1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直辅导讲义-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

知识点一知识点一 空间中有关垂直的向量关系空间中有关垂直的向量关系一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直知识点二知识点二 空间中垂直关系的向量表示空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线 l1的方向向量为 u(a1，a2，a3)，直线 l2的方向向量为 v(b1，b2，b3)，则 l1l2uv0a1b1a2b2a3b30线面垂直设直线 l 的方向向量是 u(a1，b1，c1)，平面 的法向量是 n(a2，b2，c2)，则 lunun(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)(R)面面垂直设平面 的法向量 n1(a1，b1，c1)，平面 的法向量 n2(a2，b2，c2)，则 n1n2 n1n20a1a2b1b2c1c20知识点三知识点三 空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为 90.(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线 l，m，n 和平面 (1)若 lm，ln，m，n，m 与 n 相交，则 l.(2)若 lm，m，则 l(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线 l，m 和平面 ，(1)若 l，l，则 .(2)若 l，m，lm，则 .(3)若平面 与 相交所成的二面角为直角，则 证明两个平面的法向量互相垂直考点一考点一 利用空间向量证明线线垂直利用空间向量证明线线垂直例例 1：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 AC 的中点求证：(1)BD1AC； (2)BD1EB1.空间直线、平面的垂直关系空间直线、平面的垂直关系知识讲解知识讲解典型例题典型例题考点二考点二 用空间向量证明线面垂直用空间向量证明线面垂直例例 2：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 B1B，DC 的中点，求证：AE平面 A1D1F. 考点三考点三 利用空间向量证明面面垂直利用空间向量证明面面垂直例例 3： 如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E 为 BB1的中点，证明 ： 平面 AEC1平面 AA1C1C. 一、选择题一、选择题1u(2，2,2)是平面 的一个法向量，v(1,2,1)是平面 的一个法向量，则下列命题正确的是()A， 平行 B， 垂直 C， 重合 D， 不垂直2设直线、2l的方向向量分别为1,2, 2a ，2,3,bm ，若12ll，则实数m等于（ ）A1B2C3D43在菱形 ABCD 中，若PA 是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是（ ）APA AB =0BPC BD =0CPC AB =0DPA CD =04已知平面内有一个点2, 1,2A，的一个法向量为3,1,2n，则下列点 P 中，在平面内的是（ ）A1, 1,1B31,3,2C31, 3,2D31,3,2同步练习同步练习5已知v为直线 l 的方向向量，1n，2n 分别为平面，的法向量( , 不重合)那么下列说法中：12/ / /nn ；12nn ；1/ / /vnl；1.vnl 正确的有（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个6已知点(0A，1，0)，( 1B ，0，1)，(2C，1，1)，(P x，0，) z，若PA 平面ABC，则点P的坐标为()A(1，0，2)B(1，0，2)C( 1，0，2)D(2，0，1)7已知 A(1,1,2)，B(1,0，1)，设 D 在直线 AB 上，且AD 2DB ，设 C1 ,31,，若 CDAB，则 的值为()A116 B116 C12 D138如图,PA 平面ABCD,四边形ABCD为正方形，E是CD的中点, F 是AD上一点，当BFPE时,:(AF FD )A1:2B1:1C3:1D2:1二、多选题二、多选题1已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB (2，1，4)，AD (4,2,0)，AP (1，2，1)对于下列结论正确的有()AAPAB BAPAD CAP 是平面 ABCD 的法向量 DAP BD 2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为 1 的正方体，给出下列结论中，正确的是()A平面 ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1)C平面 B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D平面 ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)3给出下列命题，其中是真命题的是()A若直线l的方向向量(1a ，1，2)，直线m的方向向量(2b ，1，1)2，则l与m垂直B若直线l的方向向量(0a ，1，1)，平面的法向量(1n ，1，1)，则lC若平面，的法向量分别为1(0n ，1，3)，2(1n ，0，2)，则D 若平面经过三点(1A， 0，1)，(0B， 1，0)，( 1C ， 2，0)， 向量(1n ，u，) t是平面的法向量， 则1ut 三、填空题三、填空题1若两条直线的方向向量分别是2 45a ， ，6, ,bx y ，且两条直线平行，则 x=_，y=_.2已知空间三点(0A，0，1)、( 1B ，1，1)、(1C，2，3)，若直线 AB 上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为 3 已 知(1BC ， 5 ，2)，(3CD ， 1 ，)c， 若(CAa ，b，7)，BCCD ， 且CA 平 面BCD， 则CA 4如图，矩形ABCD中，1,ABBCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQDQ，则a的值等于_.5若正三棱锥 P-ABC 侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为_.