3.2.3 直线与双曲线的位置关系-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系要点一、直线与双曲线的位置关系要点一、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程ykxm与双曲线的方程22221xyab(0,0)ab联立成方程组， 消元转化为关于x 或 y 的一元二次方程，其判别式为 .222222222()20ba kxa mkxa ma b若2220,ba k即bka ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220,ba k即bka ，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦设直线ykxm交双曲线22221xyab(0,0)ab于点111222( ,) ,(,),P x yP xy两点，则22121212|()()PPxxyy=22121212() 1() yyxxxx=2121|kxx同理可得121221|1| (0)PPyykk这里12|,xx12|,yy的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212|()4xxxxx x2121212|()4yyyyy y双曲线的中点弦问题双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221xyab(0,0)ab中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率2020b xka y；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化【典型例题】【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质类型一：双曲线的方程与性质例例 1.设 F1、F2是双曲线22221xyab (a0，b0)的两个焦点，点 P 在双曲线上，若120PF PF ，且122PFPFac ，其中22cab，求双曲线的离心率举一反三：举一反三：【变式 1】 已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的 2 倍，P和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C，若1C的渐近线方程为3yx ，则2C的渐近线方程 .【变式 2】设双曲线焦点在 x 轴上，两条渐近线为 y12x，则该双曲线的离心率为()A5 B. 5 C. 52 D. 54类型二：直线与双曲线的位置关系类型二：直线与双曲线的位置关系例例 2已知双曲线 x2y2=4，直线 l：y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.举一反三：举一反三：【变式 1】过原点的直线 l 与双曲线3422yx=1 交于两点，则直线 l 的斜率取值范围是 ( )A.23,23 B.,2323,C.23,33 D.,2323,【变式 2】直线 y=x+3 与曲线41x|x|+91y2=1 的交点个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3例例 3.过点( 7,5)P与双曲线221725xy有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。举一反三：举一反三：【变式】双曲线22221xyab的右焦点到直线 x-y-1=0 的距离为22,且223ac.(1)求此双曲线的方程；(2)设直线 y=kx+m(m0)与双曲线交于不同两点 C、D，若点 A 坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数 m取值范围。类型三：双曲线的弦类型三：双曲线的弦例例 4.（1）求直线1yx被双曲线2214yx 截得的弦长；（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214yx 截得的弦中点轨迹方程.举一反三：举一反三：【变式 1】垂直于直线23 0 xy 的直线l被双曲线221205xy截得的弦长为4 53，求直线l的方程【变式 2】双曲线122 yx的一弦中点为（2，1） ，则此弦所在的直线方程为（ ）A.12 xy B.22 xy C.32 xy D.32 xy【变式 3】双曲线 C 的一条渐近线方程是：x2y=0，且曲线 C 过点(2 2,1).（1）求双曲线 C 的方程；（2）设曲线 C 的左、右顶点分别是 A1、A2，P 为曲线 C 上任意一点，PA1、PA2分别与直线 l：x=1 交于 M、N，求|MN|的最小值。类型四：双曲线的综合问题类型四：双曲线的综合问题例例 5.已知点 M(2，0)，N(2，0)，动点 P 满足条件|PM|PN|=22，动点 P 的轨迹为 W.()求 W 的方程； ()若 A，B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB 的最小值.举一反三：举一反三：【变式 1】 一条斜率为 1 的直线l与离心率为3的双曲线22221(0,0)xyabab交于 P、Q 两点，直线l与 y 轴交于 R 点，且-3,3OP OQPRRQ ，求直线和双曲线方程.【巩固练习】【巩固练习】一、一、选择题选择题1.平面内两定点的距离为 10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为 12 的点的轨迹为()A双曲线 B线段C射线 D不存在2双曲线22215xya的一个焦点坐标为（3,0） ，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B32 C.3 D.53若实数 k 满足 0k9，则曲线kyx925221 与曲线92522ykx1 的()A焦距相等 B实半轴长相等 C虚半轴长相等 D离心率相等4. 已知双曲线的两个焦点为 F1(5，0)、F2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且 PF1PF2，|PF1|PF2|2，则该双曲线的方程是()A.22123xy B.22132xy C.2214xy D2214yx 5已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为（ ）A5 B2 C3 D26.双曲线的虚轴长为 4，离心率 e62，F1、F2分别为它的左、右焦点，若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于()A82 B42 C22 D8二、填空题二、填空题7已知双曲线221124xy的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是_8过点 P(3,0)的直线 l 与双曲线 4x29y236 只有一个公共点，则这样的直线 l 共有_条9已知双曲线22221xyab (a0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，点 P 在双曲线右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率 e 的最大值为_10设一个圆的圆心在双曲线221916yx的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点 O 到该圆圆心的距离是_三、解答题三、解答题11设双曲线 C：1:)0( 1222yxlayax与直线相交于两个不同的点 A、B，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.12设双曲线2222byax=1（0a0，b0)的两个焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且PF1F230，求双曲线的渐近线方程15 圆 x2y24 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形， 当该三角形面积最小时， 切点为 P(如图)，双曲线 C1：2222byax1 过点 P 且离心率为3()求 C1的方程；()若椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点，直线 l 过 C2的右焦点且与 C2交于 A，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系要点一、直线与双曲线的位置关系要点一、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程ykxm与双曲线的方程22221xyab(0,0)ab联立成方程组， 