3.1.2 椭圆的简单几何性质-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

椭圆的性质椭圆的性质要点一、椭圆两个标准方程几何性质的比较要点一、椭圆两个标准方程几何性质的比较 椭圆12222byax 与 12222bxay)0( ba的区别和联系：标准方程12222byax )0( ba12222bxay )0( ba图形焦点)0 ,(1cF ，)0 ,(2cF), 0(1cF，), 0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0 ,( a，), 0(b), 0(a，)0 ,( b轴长长轴长=a2，短轴长=b2离心率) 10(eace性质准线方程左caxl21: 右caxl22:cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF要点诠释：要点诠释：椭圆22221xyab，22221yxab（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和(01)ceea，a2=b2+c2；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。要点二、椭圆的简单几何性质要点二、椭圆的简单几何性质椭圆的离心率椭圆的离心率 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：ace 2)(1abe. （10 e） 当e越接近 1 时，c 越接近 a，椭圆越扁；当e越接近 0 时，c 越接近 0，椭圆越接近圆；当且仅当 a=b 时，图形为圆，方程为222ayx如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线 L 交 OA 于 B，P、Q 在椭圆上，PDL 于 D，QFAD 于 F，设椭圆的离心率为 e，则e=PFPD；e=QFBF；e=AOBO；e=AFBA； e=FOAO评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，AO=a，OF=c，有；AO=a，BO= a2c， 有要点诠释：要点诠释：1.椭圆焦半径：椭圆焦点在 x 轴上的焦半径： （左焦半径）01exar，（右焦半径）02exar，e是离心率焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF （ 其中21,FF分别是椭圆的下上焦点）2.与椭圆12222byax)0( ba共焦点的椭圆方程可设为：12222mbymax)(2bm3.有相同离心率：kbyax2222（0k，焦点在 x 轴上）或kbxay2222（0k，焦点在 x 轴上）4.椭圆12222byax的图象中线段的几何特征（如下图） ：（1）122PFPFa，1212|PFPFePMPM，2122|aPMPMc；（2）12BFBFa，12OFOFc，2221A BABab；（3）1122AFA Fac,1221AFA Fac，caPFca1；要点三、直线与椭圆的位置关系要点三、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系将直线的方程ykxb与椭圆的方程22221xyab(0)ab联立成方程组，消元转化为关于 x 或 y 的一元二次方程，其判别式为 .0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点） ；0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）（1）弦长公式：若直线bkxyl:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),2211yxByxA（则： 弦长221221)()(yyxxAB221221)()(kxkxxx 2121xxk 2122124)(1xxxxk 弦长AB21211yyk这里12|,xx12|,yy的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212|()4xxxxx x； 2121212|()4yyyyy y（2） 结论 1： 已知弦 AB 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的一条弦， 中点 M 坐标为(x0， y0)， 则 AB 的斜率为b2x0a2y0运用点差法求 AB 的斜率，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)；A、B 都在椭圆上，Error!两式相减得：x1 2x2 2a2y1 2y2 2b20，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，即 y1y2x1x2b2x1x2a2y1y2b2x0a2y0 ，故 kABb2x0a2y0 结论 2：弦 AB 的斜率与弦中心 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值：22ab结论 3： 若 C、D 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、 右顶点， P 为椭圆上不同于 C、 D 的点， 则22abkkPDPC（3）椭圆切线的求法1）切点（00 x y）已知时，22221(0)xyabab 切线00221x xy yab 22221(0)yxabab 切线00221y yx xab2）切线斜率 k 已知时， 22221(0)xyabab 切线222ykxa kb 22221(0)yxabab 切线222ykxb ka（4）.已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示） 解：设yxP，由椭圆的对称性，不妨设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知： 221FF2221PFPF12PF224coscPF 由椭圆定义知： aPFPF221 ，则2得 cos12221bPFPF 故sin212121PFPFSPFF sincos12212b 2tan2b 【典型例题】【典型例题】类型一：椭圆的简单几何性质类型一：椭圆的简单几何性质例例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且2cos3OFA，求椭圆的方程。