期末综合测试（二）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

选择性必修一 期末综合测试（二）选择性必修一 期末综合测试（二）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1双曲线22132xy的焦点坐标是（ ）A(0, 1)B( 1,0)C(0,5)D(5,0)2圆22(1)3xy的圆心坐标和半径分别是（ ）A(-1，0)，3B(1，0)，3C1,0 , 3D1,0 , 33已知空间三点2,0,8A ，,P m m m，4, 4,6B，若向量PA 与PB 的夹角为 60，则实数m （ ）A1B2C1D24. 已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线过点2, 3，且双曲线的一个焦点在抛物线24 7yx的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. 2212128xyB. 2212821xyC. 22134xyD. 22143xy5. 如图图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知2BC ，AC4，在ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（ ）A. 49B. 29C. 59D. 126. 已知点 P 为双曲线22221(0,0)xyabab右支上一点，点 F1，F2分别为双曲线的左右焦点， 点 I 是PF1F2的内心 （三角形内切圆的圆心） ， 若恒有121222IPFIPFIF FSSS成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A. （1，2）B. （1，22）C. （1，22D. （1，27已知点( , )P x y在直线23xy上移动，当24xy取得最小值时，过点( , )P x y引圆22111()()242xy的切线，则此切线段的长度为 ( )A62B32C12D328已知点P为双曲线22221(0,0)xyabab右支上一点，12,F F分别为双曲线的左右焦点，点I为12PFF的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有121 212IPFIPFIF FSSS成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A(1,2B(1,2)C(0,2D(2,3二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9.已知平面上一点 M(5,0),若直线上存在点 P 使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是()A.y=x+1B.y=2 C.y=43x D.y=2x+110 给定下列四条曲线中， 与直线 xy50 仅有一个公共点的曲线是()Ax2y252Bx29y241Cx22y221Dy245x11正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点则（ ）A直线 D1D 与直线 AF 垂直B直线 A1G 与平面 AEF 平行C平面 AEF 截正方体所得的截面面积为98D点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等12P为椭圆1C：22143xy上的动点，过P作1C切线交圆2C：2212xy于M，N，过M，N作2C切线交于Q，则（ ）AOPQS的最大值为32BOPQS的最大值为33CQ的轨迹是2213648xyDQ的轨迹是2214836xy三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13. 抛物线22yx的准线方程为_14若曲线21:22Cyxx与曲线2:(2)()0Cyykxk有四个不同的交点,则实数k的取值范围是_.15 九章算术第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体 ABCDFE，如图，四边形 ABCD，ABEF 均为等腰梯形，/ABCDEF，平面ABCD 平面 ABEF，梯形 ABCD，梯形 ABEF 的高分别为 3，7，且6AB ，10CD ，8EF ，则AD BF _.16如图，抛物线2:20C ypx p的焦点为F，准线0l与x轴交于点M，过M点且斜率为k的直线l与抛物线C交于第一象限内的A，B两点，若54AMAF，则cosAFB_.四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17. （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为 6，焦距为 4 的椭圆标准方程；（2）求与双曲线22916xy-=1 有共同的渐近线，且过点3,2 3的双曲线标准方程.18. 已知命题p:xR ，2xxm0，命题:q实数m满足：方程22xy1m 14m表示双曲线 (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围19.