1.1.1 .空间向量及其线性运算辅导讲义-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

要点一、空间向量的相关概念要点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。2.空间向量的长度（模） ：空间向量的长度（模） ：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或3空间向量的有关概念：空间向量的有关概念：零向量：零向量：长度为 0 或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。单位向量：单位向量：长度为 1 的空间向量，即.相等向量：相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：相反向量：方向相反但模相等的向量。共线向量：共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作共面向量：共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。要点二、空间向量的加减法要点二、空间向量的加减法1加减法定义加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法 （如下图） 2运算律运算律交换律： 结合律：要点三、空间向量的数乘运算要点三、空间向量的数乘运算1.定义：定义：实数与空间向量 a 的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算当0 时，a 与 a 方向相同；当0 时，a 与 a 方向相反；当=0 时，a=0a 的长度是 a 的长度的|倍如右图所示a|AB |a00| 1a abba/abba()()abcabca空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算知识讲解知识讲解2运算律运算律分配律：(a+b)=a+b； 结合律：(a)= ()a要点四、共线定理要点四、共线定理 1共线向量的定义共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 ab注意： 0 与任意向量是共线向量2共线向量定理共线向量定理 空间任意两个向量、（） ，/的充要条件是存在实数，使3. 共线向量定理的用途：共线向量定理的用途：判定两条直线平行； （进而证线面平行）证明三点共线。要点五、共面定理要点五、共面定理1共面向量的定义共面向量的定义 通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了2共面向量定理共面向量定理如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（） ，使推论 ： 空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有，上式叫做平面的向量表达式3.共面向量定理的用途：共面向量定理的用途：证明四点共面线面平行（进而证面面平行） 。 类型一：空间向量的线性运算类型一：空间向量的线性运算例例 1.如图，空间四边形 OABC 中，OAa ，OBb ，OCc，点 M 在线段 OA 上，且 OM=2MA，点 N 为 BC的中点，则MN =（ ） abb0abba, a bp, a b, x ypxaybPMAB, x yMPxMAyMBOOPOMxMAyMB MAB典型例题典型例题A211322abc B121232abcC111222abc D221332abc例例 2.如右图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）； A B C D例例 3若三棱锥 O 一 ABC 中 G 是 ABC 的重心，求证：.例例 4.正方体，点 E 是上底面的中心，求下列各式中 x、y、z 的值：（1）；（2）。类型二：共线向量定理的应用类型二：共线向量定理的应用例例 1.设 e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB 2e1ke2，CB e13e2，CD 2e1e2，且 A，B，D 三点共线，则1BD 111()ADA AAB 111()BCBBDC 1()ADABDD 1111()B DA ADD 1()3OGOAOBOC ABCDA B C DA B C DBDxADyABzAA AExADyABzAA k_.类型三：共面向量及应用类型三：共面向量及应用例例 1已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面一、选择题一、选择题1.已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1E 14A1C1 ，若AE xAA1 y(AB AD )，则()Ax1，y12 Bx12，y1 Cx1，y13 Dx1，y142.已知 A，B，C 不共线，对空间任意一点 O，若OP 34OA 18OB 18OC ，则 P，A，B，C 四点()A不共面 B共面 C不一定共面 D无法判断3(2021福建泉州市普通高中质量检测)如图所示，三棱柱 ABCA1B1C1中，N 是 A1B 的中点，若CA a，CB b，CC1 c，则CN () A12(abc) B12(abc) Cab12c Da12(bc)4设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且AO OB DO OC ，则四边形 ABCD 是()A平行四边形 B空间四边形C等腰梯形 D矩形5.