3.1.3 椭圆的综合-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

椭圆综合椭圆综合类型一：椭圆的方程与性质类型一：椭圆的方程与性质例例 1.若方程22221(1)xymm表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ）A.12m B. 12m C. 112mm且 D. 102mm且例例 2. 已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围例例 3. 已知椭圆 C：22ax22by1(ab0)的一个焦点为(5，0)，离心率为35(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程类型二：直线与椭圆的位置关系类型二：直线与椭圆的位置关系例例 4.已知椭圆1422 yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程举一反三：举一反三：【变式 1】椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，若 F 关于直线30 xy的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（ ）A.12 B.312 C.32 D.31【变式 2】已知：直线 y1-x 与椭圆 mx2+ny21 交于 M、N 两点，O 为坐标原点，（1）若点 P 为线段 MN 的中点，OP 的斜率为22，求：mn的值；（2）若 OMON，且10|2MN ，求：椭圆的方程【变式 3】 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 类型三：椭圆中的最值问题类型三：椭圆中的最值问题例例 5 如图， P 是椭圆221(0)2516xyxy上的动点， F1、 F2是椭圆的焦点， M 是F1PF2的平分线上一点，且20F M MP ，则|OM|的取值范围是_举一反三：举一反三：【变式 1】 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率23e，已知点230，P到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点到P的距离等于7的点的坐标【巩固练习】【巩固练习】一、一、选择题选择题1一个椭圆的半焦距为 2，离心率23e ，那么它的短轴长是（ ）A3 B5 C2 5 D62.椭圆221axby与直线 y=1-x 交于 A、B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为（ ）A.32 B.2 33 C.9 32 D.2 3273已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 26，cosOFA=135，则椭圆的方程是（ ）A.14416922yx=1 B.14416922xy=1C. 2514422xy=1 或14416922yx=1 D.14416922yx=1 或14416922xy=14.已知椭圆22221(0)xyabab上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点，若 AFBF，设ABF=，且 ,6 4 ，则该椭圆离心率 e 的取值范围为_ 5. 若过椭圆221164xy内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_6.设 P 是椭圆2221(1)xyaa短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ的最大值7. 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(2，0)，(2，0)，离心率是63，直线 yt 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标8已知椭圆的离心率为,点在 C 上.（I）求 C 的方程；（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.9已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB 的面积为1(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与轴交于点 N求证：|AN|BM|为定值2222:10 xyCabab222,2x10已知椭圆 C：x22y24，(1)求椭圆 C 的离心率(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB，求直线 AB 与圆 x2y22 的位置关系，并证明你的结论椭圆综合椭圆综合类型一：椭圆的方程与性质类型一：椭圆的方程与性质例例 1.若方程22221(1)xymm表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ）A.12m B. 12m C. 112mm且 D. 102mm且【答案】D【解析】由题知22(1)0,mm所以102mm且，选 D例例 2. 已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围【解析】由,35, 03, 05kkkk得53 k，且4k满足条件的k的取值范围是53 k，且4k例例 3. 已知椭圆 C：22ax22by1(ab0)的一个焦点为(5，0)，离心率为35(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程【解析】(1)依题意知355522aacba，求得 a3，b2，椭圆的方程为4922yx1(2)当过点 P 的直线斜率不存在时，P 的坐标为(3，2)时符合题意，设过点 P(x0，y0)的切线为 yk(xx0)y0，4949200222yxxkxyx1，整理得(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)24(9k24)9(y0kx0)24，(x029)k22x0y0k(y024)0，1k1k2，942020 xy1，x02y0213把点(3，2)代入亦成立，点 P 的轨迹方程为：x2y213类型二：直线与椭圆的位置关系类型二：直线与椭圆的位置关系例例 4.