如图，在几何体ABCDEF中， AB CD,1,60ADDCCBABC，四边形ACFE为矩形，10,FBM N分别为,EF AB的中点.(1)求证：MN平面FCB；(2)若直线AF与平面FCB所成的角为 30，求平面MAB与平面FCB夹角的余弦值.20如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是12，短轴长为2 3，椭圆的左右顶点为1A、2A.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于,A B两点，与抛物线E相交于,P Q两点，点M为PQ的中点.（1）求椭圆C和抛物线E的方程；（2）记1ABA的面积为12,SMA Q的面积为2S，若123SS，求直线l在y轴上截距的范围21如图，四梭锥EABCD中，,2AEAB ACBC BAAC，,ACAEADCD M为CD中点.（1）求证：ABEM；（2）若二面角EABD的余弦值为34，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值.22已知椭圆2222:1(0)xyEabab，它的上、下顶点分别为A、B，左、右焦点分别为1F、2F，若四边形12AFBF为正方形，且面积为 2.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l、2l，它们与椭圆E分别交于点C、D、M、N，且四边形CDMN是菱形；求证：直线1l、2l关于原点对称；求出该菱形周长的最大值. 选择性必修一 期末综合测试（二）选择性必修一 期末综合测试（二）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1双曲线22132xy的焦点坐标是（ ）A(0, 1)B( 1,0)C(0,5)D(5,0)【答案】D【分析】根据双曲线方程可得, a b，然后根据222cab可得c，最后得出结果.【详解】由题可知：双曲线的焦点在x轴上，且3,2ab，所以2225cabc所以双曲线的焦点坐标为(5,0)故选：D2圆22(1)3xy的圆心坐标和半径分别是（ ）A(-1，0)，3B(1，0)，3C1,0 , 3D1,0 , 3【答案】D【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.【详解】根据圆的标准方程可得，22(1)3xy的圆心坐标为(1,0)，半径为3，故选：D.3已知空间三点2,0,8A ，,P m m m，4, 4,6B，若向量PA 与PB 的夹角为 60，则实数m （ ）A1B2C1D2【答案】B【分析】直接由空间向量的夹角公式计算即可【详解】2,0,8A Q，,P m m m，4, 4,6B，2,8PAmmm ，4, 4,6mmBmP 由题意有22231240cos6031268 31268PA PBPA PmmBmmmm 即2231268312402mmmm，整理得2440mm，解得2m 故选：B4. 已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线过点2, 3，且双曲线的一个焦点在抛物线24 7yx的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. 2212128xyB. 2212821xyC. 22134xyD. 22143xy【答案】D【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是byxa，则23ba，抛物线24 7yx的准线是7x ，因此7c ，即2227abc，由联立解得23ab，所以双曲线方程为22143xy故选 D5. 如图图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知2BC ，AC4，在ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（ ）A. 49B. 29C. 59D. 12【答案】A【解析】设CDx，因为/DEBC，所以ADDEACCB，即424xx，解得43x ，设在ABC任取一点，则此点取自正方形DEFC的事件为A，由几何概型概率公式可得，2DFFC443( )194 22ABCSP AS .故选 A.6. 已知点 P 为双曲线22221(0,0)xyabab右支上一点，点 F1，F2分别为双曲线的左右焦点， 点 I 是PF1F2的内心 （三角形内切圆的圆心） ， 若恒有121222IPFIPFIF FSSS成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A. （1，2）B. （1，22）C. （1，22D. （1，2【答案】D【解析】设12PFF的内切圆的半径为r，则121 21212111,222IPFIPFIF FSPFr SPFr SFFr，因为121 222IPFIPFIF FSSS，所以121222PFPFFF,由双曲线的定义可知12122 ,2PFPFa FFc，所以22ac，即2ca，又由1cea，所以双曲线的离心率的取值范围是(1, 2，故选 D7已知点( , )P x y在直线23xy上移动，当24xy取得最小值时，过点( , )P x y引圆22111()()242xy的切线，则此切线段的长度为 ( )A62B32C12D32【答案】A【解析】试题分析 ： 要求解且线段的长度，只要知道圆心到点 P 的距离和圆的半径，结合勾股定理可知由于利用基本不等式及 x+2y=3 得到2x+4y22232 42 2222 2xyxyxy，当且仅当 2x=4y=22，即 x=32，y=34，所以 P（3 3,2 4） ，根据两点间的距离公式求出 P 到圆心的距离=223131()()22244且圆的半径的平方为12，然后根据勾股定理得到此切线段的长度216( 2)22，故选A.