第一章 空间向量与立体几何单元测试（二）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

第一章 空间向量与立体几何 综合测试（二）第一章 空间向量与立体几何 综合测试（二）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1向量2,4,5a ，向量1,2,btr，若ab，则实数t （ ）A52B1C2D852 （2021福建）若, a b 是平面内的两个向量，则（ ）A内任一向量pab (，R)B若存在，R 使ab0，则0C若, a b 不共线，则空间任一向量pab (，R)D若, a b 不共线，则内任一向量pab (，R)3 （2021浙江高二单元测试）已知2, ,1,21,0at tbtt，则ba的最小值是（ ）A2B3C5D64 （2020广西师范大学附属中学高三月考（理） ）两个长方形11A ACC、11B BCC组成一个60的二面角，2ACBC，11A A ，则异面直线1AC和1BC所成的角为( )A30B45C60D905ABC的顶点分别为)211 (， A、)265(， B、) 131 (，C，则AC边上的高BD的长为（ ） 。A、2B、5C、5D、66在边长为a的正三角形ABC中，BCAD 于D，沿AD折成二面角CADB后，aBC21，这时二面角CADB的大小为（ ） 。A、30B、45C、60D、907 （2020山东青岛二中高三期末（理） ）在直三棱柱111ABCABC中，1111122AAABBC，且ABBC，点 M 是11AC的中点，则异面直线MB与1AA所成角的余弦值为()A13B2 23C3 24D128 （2020浙江高三） 如图， 在长方体11112222ABC DA B C D中，12111122A AABBC，A，B，C分别是12A A，12B B，12C C的中点，记直线2D C与1AD所成的角为，平面22A BCD与平面11ABC D所成二面角为，则（ ）AcoscosBsinsinCcoscostDsinsin二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9若1, , 2a ，2, 1,1b ，a与b的夹角为120，则可以取的值为（ ）A17B17C1D110下列条件中，使点P与, ,A B C三点一定共面的是（ ）A1233PCPAPB B111333OPOAOBOC COPOAOBOC D0OPOAOBOCuu u ruuruu u ruuu rr11 （2021湖南）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P是线段1BC上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A1ACBDB1AP的最小值为62C1/ /AP平面1ACDD异面直线1AP与1AD，所成角的取值范围是,4 2 12 （2021辽宁）已知直四棱柱1111ABCDABC D，底面ABCD为矩形，2AB ，3BC ，侧棱长为3，设P为侧面11AADD所 在平面内且与D不重合的任意一点，则直线1BD与直线PD所成角的余弦值可能为（ ）A12B12C32D78三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13 （2020上海市七宝中学高二期末）已知平行六面体ABCDA B C D 中，4AB ，3AD ，5AA ，90BAD，60BAADAA ，则AC的长为_14已知向量m=(a，b，0)，n=(c，d，1)，其中 a2+b2=c2+d2=1，现有以下命题：向量n与 z 轴正方向的夹角恒为定值(即与 c，d 无关)；m n 的最大值为2；,m n (,m n 的夹角)的最大值为34；若定义sin,uvuvu v ，则m n的最大值为2.其中正确的命题有_.(写出所有正确命题的序号)15 （2020河北高二期末）已知在三棱锥PABC中，1PAABBC，2ACPB，3PC ，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是_.16 （2021新疆乌鲁木齐市）如图，边长为 1 的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点,M N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且(02).CMBNaa则下列结论：则下列结论：CNME；当12a 时，ME与CN相交；MN始终与平面BCE平行；异面直线AC与BF所成的角为45 .正确的序号是_.四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17 （2020河南高三月考（理） ）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形且2ADAB，侧面PAD 底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点.