举一反三：举一反三：【变式 1】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点在 x 轴上，离心率为过点的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且的周长为 16，那么 C 的方程为_类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围例例 2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为32的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 10 和 4，求其离心率。举一反三：举一反三：12,F F221F2ABF【变式 1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）1331.5432ABCD【变式 2】椭圆22221xyab上一点到两焦点的距离分别为12dd、，焦距为2c，若122dcd、 、成等差数列，则椭圆的离心率为 例例 3. 设 M 为椭圆22221(0)xyabab上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若MF1F2=75，MF2F1=15，求椭圆的离心率。举一反三：举一反三：【变式 1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于 【变式 2】已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A,B 两点，连接 AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，4cos,5ABF则 C 的离心率为（ ）A. 35 B. 57 C. 45 D. 67例例 4已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194xy有相同的焦点，并且经过点（3，2） ，求此椭圆的方程。举一反三：举一反三：【变式 1】已知椭圆22221(0)xyabab，以a，b，c为系数的关于x的方程20axbxc无实根，求其离心率e的取值范围。【变式 2】已知点 F1、F2分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点，若ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ）A(0,21) B( 21,1) C(0, 31) D( 31,1)【变式 3】已知 F1（-c,0）, F2（c,0）为椭圆22221xyab的两个焦点，P 为椭圆上一点且212PF PFc ，因此椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 3,13 B. 1 1,3 2 C. 32,32 D. 20,2类型三：直线与椭圆的位置关系类型三：直线与椭圆的位置关系例例 6. 已知椭圆1222 yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程【巩固练习】【巩固练习】一、选择题选择题1已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（ ）A221144128xy B2213620 xy C2213236xy D2213632xy2若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆2215xym总有公共点，那么 m 的取值范围是（ ）A （0，5） B （0，1） C1，5 D1，5）3已知 O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点，P 为 C 上一点， 且 PFx 轴， 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M， 与 y 轴交于点 E， 若直线 BM 经过 OE的中点，则 C 的离心率为（ ）A13 B12 C23 D344设 P，Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆11022 yx上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是()A25 B246 C27 D26二、填空题二、填空题5椭圆2214xym的离心率为12，则 m=_.6若圆 x2+y2=a2（a0）与椭圆22194xy有公共点，则实数 a 的取值范围是_.7已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1，则椭圆 C 的标准方程为 8.在椭圆221369xy上有两个动点 M、N，K（2，0）为定点，若0KM KN ，则KM NM 的最小值为_三、解答题三、解答题9已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值.10.椭圆12222bxay(ab0)的两焦点为 F1（0，-c） ，F2（0，c）(c0)，离心率 e=23，焦点到椭圆上点的最短距离为 2-3，求椭圆的方程.11已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在x轴上的椭圆，过它的左焦点1F作倾斜角为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 12已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示） 13设椭圆 E 的方程为22221(0)xyabab，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a，0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为510(I)求 E 的离心率 e；()设点 C 的坐标为(0，-b)，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程.