考点 ： 考查学生会利用基本不等式求函数的最值，会利用两点间的距离公式求线段长度，会利用勾股定理求直角的三角形的边长此题是一道综合题，要求学生掌握知识要全面点评：要求切线段的长度，利用直角三角形中半径已知，P 与圆心的距离未知，所以根据基本不等式求出 P 点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出即可.8已知点P为双曲线22221(0,0)xyabab右支上一点，12,F F分别为双曲线的左右焦点，点I为12PFF的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有121 212IPFIPFIF FSSS成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A(1,2B(1,2)C(0,2D(2,3【答案】A【解析】如图， 设圆I与12FF的三边12FF、1PF、2PF分别相切于点,E F G， 连接IE、IF、IG，则1212,IEFF IFPF IGPF，它们分别是1212,IFFIPFIPF的高12112211,2222IPFIPFrrSPFIFPFSPFIGPF，1 21212122IF FrSFFIEFF其中r是12PFF的内切圆的半径，因为121 212IPFIPFIF FSSS所以1212224rrrPFPFFF，两边约去2r得1212121211,22PFPFFFPFPFFF，根据双曲线定义，得12122 ,2PFPFa FFc，2ac离心率为2cea， 双曲线的离心率取值范围为1,2，故选 A.二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9.已知平面上一点 M(5,0),若直线上存在点 P 使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是()A.y=x+1B.y=2 C.y=43x D.y=2x+1【答案】BC 【解析】所给直线上的点到定点 M 距离能否取 4,可通过求各直线上的点到点 M 的最小距离,即点M到直线的距离来分析.A.因为d=5 + 12=324,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”;B.因为 d=24,故直线上不存在点到 M 距离等于 4,不是“切割型直线”.10 给定下列四条曲线中， 与直线 xy50 仅有一个公共点的曲线是()Ax2y252Bx29y241Cx22y221Dy245x【答案】ACD 【解析】A 中，圆心到直线距离 d52r.故直线与圆相切，仅有一个公共点，A 正确；B 中，由Error!得 13x218 5x90，0，直线与椭圆相交，有两个交点，B 错误；C 中，由于直线平行于双曲线的渐近线，故只有一个交点，C 正确；D 中，由Error!得 x22 5x50，这里 0.故直线与抛物线相切D 正确，故应选 ACD.11正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点则（ ）A直线 D1D 与直线 AF 垂直B直线 A1G 与平面 AEF 平行C平面 AEF 截正方体所得的截面面积为98D点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等【答案】BC【分析】对于选项 AD 可以利用反证法分析得解；对于选项 B 可以证明；对于选项 C，可以先找到截面再计算得解.【详解】根据题意，假设直线 D1D 与直线 AF 垂直，又1DDAE,AEAFA AE AF平面 AEF，所以1DD 平面 AEF,所以1DDEF,又11/DDCC,所以1CCEF,与4EFC矛盾， 所以直线 D1D 与直线 AF 不垂直，所以选项 A 错误；因为 A1GD1F，A1G平面 AEFD1，1D F 平面 AEFD1，所以 A1G平面 AEFD1，故选项 B 正确平面 AEF 截正方体所得截面为等腰梯形 AEFD1，由题得该等腰梯形的上底2,2EF 下底12AD ,腰长为52，所以梯形面积为98，故选项 C 正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故选项 D 错误故选：BC【点睛】方法点睛：对于空间几何线面位置关系命题的判断，常用的方法有： （1）举反例； （2）直接证明； （3）反证法. 