已知椭圆1422 yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程【解析】 （1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422 yx得 1422mxx，即012522mmxx 020161542222mmm，解得2525m（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx根据弦长公式得： 51025145211222mm解得0m因此，所求直线的方程为xy 举一反三：举一反三：【变式 1】椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，若 F 关于直线30 xy的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（ ）A.12 B.312 C.32 D.31【答案】D【解析】设( c,0)F 关于直线30y的对称点 A（m,n）,则(3)13022nmcmcn ，3,22cmnc代入椭圆方程可得22223441ccab，化简可得42840ee，31e 【变式 2】已知：直线 y1-x 与椭圆 mx2+ny21 交于 M、N 两点，O 为坐标原点，（1）若点 P 为线段 MN 的中点，OP 的斜率为22，求：mn的值；（2）若 OMON，且10|2MN ，求：椭圆的方程【答案】设令 M(x1,y1)， N(x2,y2)，把 y=1-x 代入 mx2+ny2=1 中消 y 有：(m+n)x2-2nx+n-1=0，由已知：0，122nxxmn，121nx xmn，（1）1212222()2nmyyxxmnmn, (,)nmPmn mn, 22mn（2）OMON， x1x2+y1y2=0又 y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=1mmn110mnmnmn即 m+n=2,又10|2MN ， 2212125244(1 1) ()42()2nnxxx xmnmn22445()42nnmnmnmn3212nm或1232nm， 所求为223122xy或223122yx【变式 3】 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 【答案】利用直线与椭圆相交的弦长公式求解2121xxkAB4)(1 (212212xxxxk因为6a，3b，所以33c又因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为：93 xy由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而13484)(1 (1212212212xxxxkxxkAB类型三：椭圆中的最值问题类型三：椭圆中的最值问题例例 5 如图， P 是椭圆221(0)2516xyxy上的动点， F1、 F2是椭圆的焦点， M 是F1PF2的平分线上一点，且20F M MP ，则|OM|的取值范围是_【答案】20F M MP ，2F MMP延长 F2M 交 PF1于点 N，可知PNF2为等腰三角形，且 M 为 F2M 的中点，可得 OM 是PF1F2的中位线11122211|(|)2211(|)(22|)|22OMNFPFPNPFPFaPFaPF ac|PF2|a+c，220 |3OMcab|OM|的取值范围是（0，3）举一反三：举一反三：【变式 1】 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率23e，已知点230，P到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点到P的距离等于7的点的坐标【解析】设所求椭圆的直角坐标方程是12222byax，其中0 ba待定由222222221ababaace可得2143112eab，即ba2设椭圆上的点yx，到点P的距离是d，则4931232222222yybyayxd 34213493342222byyyb其中byb如果21b，则当by时，2d（从而d）有最大值由题设得22237 b，由此得21237b，与21b矛盾因此必有21b成立，于是当21y时，2d（从而d）有最大值由题设得34722 b，可得1b，2a所求椭圆方程是11422yx由21y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点213，点213，到点230，P的距离是7【巩固练习】【巩固练习】一、一、选择题选择题1一个椭圆的半焦距为 2，离心率23e ，那么它的短轴长是（ ）A3 B5 C2 5 D61答案：C 解析： c=2，23e ，a=3，b2=a2c2=94=5，5b ，短轴长为22 5b 2.椭圆221axby与直线 y=1-x 交于 A、B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为（ ）A.32 B.2 33 C.9 32 D.2 3272. 答案：A 解析：联立椭圆方程与直线方程，得22(1)1,axbx2()210ab xbxb A（x1,y1） ，B(x2,y2)，121222,baxxyyababAB 中点坐标：(,)baab ab，AB 中点与原点连线的斜率32akb3已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 26，cosOFA=135，则椭圆的方程是（ ）A.14416922yx=1 B.14416922xy=1C. 2514422xy=1 或14416922yx=1 D.14416922yx=1 或14416922xy=13答案：D 解析：由 cosOFA=135，知 A 是短轴的端点.