已知正方形 ABCD 的边长为 1，设AB a，BC b，AC c，则|abc|等于()A0 B3 C2 2 D2 26已知向量 a，b，且AB a2b，BC 5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D7已知 P 为空间中任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA 43PB xPC 16DB ，则实数 x 的值为()ABCDACO,OEkOAOFKOB OGkOC OHkOD ,E F G HAC/EG同步练习同步练习A.13 B13 C.12 D128.已知空间三点坐标分别为 A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，5)又点 P(x，1，3)在平面 ABC 内，则 x 的值为()A4 B1 C10 D119.若空间中任意四点 O，A，B，P 满足OP mOA nOB ，其中 mn1，则()APAB BPAB C点 P 可能在直线 AB 上 D以上都不对10.已知向量a = (t + 1,1,t),b = (t 1,t,1)，则|a b|的最小值为( )A. 2B. 3C. 2D. 4二、多选题二、多选题1下列命题中，真命题是()A向量AB 与BA 的长度相等B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于 0D共线的单位向量都相等2下列命题中为假命题的是()A任意两个空间向量的模能比较大小 B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段 D不相等的两个空间向量的模必不相等3下列命题中假命题的是()A将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆B若空间向量 a、b 满足|a|b|，则 abC若空间向量 m、n、p 满足 mn，np，则 mpD空间中任意两个单位向量必相等4(2021辽宁省抚顺一中月考)已知四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，互相垂直的有()APC 与BD BDA 与PB CPD 与AB DPA 与CD 5.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的中心为 O，则在下列各结论中正确的结论是()A.OA OD 与OB1 OC1 是一对相反向量B.OB OC 与OA1 OD1 是一对相反向量C.OA OB OC OD 与OA1 OB1 OC1 OD1 是一对相反向量D.OA1 OA 与OC OC1 是一对相反向量三、填空题三、填空题1.已知点 M 是ABC 的重心，则M A M B M C _.2.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，若AC1 xAB 2yBC 3zC1C ，则 xyz_.3(2020陕西白水高二期末)如图，在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 CD，BE 的中点，若AG xAB yAD zAC ，则 xyz_4 如图所示， 已知矩形 ABCD， P 为平面 ABCD 外一点， 且 PA平面 ABCD， M、 N 分别为 PC、 PD 上的点， 且 PMMC21，N 为 PD 中点，则满足MN xAB yAD z AP 的实数 x_，y_，z_ 5已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一点，若由OP 15OA 23OB OC 确定的一点 P 与 A，B，C 三点共面，则 _四、解答题四、解答题1.已知 A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，OP OA OB ，求 的值2.如图，设 O 为ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC 的中点，若AE 12OD xOB yOA ，求 x，y 的值3.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M，N 分别是A1B，B1C1上的点，且BM = 2A1M，C1N = 2B1N.设AB = a,AC = b,AA1= c(1)试用a,b,c表示向量MN；(2)若BAC = 90，BAA1= CAA1= 60，AB = AC = AA1= 1，求 MN 的长要点一、空间向量的相关概念要点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。2.空间向量的长度（模） ：空间向量的长度（模） ：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或3空间向量的有关概念：空间向量的有关概念：零向量：零向量：长度为 0 或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。单位向量：单位向量：长度为 1 的空间向量，即.相等向量：相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：相反向量：方向相反但模相等的向量。共线向量：共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作共面向量：共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。