要根据已知条件灵活选择方法解答.12P为椭圆1C：22143xy上的动点，过P作1C切线交圆2C：2212xy于M，N，过M，N作2C切线交于Q，则（ ）AOPQS的最大值为32BOPQS的最大值为33CQ的轨迹是2213648xyDQ的轨迹是2214836xy【答案】AC【分析】设出点,Q P的坐标，分别写出直线MN方程，根据系数相等，求得坐标之间的关系，结合几何关系，即可求得三角形OPQ得面积，结合均值不等式则面积的最大值可解；利用相关点法，即可求得动点Q的轨迹方程.【详解】根据题意，作图如下：不妨设点P的坐标为11,x y，点Q坐标为,m n，故切点MN所在直线方程为：12mxny；又点P为椭圆上的一点，故切线方程MN所在直线方程为：11143xyxy；故可得11,124 123xymn.即113 ,4mx ny不妨设直线MN交OQ于点H，故PHOQ设直线OQ方程为：0nxmy，故1122nxmyPHmn，又22OQmn，故可得三角形OPQ的面积111122SOQPHnxmy221111111111143222x yx yx yx y2222211111113121224324432xyxy，当且仅当221143xy，且2211143xy时，即221132,2xy时取得最大值.因为点P在椭圆上，故2211143xy，又113 ,4mx ny，故可得2211149316mn，整理得2213648mn.故动点Q的轨迹方程为：2213648xy.故选：AC.三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13. 抛物线22yx的准线方程为_【答案】18y 【解析】因为抛物线22yx的标准方程为：212xy，因此其准线方程为：18y .故答案为18y 【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.14若曲线21:22Cyxx与曲线2:(2)()0Cyykxk有四个不同的交点,则实数k的取值范围是_.【答案】【答案】47(, 23 ）【解析】【解析】由21:22Cyxx得22(1)(2)1(2)xyy，曲线 C1表示以( 1,2)为圆心以 1 为半径的上半圆，显然直线2y 与曲线 C1有两个交点，交点为半圆的两个端点，直线(1)ykxkk x与半圆有 2 个除端点外的交点，当直线(1)yk x经过点(0,2)时，2020 1k ，当直线(1)yk x与半圆相切时，2|22 |11kk，解得473k 或473k （舍去）所以4723k 时，直线(1)yk x与半圆有 2 个除端点外的交点，故答案为：47(, 23 ）15 九章算术第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体 ABCDFE，如图，四边形 ABCD，ABEF 均为等腰梯形，/ABCDEF，平面ABCD 平面 ABEF，梯形 ABCD，梯形 ABEF 的高分别为 3，7，且6AB ，10CD ，8EF ，则AD BF _.【答案】14【分析】过A分别作CD，EF的高，垂足分别为N，M，可证明AN，AB，AM两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出B，D，F，A的坐标，从而求出AD BF 的值即可【详解】如图示：过A分别作CD，EF的高，垂足分别为N，M，平面ABCD 平面ABEF，/ABCDEF，平面ABCD平面ABEFAB，故NA平面ABEF，故ANAB，ANAM，又AMAB，故AN，AB，AM两两垂直，以A为坐标原点，AB ，AM ，AN分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则由题意可知：(6B，0，0)，( 2D ，0，3)，( 1F ，7，0)，(0A，0，0)，故( 7BF ，7，0)，( 2AD ，0，3)，故14AD BF ，故答案为：1416如图，抛物线2:20C ypx p的焦点为F，准线0l与x轴交于点M，过M点且斜率为k的直线l与抛物线C交于第一象限内的A，B两点，若54AMAF，则cosAFB_.【答案】18【分析】过点A作0AEl，垂足为点E，抛物线的定义知AEAF，在RtAME中，利用题干条件和三角函数可得3tan4MAE ，3sin4AFN ，同理可得3sin4BFx，由coscos2AFBAFN 即可得出答案.【详解】如图所示，过点A作0AEl，垂足为点E.由抛物线的定义知AEAF，在RtAME中，54AMAF，4cos5MAE ，3tan4MAE .过点A作ANx轴，垂足为点N，则3sintan4ANEMAFAFENMAEA，同理得3sin4BFx，21coscos22sin18AFBAFNAFN .故答案为：18四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17. （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为 6，焦距为 4 的椭圆标准方程；（2）求与双曲线22916xy-=1 有共同的渐近线，且过点3,2 3的双曲线标准方程.【答案】 （1）22195xy或22195yx.； （2）224194xy.【解析】【分析】（1）分别讨论焦点在x轴上，焦点在y轴上，两种情况，根据题中条件，分别求解，即可得出结果；（2） 根据题中条件， 设双曲线标准方程为220916xym m， 点3,2 3在双曲线上， 直接代入，求出m，即可得出结果.