1.2 空间向量基本定理 课件—新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.ppt

1、第一章第一章 统计案例统计案例1.2 空间向量的基本定理高二数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何学习目标1.理解空间向量基本定理;2.理解基底、基向量及向量的坐标表示、正交分解的概念;3.会用空间向量基本定理解决立体几何的简单问题.4.核心素养：数学建模、数学运算。 1212112221ee ee ee aa如如果果 ，是是同同一一平平面面内内的的两两个个向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量 ，有有且且只只有有一一对对实实数数 ，使使. .（ 、叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一不不共共线线组组基基底底) )1.平面向量基本定

2、理：2.平面向量的正交分解及坐标表示xyoajiaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij一、回顾旧知1.探究1:p 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？, a b xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 （x,y,z）使得 我们称 为向量 在 上的分向量。, ,i j k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 二、探究新知2.探究2：在空

3、间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ， 你能得出类似的 结论吗？, ,a b c , ,i j k 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。3.空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组（x,y,z），使, ,a b c p . pxaybzc都叫做基向量, ,a b c (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面， 还应明确： (2) 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。00 (3)一个基底是指一

4、个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使 当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。.OPxOAyOBzOC 1.巩固1. 已知向量 是空间的一个基底 求证:向量 能构成空间的一个基底.三、巩固新知, ,a b c ,ab ab c ,ab ab cx y 假设共面，则存在证明：使= ()()c x aby ab=()() .cxy axy b,ca b 从而由共面向量定理知， 与共面, a bc 这与， 不共面矛盾,ab ab c 不共面，,ab ab

5、c 从而可以构成空间向量的一个基底.1.2213,24,MOABCNOMPANMNON APANOA OB OCOP 如图 ，是四面体的中点，点 在线段上，点 在线段上，且用向量表示.BOACMNPAPOPOA 解：2.例1.34OAAN 3()4OAONOA 3344OAONOA 13 11()44 33OAOBOC 111444.OAOBOC 3.变式1:OABCMN,2,()OABCOAa OBb OCcMOAOMMA NBCMN 空间四边形中，点在上，且为的中点则B 121232Aabc 211322Babc 112223Cabc221332DabcBOACPNMQ,OAOABCNM的

6、边分别是四面体如图,.,OAMNQPBC用向量的三等分点是的中点.,OQOPOCOB和表示OCOBOAOP313161OCOBOAOQ6161314.变式2:已知平行六面体已知平行六面体是侧面点GCBAOOABC,1111,111cOObOCaOACCBB且的中心, ,:a b c 用表示下列向量;)1(111CABAOB，.)2(OG,1cbaOB,1bcBAbcaCA1.2121cbaOG5.变式3:BCOA1B1C1O1AG1111001101111111.2-3ABCD-A B C DAB4,AD4,AA5, DAB60 , BAA60 ,DAA60 ,M,ND C ,C B.MNAC

7、如图，在平行六面体中，分别为的中点，求证：BCDA1B1C1D1AMN6.例2.1,AB a AD b AAc 设这三个向证明：量不共面，1, ,a b cMN AC 构成空间的基底,用它们来表示1111,22MNMCC Nab 则11ACABBCCCabc 111() ()22ababcMN AC 111111222222a aa ba cb ab bb c 1.MNAC0ABCDABCDGABCD-AB C D1EFGC D ,AD ,D D, 1/ /(2).EFACCEAG 正方体的棱长为 ， 、 、 分别为的中点（）求证：求与所成角的余弦值EFOijk7.例3. 单位正交基底:如果空

8、间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底.(1),DAi DCj DDk ：设证明, ,i j k 则构成空间一个单位正交基底，111()222EFD FD Eijij CADADCij 12CAEF / /EFAC(2)1:2CECCC Ejk 解12AGADDGik 11() ()222cos,55522jkikCE AGCE AGCE AG 2.5CEAG与所成角的余弦值为ABCDABCDFEG8.变式:1,(1),.ABCDA B C DEFGAB AD AAAE AG AFEF EG DG 棱长为 的正方体中, 、 、 分别为棱DD 、D C 、BC的

9、中点，以为基底，表示下列向量,(2)1212A EA DD EA DD D A DA A 解解 ： ( ( 1 1) ) 12AGABBGABAD 12AFAAADDFAAADAB 112221122E FA FA EA A A DA BA DA A A A A B 解解 : : （）（） - - （） ； 11221122EGAGAEABADADAAABADAA （）- -（）1122DGAGADABAD ADABAD - -空间向量基本定理都叫做都叫做基向量基向量., ,a b c 那么对空间任一不共面如果三个向量,cba使得存在有序实数组向量,zyxp. czbyaxp四、课堂小结选好基底作业: 课本P15 习题1.2 3，4题