（1）证明：CE 平面 PBE ；（2）求二面角DPCB的余弦值.18如图，在直三棱柱111ABCABC中，点 D 在棱11AB上，E，F 分别是1CC，BC 的中点，11AEAB，12AAABAC（1）证明：DFAE；（2）当 D 为11AB的中点时，求平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值19 （2020江苏南通一中高二期中） 如图， 已知多面体PABCDE的底面是边长为 2 的菱形，PA 底面ABCD，/ /EDPA，且22PAED.（1）证明：/ /CE平面PAB；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45，求二面角PACE的大小.20如图所示，已知三棱锥BCDA中，BCD为等边三角形，ADAB 且90BAD，平面ABD平面BCD，其中E为AB中点，F为AD中点，N为BC上靠近B的三等分点，设平面EFN与平面BCD的交线为l。（1）证明：直线/l平面ABD；（2）若M为BD中点，求直线CM与平面EFN所成角的余弦值。21 （2021山东）在正六棱柱111111ABCDEFABC D E F中，122AAAB.（1）求BC到平面11ADC B的距离；（2）求二面角11BADE的余弦值.22 （2021江西（理） ）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/AD BC，90ADC，平面PAD 底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，2PAPD，112BCAD，3CD .（1）求证：平面MQB 平面PAD；（2）若BMPC，求直线 AP 与BM所成角的余弦值；（3）若二面角MBQC大小为60，求QM的长.第一章 空间向量与立体几何 综合测试（二）第一章 空间向量与立体几何 综合测试（二）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1向量2,4,5a ，向量1,2,btr，若ab，则实数t （ ）A52B1C2D85【答案】C【分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为向量2,4,5a ，向量1,2,btr，若ab，则2 14250a bt ，解得：2t ，故选：C.2 （2021福建）若, a b 是平面内的两个向量，则（ ）A内任一向量pab (，R)B若存在，R 使ab0，则0C若, a b 不共线，则空间任一向量pab (，R)D若, a b 不共线，则内任一向量pab (，R)【答案】D【解析】当a与b共线时，A 项不正确；当a与b是相反向量，0 时，ab0，故 B 项不正确；若a与b不共线，则与a、b共面的任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故 C 项不正确，D 项正确故选：D3 （2021浙江高二单元测试）已知2, ,1,21,0at tbtt，则ba的最小值是（ ）A2B3C5D6【答案】A【解析】由题意可知：2, ,1,21,0at tbtt所以1,1,battt ，则：222211322batttt ，当且仅当0t 时取等号即ba 的最小值是2.故选：A4 （2020广西师范大学附属中学高三月考（理） ）两个长方形11A ACC、11B BCC组成一个60的二面角，2ACBC，11A A ，则异面直线1AC和1BC所成的角为( )A30B45C60D90【答案】D【解析】如图：根据题意，60BCA，1190BCCACC ，且2ACBC，11A A ，11111ACA AACCCCA ，111BCBCCCCBCC ， 211111112202AC BCCCCACBCCCCCA CB ，11ACBC ，异面直线1AC与1BC所成的角为90.故选：D.5ABC的顶点分别为)211 (， A、)265(， B、) 131 (，C，则AC边上的高BD的长为（ ） 。A、2B、5C、5D、6【答案】C【解析】)211 (， A、)265(， B、) 131 (，C，则)054(， AB，) 340(，AC，点D在直线AC上，设)340(，ACAD，则)3544()054()340(，ABADBD，又ACBD ，则0) 3()3(4)54(04 ACBD，解得54。)512594()3544(，BD，则5)512()59()4(|222BD，故选 C。6在边长为a的正三角形ABC中，BCAD 于D，沿AD折成二面角CADB后，aBC21，这时二面角CADB的大小为（ ） 。A、30B、45C、60D、90【答案】C【解析】BDC就是二面角CADB的平面角，21212124141412cos222222aaaaaCDBDBCCDBDBDC，60BDC，故选 C。