新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期末数学知识+题型复习讲义.docx

1、高二上学期数学知识复习第一章 空间向量与立体几何考点分析：空间向量大多是做为工具的存在来考察，因此同学们在空间向量这里应重点放在相关几何性质与公式的记忆（四则运算与数量积）。而在立体几何上，要重点复习平行、垂直的证明（几何证明或向量证明）以及利用空间向量解决立体几何中的夹角问题。相关题型：一、 空间向量的简单运算1. 已知两个向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n)，且a/b，则m+n的值为( )A. 1B. 2C. 4D. 82. 已知向量a=1,-3,2，b=-2,1,1，则2a+b=()A. 50B. 52C. 14D. 143. 已知向量a=(-2,x,2)，b=(2,1,2)，c

2、=(4,-2,1).若a(b-c)，则x的值为()A. -2B. 2C. 3D. -34. 在正四面体P-ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PEBC的值为()A. -1B. 1C. 3D. 735. 已知空间中三点A(-2,0,2)，B(-1,1,2)，C(-3,0,4)，设(1)a+b的坐标;(2)求a与b的夹角的余弦值二、 空间向量与立体几何（1） 求异面直线所成的角（或角的三角函数值）1. 在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD2. 如右图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值

3、为（ ） A B C D（2）求直线与平面所成的角（或角的三角函数值）1. 如图，已知多面体，均垂直于平面，(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值2. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60（）证明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值（3）求平面与平面所成的角（或角的三角函数值，要注意判断钝角或锐角）1. 在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=，BD=2，O为BD的中点，AO平面BCD，AO=2，E为AC的中点若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角FDEC的大小为，求

4、sin的值2. （2020全国理18）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值*（4）折叠问题与探索性问题1. （2014福建）在平行四边形中，将沿折起，使得平面平面，如图（）求证：；（）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值2. 如图，在四棱锥中，平面平面，（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由第二章 直线与圆的方程考点分析：直线的方程主要掌握：斜率的表示，点斜式、斜截式（方程的设法与缺陷）与一般式，点到直线的距离公式。（有余力的

5、话，要去看一下截距式）圆的方程主要掌握：从圆的标准方程得到圆心和半径，通过配方从一般方程得到标准方程，圆外的点到圆上距离的最大与最小值。直线与圆的位置关系主要掌握：判断直线与圆的位置关系，直线与圆相离时求出圆上的点到直线的最小距离，求圆的切线方程（小心斜率不存在）或与直线相切的圆的方程，直线与圆相交时求弦长。圆与圆的位置关系主要掌握：判断圆与圆的位置关系（或公切线的条数），两圆相交时求公共弦的方程（或公共弦长）。（有余力的话，复习一下两圆距离的最值问题）相关题型：一、 直线的倾斜角和斜率1. 经过点P作直线，若直线与连接A，B两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围 。2. 直线经过点P

6、且以点，为端点的线段恒相交，则的斜率的取值范围 。二、 直线的方程求满足下列条件的直线方程：（1）经过点A，且斜率等于直线的斜率的2倍；（2） 经过点A，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍。相关题型：一、 圆的方程例1.（1）圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的方程式为（ ）A. B. C. D.（2）经过三点，的圆交轴于，两点，则= 变式：圆与轴相切于点，与轴正半轴交于，两点，且=2，则圆的标准方程式为（ ）A. B. C. D.二、 与圆有关的最值问题1. 斜率型最值问题例2.已知实数，满足，则的最小值为 。2. 截距型最值问题例3.已知实数，满足，则的最大值为 ，最小值为 。3. 距

7、离型最值问题例4.（1）若是圆：上任一点，则点到直线距离最大值为（ ）A.4 B.6 C. D.（2）已知圆：，当变化时，圆上的点与原点的最短距离是 。4. 利用对称性求最值例5.已知圆：，圆：，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，求+的最小值。强化训练：1.已知，满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.2.若实数，满足，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.3.已知实数，满足，则的最大值为 4.已知圆：，点，点是圆上的动点，则的最大值为 ，最小值为 。5.已知点，点在直线上，点在圆：上，则的最小值是 。三、直线与圆的位置关系例1.（1）直线：与圆：的位置关系（ ）A.相切 B.相交

8、 C.相离 D.不确定（2）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围为 。 变式：（1）已知过点的直线与圆：相切于点（在第一象限内），则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）A. B. C. D.（2）若过点的直线与圆有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 四、圆的切线与弦长的问题例2.（1）已知圆：从点观察点，要使视线不被圆挡住，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. （2）直线与圆相交于，两点，若，则实数的取值范围是 。变式：（1）已知是直线上一动点，、是圆：的两条切线，,为切点，若四边形面积最小是2，