要点诠释：要点诠释：当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的要点二、空间向量的加减法要点二、空间向量的加减法1加减法定义加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法 （如下图） 2运算律运算律交换律： 结合律：空间向量加法的运算的小技巧：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，a|AB |a00| 1a abba/ababababba()()abcabc12233411nnnA AA AA AAAA A 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算知识讲解知识讲解即：；要点三、空间向量的数乘运算要点三、空间向量的数乘运算1.定义：定义：实数与空间向量 a 的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算当0 时，a 与 a 方向相同；当0 时，a 与 a 方向相反；当=0 时，a=0a 的长度是 a 的长度的|倍如右图所示2运算律运算律分配律：(a+b)=a+b； 结合律：(a)= ()a要点四、共线定理要点四、共线定理 1共线向量的定义共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 ab注意： 0 与任意向量是共线向量2共线向量定理共线向量定理 空间任意两个向量、（） ，/的充要条件是存在实数，使 要点诠释：要点诠释：此定理可分解为以下两个命题： ab（b0）存在唯一实数，使得 a=b； 存在唯一实数，使得 a=b（b0） ，则 ab 注意: b0 不可丢掉，否则实数就不唯一3. 共线向量定理的用途：共线向量定理的用途：判定两条直线平行； （进而证线面平行）证明三点共线。要点五、共面定理要点五、共面定理1共面向量的定义共面向量的定义 通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了2共面向量定理共面向量定理如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（） ，使推论 ： 空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一122334110nnnA AA AA AAAA A aabb0abba, a bp, a b, x ypxaybPMAB, x yMPxMAyMB点，有，上式叫做平面的向量表达式3.共面向量定理的用途：共面向量定理的用途：证明四点共面线面平行（进而证面面平行） 。 类型一：空间向量的线性运算类型一：空间向量的线性运算例例 1.如图，空间四边形 OABC 中，OAa ，OBb ，OCc，点 M 在线段 OA 上，且 OM=2MA，点 N 为 BC的中点，则MN =（ ） A211322abc B121232abcC111222abc D221332abc【答案】A【解析】选：A，MNMAABBN 1132OAOBOABC 211322OAOBOCOB 211322OAOBOC OAa ，OBb ，OCc，211322MNabc ，例例 2.如右图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）； A B C D【答案】A【解析】 ；OOPOMxMAyMB MAB1BD 111()ADA AAB 111()BCBBDC 1()ADABDD 1111()B DA ADD 1111111()ADA AABADAABABD 1111111111()BCBBDCBCBBC DBCC DBD 典型例题典型例题；因此，两式的运算结果为向量，而两式运算的结果不为向量故选 A例例 3若三棱锥 O 一 ABC 中 G 是 ABC 的重心，求证：.【解析】如图所示，G 是 ABC 的重心，D 为 BC 的中点 例例 4.正方体，点 E 是上底面的中心，求下列各式中 x、y、z 的值：（1）；（2）。【答案】见解析【解析】 （1），又，x=1，y=1，z=1。（2），又，。类型二：共线向量定理的应用类型二：共线向量定理的应用例例 1.设 e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB 2e1ke2，CB e13e2，CD 2e1e2，且 A，B，D 三点共线，则k_.【答案】8【解析】BD BC CD (e13e2)(2e1e2)e14e2，11111111()22ADABDDBDD DBDDDBDDDDDBDDDBD 111111111111111()B DA ADDB DAADDB DBBDDBDDDBD 1BD 1BD 1()3OGOAOBOC 2AGGD22()33OGOAAGADOAODOAOA 2 1 ()3 21()3OBOCOAOAOAOBOC ABCDA B C DA B C DBDxADyABzAA AExADyABzAA BDBDDDABADAA BDxADyABzAA 12AEAAA EAAA C 1()2AAA BA D 11112222AAA BA DADABAA AExADyABzAA 12x 12y 1z 又 A，B，D 三点共线，所以AB BD ，即 2e1ke2(e14e2)，所以2，k4，所以 k8.类型三：共面向量及应用类型三：共面向量及应用例例 1已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面【答案】见解析【解析】 （1）四边形是平行四边形，共面；（2），又，.