 的面积为定值(2)|OM|ON|，|CM|CN|，OC 垂直平分线段 MN.kMN2，kOC12，直线 OC 的方程为 y12x.2t12t，解得 t2 或 t2.当2 时，圆心 C 的坐标为(2,1)，r|OC|5，此时圆心 C 到直线 y2x4 的距离 d155，圆 C 与直线 y2x4 不相交圆 C 的方程为(x2)2(y1)25.