9、则的值是（ ）A. B. C.2 D.（2）若直线：被圆截得的弦长为，则的值为（ ）A. B. C.1 D.2五、圆与圆的位置关系例3.（1）已知原点到直线的距离为1，圆：与直线相切，则满足条件的直线有（ ）条A.1 B.2 C.3 D.4（2）已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是 。变式：（1）圆和圆有三条公切线，若，且，则的最小值为（ ）A.1 B.3 C.4 D.5（2）若圆：，圆：，相交于点，则= 。第三章 圆锥曲线考点分析：椭圆、双曲线与抛物线的定义一定要牢记，因为往往你发现题目没有给什么条件时，定义往往就是隐藏的条件；椭圆、双曲线的方程求解方法：定义法与待定系数法

10、。同时，这里有过两点的椭圆或双曲线方程的求解方法（椭圆，双曲线）。双曲线还有已知渐近线方程求双曲线方程的求解方法（渐近线设）。而抛物线的方程通常建立相应的等式即可；椭圆与双曲线的焦点三角形问题（定义、余弦定理或勾股定理与三角形面积公式结合）；椭圆与双曲线的离心率问题：主要思路是建立一个关于a,b,c的等式；抛物线的焦点弦相关结论：焦点在x轴上：，其中是AB的中点的横坐标，还有，其中为直线AB的倾斜角；焦点在y轴上：，其中是AB的中点的纵坐标，还有，其中为直线AB的倾斜角；圆锥曲线的距离最值问题：两类，一类为圆锥曲线的定义与三角形两边之和、两边之差相结合，另一类为纯计算；圆锥曲线的综合问题：（1

11、）中点弦问题：主要思路为点差法；（2）弦长问题：弦长公式：或；（3）定值或最值问题相关题型：一、 椭圆的定义例1：（1）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则等于（ ）A. B. C. D.（2）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则 。变式：已知椭圆的右焦点分别为，是椭圆上一点，点，则的周长的最大值等于（ ）A.10 B.12 C.14 D.15（2）已知椭圆的左、右焦点分别为，点满足，则的取值范围为 。例2：（1）如图，已知椭圆的的中心原点为的左焦点，为上一点，若，则椭圆的方程为（ ）A. B. C. D.二、椭圆的标准方程（2）已知椭圆的中心为坐标原点，

12、离心率为，焦距为4，则椭圆的标准方程为 。变式：（1）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D.（2）一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，是椭圆上的一点且成等差数列，则该椭圆的标准方程为 。三、椭圆的几何性质例3：（1）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点为椭圆右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D.（2）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 。变式：（1）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.（2）已知椭圆的

13、左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 。四、直线与椭圆的位置关系例4：已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过（1） 求椭圆的标准方程；（2） 过椭圆的右焦点做直线，直线与椭圆相交于两点，当（是坐标原点）的面积最大时，求直线的方程。变式：已知椭圆的焦点为，是椭圆上一点，若的面积为1。（1） 求椭圆的方程；（2） 如果椭圆上总存在关于直线对称的两点，求实数的取值范围。五、双曲线的定义及标准方程例5：（1）已知双曲线，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，若，则的值为（ ）A. B. C. D.（2）经过点，且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程

14、为（ ）A. B. C. D.变式：（1） 已知分别是双曲线的的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上的一点，且满足，则面积的最大值是（ ）A.4 B.3 C.2 D.1（2）已知双曲线T的过点，且与双曲线有着相同的渐近线，则双曲线T的标准方程式为 。六、双曲线的几何性质1.已知离心率求渐近线方程例6：已知双曲线的的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.2.已知渐近线求离心率例7：已知双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C. D.3.由离心率研究渐近线夹角问题例8：已知双曲线的的离心率为，则其中一条渐近线与实轴的夹角的取值范围是 4.利用渐近线与已

15、知直线位置关系求离心率范围例9：设双曲线的两条渐近线分别与直线交于两点，为该双曲线的右焦点。若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 强化练习1.已知双曲线的离心率为2，则上任意一点到两条渐近线的距离之积为（ ）A. B. C.2 D.32.已知双曲线的的一条渐近线的方程式为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.3.已知双曲线的的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.过点的直线的方程与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线的距离恒大于b，则双曲线C的离