7 （2020山东青岛二中高三期末（理） ）在直三棱柱111ABCABC中，1111122AAABBC，且ABBC，点 M 是11AC的中点，则异面直线MB与1AA所成角的余弦值为()A13B2 23C3 24D12【答案】B【解析】在直三棱柱111ABCABC中，1111122AAABBC，且ABBC，点M是11AC，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，设11111222AAABBC，则11,1,22M，(0,0 0B， ），(1,0 0A， ），1(1,0 2A， ），11, 1,22MB ，1(0,0 2AA， ），设异面直线MB与1AA所成角为，则1142 2cos31824MB AAMBAA ,异面直线MB与1AA所成角的余弦值为2 23，故选 B8 （2020浙江高三） 如图， 在长方体11112222ABC DA B C D中，12111122A AABBC，A，B，C分别是12A A，12B B，12C C的中点，记直线2D C与1AD所成的角为，平面22A BCD与平面11ABC D所成二面角为，则（ ）AcoscosBsinsinCcoscostDsinsin【答案】B【解析】连接111,AB B D,如图，在长方体内知12/ /ABD C,所以11B AD为异面直线2D C与1AD所成的角为，易知11AB D为等边三角形，所以60，因为22A D 平面22ABB A,2AB 平面22ABB A，所以22A D 2AB又22ABA B，2222A DA BAI所以2AB 平面22A BCD，同理可得1BC 平面11ABC D，则2AB，1BC可分别视为平面22A BCD，平面11ABC D的一个法向量，又因为在长方体内易知21/ /ADBC，而2260D AB故2AB与1BC的夹角为60，所以60或120，即sinsin，故选：B二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9若1, , 2a ，2, 1,1b ，a与b的夹角为120，则可以取的值为（ ）A17B17C1D1【答案】BC【分析】利用模长公式代入计算表示,a b，然后利用数量积的定义与坐标表示公式代入列等式，求解关于的一元二次方程.【详解】由题意，25a，6b，所以21cos120652242 a ba b，即216170，得17或1 .故选：BC.10下列条件中，使点P与, ,A B C三点一定共面的是（ ）A1233PCPAPB B111333OPOAOBOC COPOAOBOC D0OPOAOBOCuu u ruuruu u ruuu rr【答案】AB【分析】根据四点共面的充要条件，若 A，B，C，P 四点共面(1)PCxPAyPB xyuu u ruu ruur1OPxOAyOBzOC xyzuu u ruuruu u ruuu r，对选项逐一分析，即可得到答案.【详解】对于 A：1233OCOPOAOPOBOP ，11223333OCOPOAOPOBOP ，211203333OPOPOPOAOBOC ，故1233OCOAOB ，故A、B、C共线，故P、A、B、C共面；或由1233PCPAPB 得：PA ，PB ，PC 为共面向量，故P、A、B、C共面；对于 B：1111333，故P、A、B、C共面；对于 C：由OPOAOBOC ，1 1 131 ，所以点P与A、B、C三点不共面.对于 D： 由0OPOAOBOCuu u ruuruu u ruuu rr，得OPOAOBOC uu u ruuruu u ruuu r，而1 1 131 ，所以点P与A、B、C三点不共面.故选：AB11 （2021湖南）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P是线段1BC上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A1ACBDB1AP的最小值为62C1/ /AP平面1ACDD异面直线1AP与1AD，所成角的取值范围是,4 2 【答案】ABC【解析】如图建立空间直角坐标系，则1,0,0A，0,1,0C，10,0,1D，11,0,1A，1,1,0B，10,1,1C，所以1,1,0AC ，11, 1,1BD ，10,1, 1AB ，11,0,1BC ，所以10AC BD ，所以1ACBD，故 A 正确；因为P是线段1BC上一动点，所以1BBCP 01，所以110,1, 11,0,1,1,1APBBAP ，所以21221311222AP， 当且仅当12时m1in62AP， 故 B 正确 ；设平面1ACD的法向量为, ,nx y z，则100n ACn AD ，即00 xyxz ，令1x ，则1yz，所以1,1,1n ，因为1110nPA ，即1nAP，因为1AP 平面1ACD，所以1/ /AP平面1ACD，故 C 正确；设直线1AP与1AD所成的角为，因为11/ADBC，当P在线段1BC的端点处时，3，P在线段1BC的中点时，2，所以,3 2 ，故 D 错误；故选：ABC12 （2021辽宁）已知直四棱柱1111ABCDABC D，底面ABCD为矩形，2AB ，3BC ，侧棱长为3，设P为侧面11AADD所 在平面内且与D不重合的任意一点，则直线1BD与直线PD所成角的余弦值可能为（ ）A12B12C32D78【答案】BC【解析】以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则3,2,0B，10,0,3D，则13, 2,3BD ，设点,0,P xz，则,0,DPxz .