所以，平面平面一、选择题一、选择题1.已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1E 14A1C1 ，若AE xAA1 y(AB AD )，则()Ax1，y12 Bx12，y1 Cx1，y13 Dx1，y14【答案】D【解析】因为AE AA1 A1E AA1 14A1C1 AA1 14(AB AD )，所以 x1，y14.2.已知 A，B，C 不共线，对空间任意一点 O，若OP 34OA 18OB 18OC ，则 P，A，B，C 四点()A不共面 B共面 C不一定共面 D无法判断【答案】B【解析】因为3418181，所以点 P，A，B，C 四点共面3(2021福建泉州市普通高中质量检测)如图所示，三棱柱 ABCA1B1C1中，N 是 A1B 的中点，若CA a，CB b，CC1 c，则CN () A12(abc) B12(abc) Cab12c Da12(bc)【答案】BABCDACO,OEkOAOFKOB OGkOC OHkOD ,E F G HAC/EGABCDACABAD EGOGOE ()()()k OCk OAk OCOAkACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEH ,E F G H()EFOFOEk OBOAk AB EGk AC /,/EFAB EGAC/ACEG同步练习同步练习【解析】本小题主要考查解空间向量的运算，若 AB 中点为 D，CN CD DN 12(abc)，故选 B4设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且AO OB DO OC ，则四边形 ABCD 是()A平行四边形 B空间四边形C等腰梯形 D矩形【答案】A【解析】AO OB DO OC ，AB DC AB DC 且|AB |DC |四边形 ABCD 为平行四边形5.已知正方形 ABCD 的边长为 1，设AB a，BC b，AC c，则|abc|等于()A0 B3 C2 2 D2 2【答案】D【解析】利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|abc|2|AC |2 2.6已知向量 a，b，且AB a2b，BC 5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D【答案】A 【解析】因为AD AB BC CD 3a6b3(a2b)3AB ，故AD AB ，又AD 与AB 有公共点 A，所以 A，B，D三点共线7已知 P 为空间中任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA 43PB xPC 16DB ，则实数 x 的值为()A.13 B13 C.12 D12【答案】A 【解析】PA 43PB xPC 16DB 43PB xPC 16(PB PD )32PB xPC 16PD .又P 是空间任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，32x161，解得 x13.8.已知空间三点坐标分别为 A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，5)又点 P(x，1，3)在平面 ABC 内，则 x 的值为()A4 B1 C10 D11【答案】D【解析】点 P(x，1，3)在平面 ABC 内，存在实数 ，使得AP AB AC ，(x4，2，0)(2，2，2)(1，6，8)即(x42，226，028，消去 ，解得 x11.9.若空间中任意四点 O，A，B，P 满足OP mOA nOB ，其中 mn1，则()APABBPABC点 P 可能在直线 AB 上D以上都不对【答案】A【解析】因为 mn1，所以 m1n，所以OP (1n)OA nOB ，即OP OA n(OB OA )，即AP nAB ，所以AP 与AB 共线又AP ，AB 有公共起点 A，所以 P，A，B 三点在同一直线上，即 PAB.10.已知向量 = ( + 1,1,), = ( 1,1)，则| |的最小值为( )A. 2B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】由已知 = (2,1 , 1)，所以| |=22+ (1 )2+ ( 1)2=22 4 + 6，因为 ，所以 22 4 + 6 =2( 1)2+ 4 2故选 C二、多选题二、多选题1下列命题中，真命题是()A向量AB 与BA 的长度相等B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于 0D共线的单位向量都相等【答案】ABC【解析】共线的单位向量方向相同或相反，只有 D 错误2下列命题中为假命题的是()A任意两个空间向量的模能比较大小B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】BCD【解析】对于选项 A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项 B，其终点构成一个球面；对于选项 C，零向量不能用有向线段表示；对于选项 D，向量 a 与向量 b 不相等，它们的模可以相等3下列命题中假命题的是()A将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆B若空间向量 a、b 满足|a|b|，则 abC若空间向量 m、n、p 满足 mn，np，则 