椭圆的性质椭圆的性质要点一、椭圆两个标准方程几何性质的比较要点一、椭圆两个标准方程几何性质的比较 椭圆12222byax 与 12222bxay)0( ba的区别和联系：标准方程12222byax )0( ba12222bxay )0( ba图形焦点)0 ,(1cF ，)0 ,(2cF), 0(1cF，), 0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0 ,( a，), 0(b), 0(a，)0 ,( b轴长长轴长=a2，短轴长=b2离心率) 10(eace性质准线方程左caxl21: 右caxl22:cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF要点诠释：要点诠释：椭圆22221xyab，22221yxab（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和(01)ceea，a2=b2+c2；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。要点二、椭圆的简单几何性质要点二、椭圆的简单几何性质椭圆的离心率椭圆的离心率 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：ace 2)(1abe. （10 e） 当e越接近 1 时，c 越接近 a，椭圆越扁；当e越接近 0 时，c 越接近 0，椭圆越接近圆；当且仅当 a=b 时，图形为圆，方程为222ayx如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线 L 交 OA 于 B，P、Q 在椭圆上，PDL 于 D，QFAD 于 F，设椭圆的离心率为 e，则e=PFPD；e=QFBF；e=AOBO；e=AFBA； e=FOAO评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，AO=a，OF=c，有；AO=a，BO= a2c， 有要点诠释：要点诠释：1.椭圆焦半径：椭圆焦点在 x 轴上的焦半径： （左焦半径）01exar，（右焦半径）02exar，e是离心率焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF （ 其中21,FF分别是椭圆的下上焦点）2.与椭圆12222byax)0( ba共焦点的椭圆方程可设为：12222mbymax)(2bm3.有相同离心率：kbyax2222（0k，焦点在 x 轴上）或kbxay2222（0k，焦点在 x 轴上）4.椭圆12222byax的图象中线段的几何特征（如下图） ：（1）122PFPFa，1212|PFPFePMPM，2122|aPMPMc；（2）12BFBFa，12OFOFc，2221A BABab；（3）1122AFA Fac,1221AFA Fac，caPFca1；要点三、直线与椭圆的位置关系要点三、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系将直线的方程ykxb与椭圆的方程22221xyab(0)ab联立成方程组，消元转化为关于 x 或 y 的一元二次方程，其判别式为 .0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点） ；0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）（1）弦长公式：若直线bkxyl:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),2211yxByxA（则： 弦长221221)()(yyxxAB221221)()(kxkxxx 2121xxk 2122124)(1xxxxk 弦长AB21211yyk这里12|,xx12|,yy的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212|()4xxxxx x； 2121212|()4yyyyy y（2） 结论 1： 已知弦 AB 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的一条弦， 中点 M 坐标为(x0， y0)， 则 AB 的斜率为b2x0a2y0运用点差法求 AB 的斜率，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)；A、B 都在椭圆上，Error!两式相减得：x1 2x2 2a2y1 2y2 2b20，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，即 y1y2x1x2b2x1x2a2y1y2b2x0a2y0 ，故 kABb2x0a2y0 结论 2：弦 AB 的斜率与弦中心 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值：22ab结论 3： 若 C、D 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、 右顶点， P 为椭圆上不同于 C、 D 的点， 则22abkkPDPC（3）椭圆切线的求法1）切点（00 x y）已知时，22221(0)xyabab 切线00221x xy yab 22221(0)yxabab 切线00221y yx xab2）切线斜率 k 已知时， 22221(0)xyabab 切线222ykxa kb 22221(0)yxabab 切线222ykxb ka（4）.已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示） 解：设yxP，由椭圆的对称性，不妨设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知： 221FF2221PFPF12PF224coscPF 由椭圆定义知： aPFPF221 ，则2得 cos12221bPFPF 故sin212121PFPFSPFF sincos12212b 2tan2b 【典型例题】【典型例题】类型一：椭圆的简单几何性质类型一：椭圆的简单几何性质例例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且2cos3OFA，求椭圆的方程。【解析】 椭圆的长轴长为 6，2cos3OFA，所以点 A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，2222|3AFOAOFbca，233c，所以 c=2，b2=3222=5，故椭圆的方程为22195xy或22159xy。举一反三：举一反三：【变式 1】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点在 x 轴上，离心率为过点的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且的周长为 16，那么 C 的方程为_【答案】。