长轴长是 26，|FA|=13 即 a=13.13c=135，c=5，b2=132-52=122=144.椭圆的方程为14416922yx=1 或14416922xy=1.4.已知椭圆22221(0)xyabab上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点，若 AFBF，设ABF=，且 ,6 4 ，则该椭圆离心率 e 的取值范围为_ 4解析： 已知椭圆22221(0)xyabab上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，设左焦点为 N，则连接 AF，AN，BN，BF，所以四边形 AFNB 为长方形。由椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a,ABF=,则ANF=.所以 2a=2ccos+2csin，利用2112sincos2sin()4cea，,6 4 所以51242，则：213122sin()4，所以取值范围为2, 3125. 若过椭圆221164xy内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_5.解析：设弦两端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则22111164xy，22221164xy，两式相减并把 x1x24，y1y22 代入得，121212yyxx ，所求直线方程为 y112 (x2)，即 x2y406.设 P 是椭圆2221(1)xyaa短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ的最大值6.依题意可设(0,1) ,( , )PQ x y，则22|(1)PQxy，Q 在椭圆上，222(1) ,xay2222|(1)21PQayyy=222(1)21ayya =2222211(1)()111ayaaa | 1,1,2,yaa若则21| 11a当211ya时，|PQ去最大值22211aaa若12a，则1y 当时，|PQ取最大值 2.7. 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(2，0)，(2，0)，离心率是63，直线 yt 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标7.解析：(1)63ca且 c2，a3，b1.椭圆 c 的方程为2213xy.(2)由题意知点 P(0，t)(1t1)，由2213ytxy得23(1)xt ，圆 P 的半径为23(1)t，又圆 P 与 x 轴相切，2| |3(1)tt，解得32t ，故 P 点坐标为30,2.8已知椭圆的离心率为,点在 C 上.（I）求 C 的方程；（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.8 （）由题意有2222242,12abaab，解得 a2=8，b2=4，所以椭圆 C 的方程为22184xy.（）设直线 l：y=kx+b（k0，b0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（xM，yM） ，把 y=kx+b 代入22184xy得(2k2+1)x2+4kbx+2b28=0.故12222,22121MMMxxkbbxykxbkk，于是直线 OM 的斜率12MOMMykxk ，2222:10 xyCabab222,2即12OMkk ，所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.9已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB 的面积为1(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与轴交于点 N求证：|AN|BM|为定值9(1)由题意得22232112caababc，解得 a2，b1所以椭圆 C 的方程为2214xy(2)由()知，A(2，0)，B(0，1)，设 P(x0，y0)，则220044xy当 x00 时，直线 PA 的方程为00(2)2yyxx令 x0，得0022Myyx 从而002| |1|12MyBMyx直线 PB 的方程为0011yyxxx令 y0，得001Nxxy 从而00| |2|21NxANxy所以00002| |2112xyANBMyx2200000000000000000044484448842222xyx yxyx yxyx yxyx yxy当 x00 时，y0-1，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4综上，|AN|BM|为定值10已知椭圆 C：x22y24，(1)求椭圆 C 的离心率(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB，求直线 AB 与圆 x2y22 的位置关系，并证明你的结论10.解析：(1)由 x22y24，得椭圆 C 的标准方程为12422yxa24，b22，从而 c2a2b22因此 a2，c2故椭圆 C 的离心率22ace；(2)直线 AB 与圆 x2y22 相切证明如下：设点 A，B 的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中 x00OAOB，0OBOA，即 tx02y00，解得002xyt当 x0t 时，220ty，代入椭圆 C 的方程，得2t故直线 AB 的方程为2x，圆心 O 到直线 AB 的距离2d此时直线 AB 与圆 x2y22 相切当 x0t 时，直线 AB 的方程为txtxyy0022，即(y02)x(x0t)y2x0ty00圆心 O 到直线 AB 的距离2020002|2|txytyxd又002020242xytyx，故2216844422202040020202020200200 xxxxxxyyxxyxd此时直线 AB 与圆 x2y22 相切