消元转化为关于x 或 y 的一元二次方程，其判别式为 .222222222()20ba kxa mkxa ma b若2220,ba k即bka ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220,ba k即bka ，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦设直线ykxm交双曲线22221xyab(0,0)ab于点111222( ,) ,(,),P x yP xy两点，则22121212|()()PPxxyy=22121212() 1() yyxxxx=2121|kxx同理可得121221|1| (0)PPyykk这里12|,xx12|,yy的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212|()4xxxxx x2121212|()4yyyyy y双曲线的中点弦问题双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221xyab(0,0)ab中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率2020b xka y；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化【典型例题】【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质类型一：双曲线的方程与性质例例 1.设 F1、F2是双曲线22221xyab (a0，b0)的两个焦点，点 P 在双曲线上，若120PF PF ，且122PFPFac ，其中22cab，求双曲线的离心率【解析】由双曲线定义知，|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，又|PF1|2|PF2|24c2，|PF1|PF2|2b2，又122PFPFac ，2ac2b2，b2c2a2ac，e2e10，e152，即双曲线的离心率为152.举一反三：举一反三：【变式 1】已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的 2 倍，P和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C，若1C的渐近线方程为3yx ，则2C的渐近线方程 .【答案】32yx 【解析】设点P和Q的坐标为, x y、00,xy，则有002xxyy又因为1C的渐近线方程为3yx ，故设1C的方程为223xy，把P点坐标代入， 可得220034xy， 令0，320 xy即为曲线2C的渐近线方程， 即32yx 【变式 2】设双曲线焦点在 x 轴上，两条渐近线为 y12x，则该双曲线的离心率为()A5 B. 5 C. 52 D. 54【答案】C类型二：直线与双曲线的位置关系类型二：直线与双曲线的位置关系例例 2已知双曲线 x2y2=4，直线 l：y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【解析】联立方程组4) 1(22yxxky消去 y，并依 x 聚项整理得：(1k2)x2+2k2xk24=0 (1)当 1k2=0 即 k=1 时，方程可化为 2x=5，x=25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).(2)当 1k20 时，即 k1，此时有 =4(43k2)若 43k20(k21)，则 k332, 1) 1 , 1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3)若 43k2=0(k21)，则 k=332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).(4)若 43k20，b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，点 P 在双曲线右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率 e 的最大值为_9. 答案：53解析：由|PF1|PF2|2a 及|PF1|4|PF2| 得：|PF2|23a，又|PF2|ca，所以23aca，c53a，eca53，即 e 的最大值为53.10设一个圆的圆心在双曲线221916yx的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点 O 到该圆圆心的距离是_10答案：163 解析：由已知得双曲线的上顶点为 A(0,3)，上焦点为 F(0,5)，设圆心为 P(x0，y0)，则 y03524.代入双曲线方程得2016194x，所以207 169x，故|PO|2200 xy7 16161693.三、解答题三、解答题11设双曲线 C：1:)0( 1222yxlayax与直线相交于两个不同的点 A、B，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.11.解析：由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组：. 1, 1222yxyax有两个不同的实数解.消去 y 并整理得： （1a2）x2+2a2x2a2=0. 242210.0,021.48(1)0.aaaaaaa 所以解得且双曲线的离心率：22111.021,6226(, 2)( 2,).2aeaaaaeee 且且即离心率 的取值范围为12设双曲线2222byax=1（0ab）的半焦距为 c，直线l过(a，0)，(0，b)两点.已知原点到直线l的距离为43c，求双曲线的离心率.12. 解析：由已知，l的方程为 ay+bx-ab=0, 原点到l的距离为34c，则有2234abcab, 又 c2=a2+b2, 243abc，两边平方，得 16a2(c2-a2)=3c4.两边同除以 a4并整理得 3e4-16e2+16=0，e2=4 或243e . 0a0，b0)的两个焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且PF1F230，求双曲线的渐近线方程14. 解析：在 RtF1F2P 中，PF1F230，|PF1|2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2a.|F1F2|3|PF2|，即 2c23a，c23a2.又c2a2b2，2a2b2.ba2.故所求双曲线的渐近线方程为 y2x.15 圆 x2y24 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形， 当该三角形面积最小时， 切点为 P(如图)，双曲线 C1：2222byax1 过点 P 且离心率为3()求 C1的方程；()若椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点，直线 l 过 C2的右焦点且与 C2交于 A，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程15. 解析：()设切点 P(x0，y0)，(x00，y00)，则切线的斜率为00yx，可得切线的方程为)(0000 xxyxyy，化为 x0 xy0y4 令 x0，可得04yy ；令 y0，可得04xx 围成一个三角形的面积 S000084421yxxy40020202yxyx，当且仅当200 yx时取等号，428S，此时 P)2,2(由题意可得12222ba，3122abace，解得 a21，b22 故双曲线 C1的方程为1222yx()由()可知双曲线 C1的焦点(3，0)，即为椭圆 C2的焦点可设椭圆 C2的方程为13212212bybx (b10)把 P(2,2)代入可得12322121bb，解得21b3，因此椭圆 C2的方程为13622yx由题意可设直线 l 的方程为 xmy3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立62322yxmyx，化为0332)2(22myym，221232mmyy，22123myyx1x223432)(221myym，x1x22663)(32221212mmyymyym)2,2(11yxAP，)2,2(22yxBP， BPAP，BPAP0，04)(2)(221212121yyyyxxxx，011646222mm，解得 m1263或 m（126） ，因此直线 l 的方程为：03) 1263(yx或03) 126(yx