【详解】 （1）若焦点在x轴上，可设椭圆标准方程为：222210 xyabab，由长轴长知：26a ，29a；由焦距知：24c ，22292cabb ，解得：25b ；椭圆标准方程为：22195xy；若焦点在y轴上，可设椭圆标准方程为：222210yxabab，同焦点在x轴上，可得29a ，25b ，所以椭圆方程为22195yx；综上，所求椭圆方程为22195xy或22195yx.（2）所求双曲线与双曲线22916xy-=1 有共同的渐近线，可设双曲线标准方程为220916xym m，又过点3,2 3，所以912916m，解得14m ，所以224194xy即所求.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查求双曲线的标准方程，属于基础题型.18. 已知命题p:xR ，2xxm0，命题:q实数m满足：方程22xy1m 14m表示双曲线 (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围【答案】 （1）1,4； （2）1m4【解析】【分析】(1) xR ，2xxm0恒成立，可得1 4m0 ，从而求得 m 的范围 ；(2)由“p或 q”为假命题，可得 p，q 均为假命题，求出当 q 为真命题时 m 的范围，再由交集与补集的运算求解【详解】(1)xR ，2xxm0恒成立，为14m0 ，解得1m4 ，实数 m 的取值范围是1,4；(2)“p 或 q”为假命题，p，q 均为假命题，当 q 为真命题时，则m 14m0，解得m4或m1q为假命题时，1m4由 1知，p 为假命题时1m4 从而1414mm ，即1m4实数 m 的取值范围为1m419.如图，在几何体ABCDEF中， AB CD,1,60ADDCCBABC，四边形ACFE为矩形，10,FBM N分别为,EF AB的中点.(1)求证：MN平面FCB；(2)若直线AF与平面FCB所成的角为 30，求平面MAB与平面FCB夹角的余弦值.20.答案：(1)取BC的中点Q，连接,NQ FQ，如图所示，则1,2NQAC NQACP.又1,2MFAC MFACMFNQ MFNQPP， 则 四 边 形MNQF为 平 行 四 边 形 ， 即MNFQP.FQ Q平面,FCB MN 平面FCB，MNP平面FCB.(2)由,1,60ABCD ADDCCBABCP，可得90 ,3,2ACBACAB.Q四边形ACFE为矩形，,ACBCAC平面FCB，则AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即30AFC，3FC.22210,FBFBFCCBFCBCQ，则可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，33( 3,0,0), (0,1,0),0,3 ,0, 322ABMMAuuu r，3,1, 32MB uuu r.设, ,x y zm为平面MAB的法向量，则00MAMBmmuuu ruuu r，即33023302xzxyz，取2 3x ， 则(2 3,6,1)m为平面MAB的一个法向量.又( 3,0,0)CA uu r为平面FCB的一个法向量，2 332 3cos,773|CACACA mmmuu ruu ruu r， 故平面MAB与平面FCB夹角的余弦值为2 37.20如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是12，短轴长为2 3，椭圆的左右顶点为1A、2A.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于,A B两点，与抛物线E相交于,P Q两点，点M为PQ的中点.（1）求椭圆C和抛物线E的方程；（2）记1ABA的面积为12,SMA Q的面积为2S，若123SS，求直线l在y轴上截距的范围.【答案】 （1）椭圆22:143xyC，拋物线2:4E yx； （2）66,22 .【分析】（1）依题意得到方程组，求出, a b的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；（2）设11223344:1,l xtyA x yB xyP xyQ xy，联立l与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积1S，2S，再根据123SS得到不等式，解得即可；【详解】（1）根据题意得：22222 312bceaabc，解得2a ，3b ，1c ，抛物线焦点1,0F，因此椭圆22:143xyC，拋物线2:4E yx（2）设11223344:10 ,l xtytA x yB xyP xyQ xy，联立l与椭圆221:143xtyCxy，整理得：2234690tyty，判别式：222(6 )4 3491441ttt弦长公式：22212214411134tABtyytt，所以21221318 12341tSABtt联立l与抛物线24:1yxExty，整理得：2440yty，判别式：22( 4 )44161tt 弦长公式：222341116 1PQtyytt，所以222211 11122 21PQASSPQtt，因为123SS，因此22218 13 134ttt，解得：6633t 在y轴上截距162t或162t ，因此在y轴上截距取值范围是66,22 .21如图，四梭锥EABCD中，,2AEAB ACBC BAAC，,ACAEADCD M为CD中点.