1.2 空间向量基本定理课件-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.pptx

1、第一课时第一课时2.平面向量的正交分解平面向量的正交分解复习回顾 如果如果e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面向量，那么对于这一平面内的内的_向量向量a，_实数实数1，2，使，使a_._.1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理不共线不共线任一任一有且只有一对有且只有一对1e12e2e1，e2 基底基底MNaONOMaO 把一个向量分解为把一个向量分解为两个两个互相互相垂直垂直的向量，叫做把向的向量，叫做把向量作量作正交分解正交分解. .xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 新课讲授探究1 我们知道，平面内的任意一

2、个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向都可以用两个不共线的向量量 来表示（平面向量基本定理）来表示（平面向量基本定理）. 对于空间任意一个向量，有没有对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？类似的结论呢？pba,三个三个不共面不共面的向量的向量n 用用两个不共线两个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？的向量能不能表示空间内所有向量？n 用用三个不共线三个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？的向量能不能表示空间内所有向量？n 先考虑三个先考虑三个不共面不共面的向量的向量两两互相垂直两两互相垂直的特殊情况：的特殊情况：n 先考虑三个向量先考虑三个向量两两互相垂直两两互相

3、垂直的特殊情况：的特殊情况：xyzOijkQPp .OPOQzkxiy jzk 【结论】【结论】 如果如果 是空间三个是空间三个两两互相垂直两两互相垂直的向量，那么对任意一个空间向的向量，那么对任意一个空间向量量 ，存在唯一存在唯一的有序实数组的有序实数组( x,y,z)，使得，使得p kji,kzjyi xp我们称我们称 分别为向量分别为向量 在在 上的分向量上的分向量.kzjyi x,p kji,n 你能证明唯一性吗？你能证明唯一性吗？【空间向量基本定理】 如果三个向量如果三个向量 不共面不共面，那么对任意一个空间向量，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一存在唯一的有序实数组的有序实数组(

4、x,y,z)，使得，使得, ,a b c p . pxaybzc 都叫做都叫做基向量, ,a b c n 在空间中，如果用在空间中，如果用任意三个不共面向量任意三个不共面向量 代替两两垂直的向代替两两垂直的向量量 ，你能得出类似的结论吗？，你能得出类似的结论吗？cba,kji, 叫做空间的一个叫做空间的一个基底，空间任意三个，空间任意三个不共面不共面向量都可以向量都可以构成空间的一个构成空间的一个基底基底. .,cba 所有空间向量组成的集合为所有空间向量组成的集合为 ,|Rzyxczbyaxpp（1）任意不共面的三个向量任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。都可做为空间的一个基底。【注

5、意】【注意】对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面还应明确：不共面还应明确：（2）由于可视）由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是三个向量不共面，就隐含着它们都不是 .00（3）一个）一个基底基底是指一个向量组，一个是指一个向量组，一个基向量基向量是指基底中的某一个是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。向量，二者是相关联的不同概念。推论：设设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一是不共线的四点，则对空间任一 点点P，都存在唯一的有序实数组都存

6、在唯一的有序实数组( x,y,z)，使，使当且仅当当且仅当 x+y+z=1 时，时，P、A、B、C四点共面。四点共面。.OPxOAyOBzOC 特别地，如果空间的一个特别地，如果空间的一个基底基底中的中的三个基向量两两互相垂直三个基向量两两互相垂直，且且长度都为长度都为1，那么这个基底叫做，那么这个基底叫做单位正交基底，常用，常用 表示表示.,kji单位正交基底： 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以，均可以分解为三个向量分解为三个向量 ，使，使 . .akzjyi x,kzjyi xa 像这样，像这样，把一个空间向量分解为三个两两互相

7、垂直的向量，把一个空间向量分解为三个两两互相垂直的向量，叫做把空间向量进行叫做把空间向量进行正交分解.正交分解：例题1 已知向量已知向量 是空间的一个基底求证是空间的一个基底求证: :向量向量 能构成空间的一个基底能构成空间的一个基底. ., ,a b c ,ab ab c ,ab ab cx y 假设共面，则存在证明：使= ()()c x aby ab=()() .cxy axy b,ca b 从而由共面向量定理知， 与共面, a bc 这与， 不共面矛盾,ab ab c 不共面，,ab ab c 从而可以构成空间向量的一个基底.例题讲解练习1、2（课本（课本P15P15习题习题T1T1，T

8、2T2）BOACMNPAPOPOA 解：34OAAN 3()4OAONOA 3344OAONOA 13 11()44 33OAOBOC 111444.OAOBOC 例题2 如图，如图，M是四面体是四面体OABC的中点，点的中点，点N在线段在线段OM上，点上，点P在线在线段段AN上，且上，且MN= ON，AP= AN，用向量，用向量 表示表示 .2143OCOBOA,OP结合图形特征，利用三角形法则，平行四结合图形特征，利用三角形法则，平行四边形法则，数乘运算解决问题边形法则，数乘运算解决问题.,1cbaOB,1bcBAbcaCA1.2121cbaOG练习3（课本（课本P12P12练习练习T3T

9、3）BCOA1B1C1O1AG练习4、5（课本（课本P15P15习题习题T T3 3、T4T4）BOACPNMQ,OAOABCNM的边分别是四面体如图,.,OAMNQPBC用向量的三等分点是的中点.,OQOPOCOB和表示OCOBOAOP313161OCOBOAOQ616131练习6ABCDABCDFEG1,(1),.ABCDA B C DEFGAB AD AAAE AG AFEF EG DG 棱长为 的正方体中, 、 、 分别为棱DD 、D C 、BC的中点，以为基底，表示下列向量,(2)1212A EA DD EA DD D A DA A 解解 ： ( (1 1) ) 12AGABBGAB

10、AD 12AFAAADDFAAADAB 112221122EFAFAEAAADABADAAAAAB 解解 : :（ ）（） - -（） ； 11221122EGAGAEABADADAAABADAA （）- -（）1122DGAGADABAD ADABAD - -练习6课堂小结【空间向量基本定理】 如果三个向量如果三个向量 不共面不共面，那么对任意一个空间向量，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一存在唯一的有序实数组的有序实数组( x,y,z)，使得，使得, ,a b c p . pxaybzc1111001101111111.2-3ABCD-A B C DAB4,AD4,AA5, DAB60 , BAA60 ,DAA60 ,M,ND C ,C B.MNAC如图，在平行六面体中，分别为的中点，求证：BCDA1B1C1D1AMN例题2 ABCD-AB C D1EFGC D ,AD ,D D, 1/ /(2).EFACCEAG 正方体的棱长为 ， 、 、 分别为的中点（）求证：求与所成角的余弦值ABCDABCDGEFijk例题3