设直线1BD与直线PD所成的角为，则1122133coscos,4xzBD DPBD DPBDDPxz ，令cosxr，sinzr，其中0r ，则3 cos3 sin3sin3cos33cossin44262rrr，所以，3cos0,2. 显然，130,22，330,22.故选：BC三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13 （2020上海市七宝中学高二期末）已知平行六面体ABCDA B C D 中，4AB ，3AD ，5AA ，90BAD，60BAADAA ，则AC的长为_【答案】85【解析】如图所示：ACACCCABADAA ，故22222|ACABADAAABADAA 2()AB ADAB AAAD AA 222114352(4 3 04 53 5)8522 故AC的长等于|85AC .故答案为：8514已知向量m=(a，b，0)，n=(c，d，1)，其中 a2+b2=c2+d2=1，现有以下命题：向量n与 z 轴正方向的夹角恒为定值(即与 c，d 无关)；m n 的最大值为2；,m n (,m n 的夹角)的最大值为34；若定义sin,uvuvu v ，则m n的最大值为2.其中正确的命题有_.(写出所有正确命题的序号)【答案】【详解】取 z 轴的正方向单位向量a=(0，0，1)，则cos,n an ana =2221122211cd，因为,0,n a ，所以向量n与 z 轴正方向的夹角恒为定值4，故正确；m n =ac+bd222222221 12222acbdacbd=1，当且仅当 a=c，b=d 时取等号，因此m n 的最大值为 1，故错误；由可得m n 1，所以-1m n 1，所以cos,m nm nmn =222221acbdabcd112=22，所以,m n 的最大值是34，故正确；由可知：22cos,22m n ，所以4,m n 3242，sin,m n 1，所以sin,12 12m nmnm n ，故正确.故答案为：.15 （2020河北高二期末）已知在三棱锥PABC中，1PAABBC，2ACPB，3PC ，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是_.【答案】33【解析】在三棱锥PABC中,1,PAABBC2ACPB,3PC .222222222,ABBCACPAABPB PAACPC,ABBC PAAB PAACABACAPA 平面ABC以A为原点,在平面ABC中,过A作AC的垂线为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系如图:则22(0,0,0),022AB,(0, 2,0), (0,0,1)CP.22,0 ,(0,2, 1)22ABPC 设异面直线PC与AB所成角为,cos|AB PCABPC 222222223232200( 2)( 1)22 异面直线PC与AB所成角的余弦值为33.故答案为:33.16 （2021新疆乌鲁木齐市）如图，边长为 1 的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点,M N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且(02).CMBNaa则下列结论：则下列结论：CNME；当12a 时，ME与CN相交；MN始终与平面BCE平行；异面直线AC与BF所成的角为45 .正确的序号是_.【答案】【解析】如图建立空间坐标系，则(1A，0，0)，(0C，0，1)，(1F，1，0)，(0E，1，0)，CMBNa，(2aM，0，1)2a，(2aN，2a，0)22222211,112 +22222aaaaCNaMEaa ，显然CNME，故错误；若ME与CN相交，则四点共面，又MCE、 、在平面ACE，当且仅当N在平面ACE时，ME与CN相交，此时,22a 故错误；平面BCE的法向量为1,0,0BA ，0,122aaMN ，此时0BA MN ，MN始终与平面BCE平行，故正确；1,0,1 ,1,1,0 ,ACBF 设异面直线AC与BF所成的角为，11cos222AC BFACBF ，异面直线AC与BF所成的角为60 .故错误.故答案为：四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17 （2020河南高三月考（理） ）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形且2ADAB，侧面PAD 底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点.（1）证明：CE 平面 PBE ；（2）求二面角DPCB的余弦值.