专题训练4:椭圆的定义与方程 -新人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx
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1、专题4:椭圆的定义与方程一、单选题1如图所示,已知椭圆的左、右焦点分别为,点与的焦点不重合,分别延长到,使得,是椭圆上一点,延长到,则( )A10B5C6D32如图所示,在圆锥内放入两个球,它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切),切点圆(图中粗线所示)分别为,.这两个球都与平面相切,切点分别为,丹德林(GDandelin)利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆,为此椭圆的两个焦点,这两个球也称为Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为, 的半径分别为1,4,点为上的一个定点,点为椭圆上的一个动点,则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是( )A6B8CD3已知椭
2、圆,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,平分角,则与的面积之和为( )A1BC2D34如图,已知,分别是椭圆:的左、右焦点,过的直线与过的直线交于点,线段的中点为,线段的垂直平分线与的交点(第一象限)在椭圆上,若为坐标原点,则的取值范围为( )ABCD5已知椭圆的两个焦点,与短轴的两个端点,都在圆上,是上除长轴端点外的任意一点,的平分线交的长轴于点,则的取值范围是( )ABCD6已知、是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上任意一点,以为直径作圆,直线与圆交于点(点不在椭圆内部),则( )AB4C3D17已知是椭圆的一个焦点,若直线与椭圆相交于两点,且,则椭圆离心率的取值范围是( )ABCD8已知椭圆
3、的左右焦点分别为,点A是椭圆上一点,线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为B,若,则椭圆C的离心率为( )ABCD9已知椭圆:()的右焦点为,短轴的一个端点为,直线:交椭圆于,两点,若,点到直线的距离等于,则椭圆的焦距长为( )ABCD10一光源在桌面的正上方,半径为的球与桌面相切,且与球相切,小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆,如图所示,形成一个空间几何体,且正视图是,其中,则该椭圆的短轴长为( )ABCD11已知椭圆C:,为左右焦点,点在椭圆C上,的重心为,内心为,且有(为实数),则椭圆方程为 ( )ABCD二、填空题12圆的半径为定长,是圆所在平面上与不重合的一个定点,是圆上任意
4、一点,线段的垂直平分线和直线相交于点,当点在圆上运动时,点的轨迹是_椭圆;双曲线;抛物线;圆;一个点13已知椭圆 的左右焦点为、,点为椭圆上任意一点,过作的外角平分线的垂线,垂足为点,过点作轴的垂线,垂足为,线段的中点为,则点的轨迹方程为_.14点为椭圆的右焦点,在椭圆上运动,点,则周长的最大值为_.15如图,把椭圆的长轴八等分,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于,七个点,是椭圆的一个焦点,则的值为_16已知椭圆,点与的焦点不重合若关于的焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则_17已知椭圆的左、右焦点分别为、,点,若点P为椭圆C上的一个动点,则的最小值为_.18设椭圆的左焦点为,直线与椭圆
5、相交于,两点.当的周长最大时,的面积为,则椭圆的离心率_19一动圆与圆:内切,且与圆:外切,则动圆圆心的轨迹方程是_20若复数满足,则在复平面内对应点的轨迹方程是_(结果要求化简)21已知椭圆的左、右焦点分别为,点P为椭圆C上一点,满足,的面积为,直线交椭圆C于另一点Q,且,则椭圆C的标准方程为_22圆的切线与椭圆交于两点分别以为切点的的切线交于点,则点的轨迹方程为_参考答案1A【解析】根据椭圆的定义和比例,有.2A【分析】在椭圆上任取一点,可证明,可得 ,设点沿圆锥表面到达的路线长为,则,当且仅当 为直线与椭圆交点时取等号,即可求解.【解析】在椭圆上任取一点,连接交球于点 ,交球于点,连接,
6、 ,在与中有: ,(为球的半径), 为公共边,所以,所以,设点沿圆锥表面到达的路线长为,则,当且仅当为直线与椭圆交点时取等号,所以最小值为,故选:A【点评】关键点【点评】本题解题的关键是证明得出 ,从而,转化为 三点共线时求.3C【分析】利用题设条件给出的几何图形特征知,点M到直线PF1、PF2的距离都等于点M到x轴的距离,由此计算三角形面积得解.【解析】如图,椭圆,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,作一圆与线段F1P,F1F2的延长线都相切,并且与线段PF2也相切,切点分别为D,A,B,所以(c为椭圆半焦距),从而点A为椭圆长轴端点,即圆心M的轨迹是直线x=a(除点A外).因点M(2,1
7、)在的平分线上,且椭圆右端点A(2,0),所以点M是上述圆心轨迹上的点,即点M到直线F1P,PF2,F1F2的距离都相等,且均为1,与的面积之和为.故选:C【点评】椭圆焦点三角形旁切圆圆心的轨迹是过椭圆长轴端点垂直于该轴的直线(除长轴端点外).4D【分析】利用三角形的中位线、线段的中垂线、椭圆的定义对转化,用P点的坐标表示,通过P点在第一想象的范围,求出范围.【解析】如图所示,点在轴右边,因为为的垂直平分线,所以由中位线定理可得设点由两点间的距离公式,得,同理可得,所以,故,因为,所以,故,所以因为,所以故的取值范围为故选:D【点评】本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的关系、三角形中位线和线段的
8、中垂线的几何性质,考查了数学运算能力和逻辑推理能力,转化的数学思想,属于难题.5B【分析】由的平分线交长轴于点,得到,再结合椭圆的定义,得到,进而求得的取值范围.【解析】由椭圆的两个焦点,与短轴的两个端点,都在圆上,得,则,所以椭圆的方程为,故,由的平分线交长轴于点,显然,又,所以,即,由,得,设,则,而,即,也就是,所以,所以,所以.故选:B.【点评】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程,以及圆的方程、角平分线性质等知识的综合应用,着重考查推理论证能力及运算求解能力,属于难题.6C【分析】利用向量的数量积运算可得,利用,进一步利用椭圆的定义可转化为,进而得解.【解析】连接,设椭圆的基本量为,,
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