四、解答题四、解答题1如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E 是 CD 的中点.求证：CD平面 PAE.2如图，在三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且3PAPBPC，G是PAB的重心，E， F 分别为BC，PB上的点，且:1:2BE ECPF FB（1）求证：平面GEF 平面PBC；（2）求证：EG与直线PG与BC都垂直3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点（1）证明：平面 AED平面 A1FD1；（2）在 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 DAE知识点一知识点一 空间中有关垂直的向量关系空间中有关垂直的向量关系一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直知识点二知识点二 空间中垂直关系的向量表示空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线 l1的方向向量为 u(a1，a2，a3)，直线 l2的方向向量为 v(b1，b2，b3)，则 l1l2uv0a1b1a2b2a3b30线面垂直设直线 l 的方向向量是 u(a1，b1，c1)，平面 的法向量是 n(a2，b2，c2)，则 lunun(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)(R)面面垂直设平面 的法向量 n1(a1，b1，c1)，平面 的法向量 n2(a2，b2，c2)，则 n1n2 n1n20a1a2b1b2c1c20知识点三知识点三 空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为 90.(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线 l，m，n 和平面 (1)若 lm，ln，m，n，m 与 n 相交，则 l.(2)若 lm，m，则 l(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线 l，m 和平面 ，(1)若 l，l，则 .(2)若 l，m，lm，则 .(3)若平面 与 相交所成的二面角为直角，则 证明两个平面的法向量互相垂直空间直线、平面的垂直关系空间直线、平面的垂直关系知识讲解知识讲解考点一考点一 利用空间向量证明线线垂直利用空间向量证明线线垂直例例 1：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 AC 的中点求证：(1)BD1AC； (2)BD1EB1.【答案】见解析【解析】以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，则 B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(12，12，0)，B1(1,1,1)(1)BD1 (1，1,1)，AC (1,1,0)，BD1 AC (1)(1)(1)1100，BD1 AC ，即 BD1AC.(2)BD1 (1，1,1)，EB1 (12，12，1)，BD1 EB1 (1)12(1)12110，BD1 EB1 ，即 BD1EB1.考点二考点二 用空间向量证明线面垂直用空间向量证明线面垂直例例 2：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 B1B，DC 的中点，求证：AE平面 A1D1F. 【答案】见解析【解析】证明如图，以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0) ， E(1，1，12)， A1(1,0,1) ， D1(0,0,1) ， F(0，12，0)， AE (0，1，12)， A1D1 ( 1,0,0) ， D1F (0，12，1).设平面 A1D1F 的一个法向量为 n(x，y，z)，则Error!即Error!解得Error!令 z1，得 y2，则 n(0,2,1)又AE (0，1，12)，n2AE .nAE ，即 AE平面 A1D1F.典型例题典型例题考点三考点三 利用空间向量证明面面垂直利用空间向量证明面面垂直例例 3： 如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E 为 BB1的中点，证明 ： 平面 AEC1平面 AA1C1C. 【答案】见解析【解析】由题意得 AB，BC，B1B 两两垂直以 B 为原点，BA，BC，BB1分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则 A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0，0，12)，则AA1 (0,0,1)，AC (2,2,0)，AC1 (2,2,1)，AE (2，0，12).设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)则Error!Error!令 x11，得 y11.n1(1,1,0)设平面 AEC1的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)则Error!Error!令 z24，得 x21，y21.n2(1，1,4)n1n2111(1)040.n1n2，平面 AEC1平面 AA1C1C.