【答案】 （1）证明见解析； （2）14【解析】 （1）证明：因为侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，所以PEAD.因为侧面PAD 底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，所以PE 底面ABCD，所以PECE.因为底面ABCD为矩形且2ADAB，所以AEDEABCD.所以45AEBDEC ，则454590AEBDEC .所以90BEC，即BECE.又因为PEBEE，所以CE 平面 PBE .（2）过E作AB的平行线Ey，显然,ED EP Ey两两垂直，以E为原点建立如下图所示的空间直角坐标系，不妨设22ADAB，则点(1,0,0)D，(1,1,0)C，(0,0, 3)P，( 1,1,0)B ，所以(1,0,3)PD ，(1,1,3)PC ，( 1,1,3)PB .设平面PCB的法向量为( , , )mx y z.由3030m PBxyzm PCxyz ，得03xyz，令1z ，得平面PBC的法向量为(0, 3,1)m ；同理，设平面PCD的法向量为,nx y z.由30,30,n PDxzn PCxyz 得30 xzy ，令1z ，得平面PCD的法向量为( 3,0,1)n .设二面角DPCB的大小为，易知为钝角，则|11cos2 24|m nm n .所以二面角DPCB的余弦值为14.18如图，在直三棱柱111ABCABC中，点 D 在棱11AB上，E，F 分别是1CC，BC 的中点，11AEAB，12AAABAC（1）证明：DFAE；（2）当 D 为11AB的中点时，求平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值【答案】 （1）证明见解析； （2）1414【详解】（1）证明：在直三棱柱111ABCABC中，有111AAAB，又11AEA B，1AEAAA，11AB平面11AAC C，又11AC 平面11AAC C，1111ABACABAC，1ABAA，1ACAA如图，分别以 AC，1AA，AB 所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系Axyz，则(2,0,0)C，(0,0,2)B，(0,0,0)A，1(0,2,0)A，(1,0,1)F，(2,1,0)E设0,2(,02)Dtt ，则1,2,(1)FDtuuu r，(2,1,0)AE ，1,2,12,1(,) (0)0FD AEtuuu r uu u r，DFAE（2）当 D 为11AB的中点时，(0,2,1)D，1, 1,1()EFuu u r，( 1),2,0FDuuu r，设平面 DEF 的法向量为( , , )nx y z，则00n EFn DF ，即020 xyzxy令1y 得，(2,1,3)n ，易知平面 ABC 的法向量为(0,1,0)m ，所以222114cos,14213n mm nnmr u ru r rru r，即平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为141419 （2020江苏南通一中高二期中） 如图， 已知多面体PABCDE的底面是边长为 2 的菱形，PA 底面ABCD，/ /EDPA，且22PAED.（1）证明：/ /CE平面PAB；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45，求二面角PACE的大小.【答案】 （1）详见解析； （2）60.【解析】 （1）底面ABCD是菱形，/ABCD，因CD 平面PAB，AB平面PAB，所以CD平面PAB.同理，EDP平面PAB，EDCDDI，平面/ /CDE平面PAB，又CE 平面CDE，所以/ /CE平面PAB.（2）PA 底面ABCD，CPA即为直线PC与平面ABCD所成的角，故45PCA，Rt PAC中,2ACPA，又底面ABCD是边长为 2 的菱形，2ABACBC，取BC中点F，连AF，则 AFAD，以A为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为0,0,0 ,0,0,2AP,3, 1,0B,3,1,0C,0,2,0D,0,2,1E,PA 底面ABCD,PABD，又底面ABCD是菱形，ACBD,BD平面PAC，平面PAC的法向量取3,3,0 BD ,设平面ACE的法向量000,mxy z，则：3,1,0 ,0,2,1ACAE ,00003020m ACxym AEyz ，令01x 得1,3,2 3m ,33 31cos,22 3 4m BD ,二面角PACE的大小为60.20如图所示，已知三棱锥BCDA中，BCD为等边三角形，ADAB 且90BAD，平面ABD平面BCD，其中E为AB中点，F为AD中点，N为BC上靠近B的三等分点，设平面EFN与平面BCD的交线为l。（1）证明：直线/l平面ABD；（2）若M为BD中点，求直线CM与平面EFN所成角的余弦值。