类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围例例 2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为32的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 10 和 4，求其离心率。【解析】 （1）由题意得() ()32acac，即1312ee，解得52 6e 。12,F F221F2ABF221168xy（2）由题意得104acac，解得73ac，故离心率37cea。举一反三：举一反三：【变式 1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）1331.5432ABCD【答案】D【变式 2】椭圆22221xyab上一点到两焦点的距离分别为12dd、，焦距为2c，若122dcd、 、成等差数列，则椭圆的离心率为 【答案】12例例 3. 设 M 为椭圆22221(0)xyabab上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若MF1F2=75，MF2F1=15，求椭圆的离心率。【解析】 在MF1F2中，由正弦定理得：12122112|2sinsinsinMFMFcFMFMF FMFF，即12|2sin90sin15sin75MFMFc，2|1|2|2sin90sin15sin75sin15sin75cMFMFa，16sin15sin753cea。举一反三：举一反三：【变式 1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于 【答案】31【变式 2】已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A,B 两点，连接 AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，4cos,5ABF则 C 的离心率为（ ）A. 35 B. 57 C. 45 D. 67【答案】 B【解析】如图所示，在 AFB 中，|AB|=10，|BF|=8，4cos,5ABF由余弦定理得：222|AF|AB|BF|2|AB|BF|cosABF4100642 10 8536, 0|AF| 6,BFA90， 设F为椭圆的右焦点， 连接,BF AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形，|BF | 6,|FF | 10，286,210ac，解得 a=7,c=5.5.7cea 例例 4已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194xy有相同的焦点，并且经过点（3，2） ，求此椭圆的方程。【答案】2211510 xy举一反三：举一反三：【变式 1】已知椭圆22221(0)xyabab，以a，b，c为系数的关于x的方程20axbxc无实根，求其离心率e的取值范围。【答案】由已知，240bac ，所以22()40acac，即2240caca，不等式两边同除2a可得2410ee ，解不等式得52e 或52e .由椭圆的离心率(0,1)e，所以所求椭圆离心率( 52,1)e.【变式 2】已知点 F1、F2分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点，若ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ）A(0,21) B( 21,1) C(0, 31) D( 31,1)【答案】选 B，点 F1、F2分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点，F1（c，0） ，F2（c，0） ，2(,)bAca，2(,)bBca，ABF2是锐角三角形，AF2F145，tanAF2F11，212bac，整理，得 b22ac，a2c22ac，两边同时除以 a2，并整理，得 e2+2e10，解得21e ，或21e ， （舍） ，0e1，椭圆的离心率 e 的取值范围是( 21,1)。【变式 3】已知 F1（-c,0）, F2（c,0）为椭圆22221xyab的两个焦点，P 为椭圆上一点且212PF PFc ，因此椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 3,13 B. 1 1,3 2 C. 32,32 D. 20,2 答案：C 解析：设 P（m,n）,222212(,) (,)PF PFccmncmnmcn ,2222222,2mncncm，把 P（m,n）代入椭圆22221xyab得222222b ma na b，把代入得222222220a ba cmba，22222a ba c2222232,2,3cbcacca，又222222222222222(2c ),0a ba caamaababa，故22220,2caca.类型三：直线与椭圆的位置关系类型三：直线与椭圆的位置关系例例 6. 已知椭圆1222 yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程 解法一：解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky代入椭圆方程，并整理得：0232122212222kkxkkxk由韦达定理得22212122kkkxxP是弦中点，121 xx故得21k所以所求直线方程为0342 yx解法二：解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，则由题意得：1.11212212122222121yyxxyxyx，得0222212221yyxx 将、代入得212121xxyy，即直线的斜率为21所求直线方程为0342 yx【巩固练习】【巩固练习】一、选择题选择题1已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（ ）A221144128xy B2213620 xy C2213236xy D2213632xy1答案：D2若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆2215xym总有公共点，那么 m 的取值范围是（ ）A （0，5） B （0，1） C1，5 D1，5）2答案：D 解析： 直线 y=kx+1 过定点（0，1） ，定点在椭圆的内部或椭圆上时直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆2215xym总有公共点，220115m，得 m1，m 的取值范围是 1m5。