16、心率的最大值是 。5.已知F为双曲线的的左焦点，定点为双曲线虚轴的一个端点，过两点的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若=3，则此双曲线的离心率为 。七、直线与双曲线的位置关系例10：已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为2.（1） 求双曲线的标准方程；（2） 若直线：与双曲线C相交于两点（均异于左，右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，试说明直线过定点，并求出定点的坐标。变式：已知双曲线的离心率为，过双曲线上一点作直线分别交双曲线与两点，且斜率分别，若直线过原点，则的值为 。相关题型：一、 抛物线的定义1. 动弦中点到坐标轴距离最短问题例1.已知抛物线上有一

17、条长为6的动弦，则弦的中点到轴的最短距离为（ ）A.3 B.1 C.2 D.42. 距离之和最小问题例2.已知直线的方程式为，为抛物线的准线，抛物线上的一动点到，距离之和的最小值，则实数的值为（ ）A.1 B.2 C.4 D.283. 焦点弦中距离之和最小问题例3.已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，过分别作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为 。强化训练1.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，是一个定点，则的最小值为( )A.2 B.3 C.4 D.52.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）A.2 B. C. D.3.已知抛物线，过焦点作直线

18、与抛物线交于,两点，设，则的最小值为（ ）A.2 B.3 C. D.44.在抛物线上有两动点,，=4,则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）A. B. C. D.5.已知是抛物线上的一点，则点到此抛物线准线的距离与点到点的距离之和的最小值为 。二、 抛物线的标准方程变式：如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，交其准线于点，若=，且,则=（ ）A.1 B.2 C. D.3例4：如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若为等边三角形，则抛物线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 三、 抛物线的几何性质例5.（1）已知抛物线与直线相交于,两点，为的焦点，若

19、=，则=（ ）A. B. C. D.（2）已知抛物线的焦点为，点,为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点坐抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）A. B. C.1 D.变式：（1）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若,则=（ ）A. B. C.3 D.2（2）抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上一点，且在第一象限，于点线段与抛物线交于点，若直线的斜率为，则=（ ）A. B. C. D.四、 直线与抛物线的位置关系例6.已知为抛物线：的焦点，直线：交抛物线于,两点。（1）当，时，求抛物线的方程；（2）过点,分别作抛物线的切线，且，的交点，若直线与直线的斜率之和为，

20、求直线的斜率。变式：已知过的动圆恒与轴相切，设切点为,是该圆的直径。（1） 求点的轨迹的方程；（2） 当不在轴上时，设直线与曲线交于另一点，该曲线在点的切线与直线交于点，求证：恒为直角三角形。圆锥曲线综合问题：一、 直线与圆锥曲线的位置关系例1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为。（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个交点。变式：若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、 弦长问题例2.已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，

21、。（1）当=时，求的面积；（2）当2=时，证明：。变式：已知椭圆：的左右焦点分别为，其离心率，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线相切。（1） 求椭圆的方程；（2） 过的直线交椭圆于，两点，为的中点，连接并延长交交椭圆于，若四边形的面积满足，求直线的斜率。三、 中点弦问题1. 求中点弦所在的直线方程例3.直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为 。2. 抛物线中点弦问题例4.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为,直线与抛物线相交于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）A.2 B.-2 C.1 D.-13. 利用中点弦解决对称问题例5.已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且的

22、中点在抛物线上，则实数的值为 。强化演练1.以点为中点且被椭圆所截得的弦所在的直线方程是（ ）A. B. C. D.2.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，若线段的中点的纵坐标为2，则抛物线的准线方程（ ）A. B. C. D.3.若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆上，则= 。4.已知双曲线方程是，过定点作直线交双曲线于，两点，若为的中点，则此直线方程是 。5.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则实数的取值范围为 。 第四章 数列考点分析：等差数列与等比数列的相关知识点：定义、通项公式、前n项和公式以及常考的性质；等差数列与等比数列的证明：利用定义证明；求数列

23、通项公式的常考题型：由前n项和得通项公式（要验证首项是否满足所求式子；若为与的关系式，即证明为等比数列）、由递推公式得通项公式（每种类型对应相应的思路）、由等差等比的证明得通项公式（要会证明）；数列求和：分组求和法（大多为一个等差加（减）一个等比求前n项和时所用思路）、错位相减法（一个等差乘以一个等比求前n项和时所用思路）、裂项相消法（当式子可以从一项列成两项时所用思路）。1 )2相关题型：一、 等差数列的基本运算例1：（1）已知是等差数列，是其前n项和。，则的值是 。（2） 在等差数列中，其前n项和为。若，则 。变式：（1）设数列是等差数列，为其前n项和，若，则（ ）A.4 B.-22 C.