【解析】 （1）证明：设CD上靠近D的三等分点为T，连TF、TN，N为BC上靠近B的三等分点，BDTN /，又E为AB中点，F为AD中点，BDEF /，TNEF /，E、F、T、N共面，TN平面EFN，又TN平面BCD，TN为平面EFN与平面BCD的交线， TN即为直线l，又TN平面ABD，EF平面ABD，直线/l平面ABD； （2）连接AM，ADAB ，BDAM ，平面ABD平面BCD，平面ABD平面BDBCD ，AM平面ABD，AM平面BCD，又BCD为等边三角形，BDCM ， 以M为原点如图建系，设4BD，90BAD，2 BMAM，)000(，M、)0320(，C、) 101 (，E、) 101(，F、)002(，B，设)(zyxN，则BCBN31，)0322(31)2(，zyx，解得34x，332y，0z，)033234(，N，)0320(， CM、)002(，EF、) 133231(，EN， 设平面EFN的法向量为)(1111zyxn，则0011nENnEF，即033231021111zyxx，01x，设31y，则321z，故)3230(1，n， 设直线CM与平面EFN所成角的平面角为锐角，则721|cos|sin111nCMnCMnCM，772cos， 直线CM与平面EFN所成角的余弦值为772。 21 （2021山东）在正六棱柱111111ABCDEFABC D E F中，122AAAB.（1）求BC到平面11ADC B的距离；（2）求二面角11BADE的余弦值.【答案】 （1）2 5719； （2）1319.【解析】 （1）连接AE，因为六边形ABCDEF为正六边形，则120AFEDEF ，因为AFEF，则30AEF，故90AED，因为1EE 底面ABCDEF， 不妨以点E为坐标原点，EA、ED、1EE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则3,0,0A、3,1,0B、3 1,022C、0,1,0D、13,1,2B、13 1,222C、10,0,2E，在正六棱柱111111ABCDEFABC D E F中，11/BBCC且11BBCC，所以，四边形11BBC C为平行四边形，则11/BC BC，因为BC 平面11ADC B，11BC 平面11ADC B，所以，/BC平面11ADC B，所以，BC到平面11ADC B的距离等于点B到平面11ADC B的距离，设平面11ADC B的法向量为111,mx y z，3,1,0AD ，10,1,2AB ，由111113020m ADxym AByz ，取12 3y ，则2,2 3,3m ，0,1,0AB ，所以，直线BC到平面11ADC B的距离为2 32 571919AB mdm ；（2）设平面1ADE的法向量为222,nxy z，3,1,0AD ，10, 1,2DE ，由221223020n ADxyn DEyz ，取22 3y ，则2,2 3, 3n ，13cos,19m nm nmn ，由图可知，二面角11BADE为锐角，所以，二面角11BADE的余弦值为1319.22 （2021江西（理） ）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/AD BC，90ADC，平面PAD 底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，2PAPD，112BCAD，3CD .（1）求证：平面MQB 平面PAD；（2）若BMPC，求直线 AP 与BM所成角的余弦值；（3）若二面角MBQC大小为60，求QM的长.【答案】 （1）证明见解析； （2）3 4228； （3）72.【解析】 （1）Q为AD的中点，且2ADBC，则DQBC，又因为/BC AD，则/BC DQ，故四边形BCDQ为平行四边形，因为90ADC，故四边形BCDQ为矩形，所以，BQAD，平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BQ 平面ABCD，BQ平面PAD，BQ 平面MBQ，因此，平面MQB 平面PAD；（2）连接PQ，由（1）可知，BQ 平面PAD，PAPD，Q为AD的中点，则PQAD，以点Q为坐标原点，QA、QB、QP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则1,0,0A、0,0, 3P、0, 3,0B、1, 3,0C 、1,0,0D ，设 1, 3,3, 3 ,301PMPC ， 0,3, 3, 3 ,3, 33, 33BMBPPM ，因为BMPC，则3333760BM PC ，解得67，633,777BM ，1,0, 3AP ，则93 427cos,284227AP BMAP BMAPBM .因此，直线 AP 与BM所成角的余弦值为3 4228；（3）易知平面BQC的一个法向量是0,0,1n ，设 0, 3 ,0, 3, 3 , 333QMQPPM ，0, 3,0QB ，设平面MBQ的法向量为, ,mx y z ，由333030m QMxyzm QBy ，取33x，可得33 ,0,m，由题意可得221cos,23 1m nm nmn ，解得12，所以，133,222QM ，因此，72QM .