一、选择题一、选择题1u(2，2,2)是平面 的一个法向量，v(1,2,1)是平面 的一个法向量，则下列命题正确的是()A， 平行 B， 垂直 C， 重合 D， 不垂直【答案】【答案】B【解析】uv(2，2,2)(1,2,1)2122210，uv，平面 平面 .2设直线1l、2l的方向向量分别为1,2, 2a ，2,3,bm ，若12ll，则实数m等于（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】因为12ll，所以ab，则262420a bmm ，解得2m ，故选：B.3在菱形 ABCD 中，若PA 是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是（ ）APA AB =0BPC BD =0CPC AB =0DPA CD =0【答案】C【解析】PA平面 ABCD，BDPA.又ACBD，PCBD，故选项 B 正确，选项 A 和 D 显然成立.故选 C.同步练习同步练习4已知平面内有一个点2, 1,2A，的一个法向量为3,1,2n，则下列点 P 中，在平面内的是（ ）A1, 1,1B31,3,2C31, 3,2D31,3,2【答案】B【解析】对于选项 A，PA =(1，0，1)， PA n =5，所以PA 与 n 不垂直，排除 A；同理可排除 C，D.对于选项 B，有11,-4,2 PA，所以0PA n ，因此 B 项正确.故选 B5已知v为直线 l 的方向向量，1n，2n 分别为平面，的法向量( , 不重合)那么下列说法中：12/ / /nn ；12nn ；1/ / /vnl；1.vnl 正确的有（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个【答案】B【解析】平面，不重合；平面，的法向量平行(垂直)等价于平面，平行(垂直)；正确；直线 l 的方向向量平行(垂直)于平面的法向量等价于直线 l 垂直(平行)于平面；都错误故选 B6已知点(0A，1，0)，( 1B ，0，1)，(2C，1，1)，(P x，0，) z，若PA 平面ABC，则点P的坐标为()A(1，0，2)B(1，0，2)C( 1，0，2)D(2，0，1)【答案】【答案】C【解析】点(0A，1，0)，( 1B ，0，1)，(2C，1，1)，(P x，0，) z，(PAx ，1，) z，( 1AB ，1，1)，(2AC ，0，1)，PA 平面ABC，1020PA ABxzPA ACxz ，解得1x ，2z ，点P的坐标为( 1，0，2)故选：C7已知 A(1,1,2)，B(1,0，1)，设 D 在直线 AB 上，且AD 2DB ，设 C1 ,31,，若 CDAB，则 的值为()A116 B116 C12 D13【答案】【答案】B【解析】设 D(x，y，z)，则AD (x1，y1，z2)，AB (2，1，3)，DB (1x，y，1z)，AD 2DB ，Error!Error!D(13，13，0)，CD (13，1)，CD AB ，CD AB 2(13)3(1)0，116.8如图,PA 平面ABCD,四边形ABCD为正方形，E是CD的中点, F 是AD上一点，当BFPE时,:(AF FD )A1:2B1:1C3:1D2:1【答案】【答案】B【解析】以A为坐标原点， AB ，AD， AP 所在直线分别为x，y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形ABCD的边长为 1，则(1B，0，0)，1(2E，1，0)，(0P，0，)a，设(0F，y，0)，则( 1BF ，y，0)，1(2PE ，1，)a，因为BFPE，所以102BF PEy ，解得12y ，即(0F，12，0)，所以 F 为AD的中点，所以:1:1AF FD 故选：B二、多选题二、多选题1已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB (2，1，4)，AD (4,2,0)，AP (1，2，1)对于下列结论正确的有()AAPAB BAPAD CAP 是平面 ABCD 的法向量 DAP BD 【答案】【答案】ABC【解析】由于AP AB 12(1)2(4)(1)0，AP AD 4(1)220(1)0，所以 A、B、C 正确，又BD AD AB (2,3,4)AP (1,2，1)，不满足AP BD ，D 不正确，故选 ABC.2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为 1 的正方体，给出下列结论中，正确的是()A平面 ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1)C平面 B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D平面 ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)【答案】【答案】AC【解析】AD (0,1,0)，ABAD，AA1AD，又 ABAA1A，AD平面 ABB1A1，A 正确；CD (1，0,0)，而(1,1,1)CD 10，(1,1,1)不是平面 B1CD 的法向量，B 不正确；C 中易证 AC1面 B1CD1且AC1 (1,1,1)，C 正确，D 中，因AB (1,0,0)，AB (0,1,1)0，又AD1 (0,1,1)，且(0,1,1)(0,1,1)0，D 不正确3给出下列命题，其中是真命题的是()A若直线l的方向向量(1a ，1，2)，直线m的方向向量(2b ，1，1)2，则l与m垂直B若直线l的方向向量(0a ，1，1)，平面的法向量(1n ，1，1)，则lC若平面，的法向量分别为1(0n ，1，3)，2(1n ，0，2)，则D 若平面经过三点(1A， 0，1)，(0B， 1，0)，( 1C ， 2，0)， 向量(1n ，u，) t是平面的法向量， 则1ut 【答案】【答案】AD【解析】对于A，11 21 12()02a b ，则ab，l与m垂直，故A是真命题；对于B，0 1 1 ( 1)( 1)( 1)0a n ，则an，/ /l或l，故B是假命题；对于C，1260n n ，不成立，故C是假命题；对于 D ，( 1,1,1)AB ，( 1,1,0)BC ，(1n ，u，) t是平面的法向量，1010n AButn BCu ，得1ut ，故 D 是真命题故选：AD三、填空题三、填空题1若两条直线的方向向量分别是2 45a ， ，6, ,bx y ，且两条直线平行，则 x=_，y=_.