24、22 D.80（2）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，则（ ）A.110 B.55 C.50 D.不能确定二、 等差数列的性质及应用例2：（1）已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（ ）A.0 B.1 C.2 D.4（2）设等差数列的前n项和分别为，若对任意的自然数n都有，则的值为 。（3）在等差数列中，则 。变式：（1）已知是公差不为0的等差数列，且，则数列的前10项和（ ）A.-10 B.-5 C.0 D.5（2）设等差数列的前n项和为，且，则 。三、 等差数列的判定与证明例3：若数列的前n项和，且满足。（1） 求证：数列是等差数列；（2） 求数列的通项公式。变式：已知数

25、列中，数列满足。（1） 求证：数列是等差数列；（2） 求数列中的最大值和最小值，并说明理由。四、 等差数列前n项和的最值问题例4：已知数列的首项，设其前n项和为，且，则当n为何值时，有最大值？并说明理由。变式：（1）若等差数列的前n项和有最大值，且，则令取到最小正值项数为（ ）A.15 B.17 C.19 D.21（2）设等差数列的前n项和为，已知。求公差取值范围；数列的前几项和最大？并说明理由。五、等比数列的基本运算例5：（1）已知数列满足，若，则（ ）A.84 B.63 C.42 D.21（2） 已知数列是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，则数列的前10项和为 。变式：（1）设是等比

26、数列的前n项和，则公比（ ）A. B. C.1或 D.1或（2）已知数列的前n项和为，且，则（ ）A. B. C. D.六、等比数列的性质例6：（1）已知等比数列的前n项积为，若，则的值为（ ）A. B.512 C. D.1024（2）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则（ ）A.-30 B.40 C.40或-30 D.40或-50变式：（1）已知数列为等比数列，则（ ）A.7 B.-5 C.5 D.-7（2）已知数列的前n项和为，若，则等于（ ）A. B. C. D.七、等比数列的判定与证明例7：设数列的前n项和为，已知，（1） 设，证明：数列是等比数列；（2） 求数列的通项公式。变

27、式：已知数列和满足：，其中为实数，n为正整数。（1） 证明：对任意实数，数列不是等比数列；（2） 试判断数列是否为等比数列，并说明你的结论。数列的综合问题：一、 由数列的前n项和求通项公式例1：（1）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（nN*），求数列an的通项公式。（2）设数列an的前n项和Sn，且Sn=2-12n-1，求数列an的通项公式。变式：（1）已知数列an的前n项和为Sn,nN*，且Sn=32an-12，求数列an的通项公式。（2）设数列an满足a1+3a2+（2n-1）an=2n，求an的通项公式。二、 由数列的递推公式求题型一、形如，求例2：（1）形如满足，且，则

28、前项和 。（2） 若数列是等比数列，且，则 。变式：（1）在数列中，若平面向量与平行，则数列的通项公式为 。（2）已知数列中，求的通项公式。题型二、形如，求例3：（1）已知数列满足，则 。（2）已知数列中，求的通项公式变式：已知，则数列的通项公式是（ ）A. B. C. D.题型三、形如例4：（1）已知数列满足，则数列的通项公式为 。（2）已知数列满足，其中为实数，且，则数列的通项公式为 。变式：（1）已知满足，则数列的通项公式为 。（2）已知数列满足，则数列的通项公式为 。题型四、形如，求例5：已知数列中，则的通项公式为 。三、 数列求和（1）分组求和法例6：已知数列an是公比为2的等比数列

29、，且a2，a3+1，a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记bn=an+log2an+1，求数列bn的前n项和Tn变式：已知数列an满足a1=1，an+1=4an+3n-1，bn=an+n(1)证明：数列bn为等比数列；(2)求数列an的前n项和（2）错位相减法例7：已知数列an的前n项的和为Sn，且Sn=2n+n-1，其中nN*(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn=2n(an-1)，求数列bn的前n项和Tn变式：已知数列满足。（1） 求数列的通项公式；（2） 若，求数列的前n项和。（3）裂项相消法1.形如例8：数列的通项公式，若该数列的前项之和为9，则（ ）A.98 B.99 C.96 D.97变式：设数列满足。（1） 求数列的通项公式；（2） 设，记，证明：。2.形如例9：已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和。变式：已知正项数列的前n项和为，且。（1） 求数列的通项公式；（2） 设，数列的前n项和为，求证：。