（1）求证：ABEM；（2）若二面角EABD的余弦值为34，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值.【答案】 （1）证明见解析； （2）19520.【分析】（1）由2BAAC，ACBC，得3BAC，再由ACADCD，可得3BCD，从而得ABCD，再结已知条件可得,CDAM CDAE，从而由线面垂直的判定定理可得AB 平面AME，进而可得ABEM（2）由（1）知：AB 平面AME，EAM即为二面角EABD的平面角，过点M作MHEA于H，在Rt MAH中可求出MH的值，从而可求出答案 ； 或以A为原点，,AB AM为x轴，y轴，垂直平面ABCD向上方向为z轴，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】（1）2BAAC，,3ACBCBAC，又,ACADCD M为CD中点，则有3BCD，ABCD，,CDAM CDAE，AMAEAAB平面AME，EM 平面AME，所以ABEM.（2）方法一：由（1）知：AB 平面AME，EAM即为二面角EABD的平面角，所以3cos4EAM，所以13sin4EAM过点M作MHEA于H，记1ACADCD，Rt MAH中：31339sin248MHMAEAM又/ /CD面AEB，D到面AEB的距离与M到面AEB的距离相等，392195sin8205MHED方法二：以A为原点，,AB AM为x轴，y轴，垂直平面ABCD向上方向为z轴，如图建立空间直角坐标系，令2AC ，则0,0,0 ,4,0,0 ,1, 3,0ABD ；因为二面角EABD的余弦值为34，设EHAM，则313,22AHHE；所以3130,22E，则3131,;22DE又3130,4,0,022AEAB ，设平面ABE的法向量为, ,nx y z，则403130,22xyz取13y ，则0,3xz，所以0,13, 3n ，令直线DE与平面ABE所成角为，则39195sincos,2045DE nDE nDE n .由E ABDD AEBVV，得39392195;sin88205ddED22已知椭圆2222:1(0)xyEabab，它的上、下顶点分别为A、B，左、右焦点分别为1F、2F，若四边形12AFBF为正方形，且面积为 2.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l、2l，它们与椭圆E分别交于点C、D、M、N，且四边形CDMN是菱形；求证：直线1l、2l关于原点对称；求出该菱形周长的最大值.【答案】 （1）22121xy； （2）证明见解析；菱形周长的最大值为4 3.【分析】（1）由已知可得关于a，b，c的方程组，求得可得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设1l的方程为1ykxm，1(C x，1)y，2(D x，2)y，设2l的方程为2ykxm，3(M x，3)y，4(N x，4)y，分别联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得|CD与|MN，由四边形CDMN是菱形，得| |CDMN，得到2212mm，进一步可得12mm ，说明直线1l，2l关于原点对称；由题意可得3131xxyy 且4242xxyy ，则11(2 ,2)MCxy ，22(2,2)MDxy ，结合四边形CDMN是菱形，得0MC ND ，由数量积的坐标运算可得2213220mk，设菱形CDMN的周长为l，得4|lCD，整理后利用基本不等式求最值【详解】（1）解：由题意可知，22222bcabca，得21a ，221bc椭圆E的标准方程为2212xy；（2）证明：设1l的方程为1ykxm，1(C x，1)y，2(D x，2)y，设2l的方程为2ykxm，3(M x，3)y，4(N x，4)y，联立12222ykxmxy，得22211(12)422kxkm xm，由222211164(12)(22)0k mkm，得221210(*)km ，112241 2kmxxk，211222212mx xk，222121212|1|1()4CDkxxkxxx x2221222112222 2124221()41121212kmkmmkkkkk；同理222222 212|112kmMNkk，四边形CDMN是菱形，| |CDMN，2212mm，又12mm，12mm ，可得直线1l，2l关于原点对称；椭圆关于原点对称，C，M关于原点对称，D，N关于原点对称，3131xxyy 且4242xxyy ，11(2 ,2)MCxy ，22(2,2)MDxy ，四边形CDMN是菱形，0MC ND ，12120 x xy y，即22121121(1)()0kx xkm xxm，222111122224(1)()01212mkmkkmmkk，化简得：2213220mk设菱形CDMN的周长为l，则222221223822148 2122134|1212kkkkmlCDkk 2221(2214)8 324 3312kkk 当且仅当22221 4kk ，即212k 时取等号，此时211m，满足(*)菱形周长的最大值为4 3