【答案】12；15 【解析】因为两条直线平行，且两条直线的方向向量分别是2 45a ， ，6, ,bx y ，所以ab.所以令ba，则( 6, , )(2,4, 5)x y，所以6245xy ，解得31215xy ，故答案为：12；152已知空间三点(0A，0，1)、( 1B ，1，1)、(1C，2，3)，若直线 AB 上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为 【答案】1(2，12，1) 【解析】设(M a，b，)c，则(AMa ，b，1)c ，( 1AB ，1，0)，M在直线 AB 上，AMAB ，a ，b，1c ，(M，1)，(1CM ，2，4)，CMAB，120CM AB ，解得12，1(2M，12，1)故答案为：1(2，12，1)3 已 知(1BC ， 5 ，2)，(3CD ， 1 ，)c， 若(CAa ，b，7)，BCCD ， 且CA 平 面BCD， 则CA 【答案】(11，5，7)【解析】(1BC ，5，2)，(3CD ，1，)c，(CAa ，b，7)，BCCD ，且CA 平面BCD，35205140370BC CDcCA BCabCA CDabc ，解得11a ，5b ，(11CA ，5，7)故答案为：(11，5，7)4如图，矩形ABCD中，1,ABBCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQDQ，则a的值等于_.【答案】2【解析】连接 AQ，取 AD 的中点 O，连接 OQPA平面 ABCD，PADQ，PQDQ，DQ平面 PAQ，所以 DQAQ点 Q 在以线段 AD 的中点 O 为圆心的圆上，又在 BC 上有且仅有一个点 Q 满足 PQDQ，BC 与圆 O 相切， （否则相交就有两点满足垂直，矛盾 ）OQBC，ADBC，OQ=AB=1，BC=AD=2，即 a=2故填 25若正三棱锥 P-ABC 侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为_.【答案】66 【解析】设高为 h，底边长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 P(0，0，h)，A3,0,03，B3 1-,062，C3133 131-,-,0 ,PA,0,-h ,PB-,-h ,PC-,-,-h6236262 ，得平面 PAB，PAC 的法向量分别为113,3,3,-3,hh ，则 3-9+21h=0，解得 h=66.故高与底面边长之比为66.四、解答题四、解答题1如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E 是 CD 的中点.求证：CD平面 PAE.【答案】见解析【解析】证明：如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设 PA=h，则 A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h).易知CD =(-4，2，0)，AE =(2，4，0)，AP =(0，0，h).CD AE =-8+8+0=0，CD AP =0，CDAE，CDAP.APAE=A，CD平面 PAE.2如图，在三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且3PAPBPC，G是PAB的重心，E， F 分别为BC，PB上的点，且:1:2BE ECPF FB（1）求证：平面GEF 平面PBC；（2）求证：EG与直线PG与BC都垂直【答案】见解析【解析】 （1）证明 ： 如图，以三棱雉的顶点P为坐标原点，以PA，PB，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则(0P，0，0)，(3A，0，0)，(0B，3，0)，(0C，0，3)，(0E，2，1)，(0F，1，0)，(1G，1，0)，于是(0, 1, 1),(1, 1, 1)EFEC ，设平面GEF 的一个法向量是( , , )nx y z，则nEFnEG ，00yzxyz ，可取(0,1, 1)n ，显然(3,0,0)PA 是平面PBC 的一个法向量，0n PA 又，nPA ，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直， 平面GEF 平面PBC（2）证明：由（1）知(1, 1, 1),(1,1,0),(0, 3,3)EGPGBC ，0,0EG PGEG BC ，EGPG，EGBC3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点（1）证明：平面 AED平面 A1FD1；（2）在 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 DAE【答案】见解析【解析】 （1）证明：建立空间直角坐标系 D-xyz，不妨设正方体的棱长为 2，则 A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2).设平面 AED 的法向量为 n1=(x1，y1，z1)，则11111111( ,) (2,0,0)0,( ,) (2,2,1)0,n DAx y zn DEx y z 2x1=0，2x1+2y1+z1=0.令 y1=1，得 n1=(0，1，-2).同理可得平面 A1FD1的法向量 n2=(0，2，1).因为 n1n2=0，所以平面 AED平面 A1FD1.（2）因为点 M 在直线 AE 上，所以可设AM =AE =(0，2，1)=(0，2，)，可得 M(2，2，)，于是1AM=(0，2，-2)，要使 A1M平面 DAE，需有 A1MAE，所以1AM AE =(0，2，-2)(0，2，1)=5-2=0，得 =25.故当 AM=25AE 时，A1M平面 DAE.