mpD空间中任意两个单位向量必相等【答案】ABD【解析】A假命题将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆B假命题根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但 B 中向量 a 与 b 的方向不一定相同C真命题向量的相等满足递推规律D假命题空间中任意两个单位向量模长均为 1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故 D 错4(2021辽宁省抚顺一中月考)已知四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，互相垂直的有(BCD)APC 与BD BDA 与PB CPD 与AB DPA 与CD 【答案】BCD【解析】结合图分析可知 DA 与 PB，PD 与 AB，PA 与 CD 分别垂直，则选项 B，C，D 中两向量垂直而 A 中，只有当矩形 ABCD 为正方形时，才有PC BD 5.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的中心为 O，则在下列各结论中正确的结论是()A.OA OD 与OB1 OC1 是一对相反向量B.OB OC 与OA1 OD1 是一对相反向量C.OA OB OC OD 与OA1 OB1 OC1 OD1 是一对相反向量D.OA1 OA 与OC OC1 是一对相反向量【答案】ACD【解析】利用图形及向量的运算可知，B 是相等向量，ACD 是相反向量三、填空题三、填空题1.已知点 M 是ABC 的重心，则M A M B M C _.【答案】0【解析】设 D 为 AB 的中点，则M A M B 2M D .又 M 为ABC 的重心，则M C 2M D ，所以M A M B M C 0.2.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，若AC1 xAB 2yBC 3zC1C ，则 xyz_.【答案】76【解析】如图所示，有AC1 AB BC CC1 AB BC (1)C1C .又因为AC1 xAB 2yBC 3zC1C ，所以x1，2y1，3z1，解得x1，y12，z13.所以 xyz1121376.3(2020陕西白水高二期末)如图，在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 CD，BE 的中点，若AG xAB yAD zAC ，则 xyz_【答案】1【解析】如图，在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 CD，BE 的中点，AG AB BG AB 12BE AB 1212(BC BD )AB 14(AC AB AD AB )AB 14AC 14AD 12AB 12AB 14AD 14AC AG xAB yAD zAC ，xyz12141414 如图所示， 已知矩形 ABCD， P 为平面 ABCD 外一点， 且 PA平面 ABCD， M、 N 分别为 PC、 PD 上的点， 且 PMMC21，N 为 PD 中点，则满足MN xAB yAD z AP 的实数 x_，y_，z_ 【答案】x_23_，y_16_，z_16_【解析】在 PD 上取一点 F，使 PFFD21，连接 MF，则MN MF FN ，FN DN DF 12DP 13DP 16DP 16(AP AD )，MF 23CD 23BA 23AB ，MN 23AB 16AD 16AP ，x23，y16，z165已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一点，若由OP 15OA 23OB OC 确定的一点 P 与 A，B，C 三点共面，则 _【答案】215【解析】P、A、B、C 四点共面，对于OP 15OA 23OB OC ，15231，解得 215四、解答题四、解答题1.已知 A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，OP OA OB ，求 的值【答案】见解析【解析】A、B、P 三点共线，存在实数 t，使AP tAB ，AP OP OA ，AB OB OA ，有OP (1t)OA tOB ，OP OA OB ，1t，t12.如图，设 O 为ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC 的中点，若AE 12OD xOB yOA ，求 x，y 的值【答案】见解析【解析】因为AE AB BC CE OB OA OC OB 12OC OA 12OC OA 12(OD DC )OA 12(OD AB )OA 12OD 12(OB OA )32OA 12OD 12OB ，所以 x12，y32.3.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M，N 分别是A1B，B1C1上的点，且BM = 2A1M，C1N = 2B1N.设AB = a,AC = b,AA1= c(1)试用a,b,c表示向量MN；(2)若BAC = 90，BAA1= CAA1= 60，AB = AC = AA1= 1，求 MN 的长【答案】见解析【解析】 (1)MN = MA1+ A1B1+ B1N =13BA1+ AB +13B1C1=13c a + a +13b a =13a +13b +13c；(2)因为(a + b + c)2= a2+ b2+ c2+2a b +2b c +2a c= 1 + 1 + 1 + 0 + 2 1 1 12+2 1 1 12= 5，所以|a + b + c| =5，所以|MN| =13|a + b + c| =53，即MN =53