3已知 O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点，P 为 C 上一点， 且 PFx 轴， 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M， 与 y 轴交于点 E， 若直线 BM 经过 OE的中点，则 C 的离心率为（ ）A13 B12 C23 D343答案：A 解析：由题意可设 F（c，0） ，A（a，0） ，B（a，0） ，令 x=c，代入椭圆方程可得2221cbybaa ，可得2(,)bPca，设直线 AE 的方程为 y=k（x+a） ，令 x=c，可得 M（c，k（ac） ） ，令 x=0，可得 E（0，ka） ，设 OE 的中点为 H，可得(0,)2kaH，由 B，H，M 三点共线，可得 kBH=kBM，即为()2kak acaca ，化简可得12acac，即为 a=3c，可得13cea。4设 P，Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆11022 yx上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是()A25 B246 C27 D264答案： D 解析：设 Q)sin,cos10(，由题意得 P、Q 两点间的最大距离等于圆心(0,6)到椭圆上Q 的最大距离再加上圆的半径2，而圆心(0,6)到椭圆上 Q 点的距离226sincos10d36sin12sincos102246sin12sin9225505032sin92.所以 P、Q 两点间的最大距离等于. 26225二、填空题二、填空题5椭圆2214xym的离心率为12，则 m=_.5 （1）若 0m4 则 a2=4，b2=m，4cm，4122me，得 m=3（2）m4，则 b2=4，a2=m，4cm，412mem，得163m ；综上，m=3 或163m 6若圆 x2+y2=a2（a0）与椭圆22194xy有公共点，则实数 a 的取值范围是_.6答案：2，3 解析：圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径 a 的取值范围为2，37已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1，则椭圆 C 的标准方程为 7解析：由题设椭圆 C 的标准方程为22221(0)xyabab，由已知得3,1,acac2,1ac，2223bac，椭圆的方程为22143xy8.在椭圆221369xy上有两个动点 M、N，K（2，0）为定点，若0KM KN ，则KM NM 的最小值为_8.解析：M 在椭圆221369xy，可设 M（6cos，3sin） （02） ，则22()KM NMKMKMKNKMKM KNKM ，由 K（2，0） ，可得：222222|(6cos2)(3sin)27cos24cos1342327(cos)93KMKM 当4cos9时，2KM 取得最小值233三、解答题三、解答题9已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值.9. 解析：方程变形为12622myx因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m又2c，所以2262m，5m适合故5m10.椭圆12222bxay(ab0)的两焦点为 F1（0，-c） ，F2（0，c）(c0)，离心率 e=23，焦点到椭圆上点的最短距离为 2-3，求椭圆的方程. 10解析：椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，a-c=2-3.又 e=ac=23，a=2.故 b=1.椭圆的方程为42y+x2=1.11已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在x轴上的椭圆，过它的左焦点1F作倾斜角为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 11. 解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式2121xxkAB4)(1 (212212xxxxk因为6a，3b，所以33c又因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为：93 xy由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而13484)(1 (1212212212xxxxkxxkAB12已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示） 12. 解析：如图，设yxP，由椭圆的对称性，不妨设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知： 221FF2221PFPF12PF224coscPF由椭圆定义知： aPFPF221 则2得： cos12221bPFPF故sin212121PFPFSPFF sincos12212b 2tan2b13设椭圆 E 的方程为22221(0)xyabab，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a，0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为510(I)求 E 的离心率 e；()设点 C 的坐标为(0，-b)，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程.13. 解：()由题设条件知，点 M 的坐标为，又，从而进而得()由题设条件和()的计算结果可得，直线 AB 的方程为，点 N 的坐标为设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为，则线段 NS 的中点 T 的坐标为21()33ab，510OMk5210ba222 5525cab cabbea故，.15xybb51()22bb，.17()2x，1517()4244xbb，.又点 T 在直线 AB 上，且从而有解得 b3所以故椭圆 E 的方程为1 NSABkk11517424457122552xbbbbbxb，3 5a 221459xy