专题训练22： 双曲线的渐近线问题 -新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx

1、专题22：双曲线的渐近线问题一、单选题1已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD2已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（ ）ABCD3如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）ABCD4在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，PF1F2的外心M的坐标为，PF1F2的面积为2a2，则双

2、曲线C的渐近线方程为（ ）AyxByxCyxDyx5已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD6设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ）ABCD7已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点.若，则的渐近线方程为ABCD8是双曲线上一点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值（ ）ABCD9已知双曲线的两条渐近线分别为与，与为上关于原点对称的两点，为上一点且，则双曲线离心率的值为ABCD10已

3、知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为ABCD11设双曲线（，）的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，的三内角分别用、表示，若，则双曲线的渐近线的方程是ABCD12已知双曲线的右焦点为,右顶点为，过作的垂线与双曲线交于分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是ABCD13已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线的渐近线上两点，若四边形是面积为的菱形，则该渐近线方程为ABCD14已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近

4、线方程为ABCD15已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为ABCD16双曲线（）的左、右焦点分别为，过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为ABCD二、填空题17已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，离心率为.若动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，满足恒成立，则双曲线的渐近线的方程为_.18设是双曲线:上任意一点,过作渐近线和的平行线,分别交于点.则_.19已知为坐标原点，、是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为_20已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近

5、线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，双曲线的渐近线方程为_参考答案1A【分析】本题首先可以结合题意绘出双曲线的图像，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果.【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，如图，过点作于点,因为，所以，因为，所以，因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，所以，故，因为，所以，将代入双曲线中，即，化简得，解得或（舍去），则该双曲线的渐近线方程为，故选：A.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线定义以及等面积法的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，考

6、查数形结合思想，体现了综合性，是难题.2B【分析】作出图形，可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果.【解析】由抛物线的对称性，设为抛物线第一象限内点，如图所示：故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，设直线方程为：，联立，整理得，其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则则，解得：，此时，即或所以点的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为设双曲线的实轴长为2a，则，又，则故渐近线斜率的平方为故选：B【点评】本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下：直接求出，从而求出；

7、构造的齐次式，求出；采用渐近线的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解3B【分析】由同起点的向量做加法想到平行四边形法则，从而取的中点E，由已知可知，由三线合一知三角形为等腰三角形，再由余弦的定义表示的余弦值，又由双曲线的定义表示，最后在中，由余弦定理构建方程，求得，将其代入渐近线方程，得答案.【解析】取线段的中点E，连接，因为，所以，故三角形为等腰三角形，且在中，连接，又，点Q在双曲线C上，所以由双曲线的定义可得，故在中，由余弦定理得，整理可得，所以，故双曲线C的渐近线方程为故选：B【点评】本题考查由几何关系求双曲线的渐近线，由余弦定理构建方程，还考查了平面向量加法的平行四

8、边形法则和垂直关系，属于难题.4D【分析】由M是三角形外心可得，根据圆周角与圆心角关系得F1PF2，根据余弦定理、双曲线的定义得，由三角形面积公式，即可确定的数量关系，写出渐近线方程即可.【解析】由PF1F2的外心M，知：，在中，即，故F1PF2，在中，而，即，而，由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：故选：D【点评】关键点点睛：利用外接圆的性质求F1PF2，由余弦定理、双曲线的定义及三角形面积公式求焦点三角形的面积，进而确定双曲线参数的数量关系.5C【分析】设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不

9、等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【解析】根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值， ，当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入，可得 ，即，即 所以双曲线的渐近线方程为：故选：C【点评】本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题6C【分析】如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，根据勾股定理计算得到答案.【解析】如图所示

10、：切点为，连接，作轴于，故，在中，故，故，根据勾股定理：，解得.故选：.【点评】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7A【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.【解析】如图所示：设分别为三边与其内切圆的切点，圆心为.已知，,.即 由双曲线的定义有：.则.所以,即.又.所以，又，解得.双曲线的渐近线方程为：.故选：A【点评】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题.8A【分析】设，得到，联立方程组，求得的坐标，结合向量的数量积的运算，即可求解【解析】设点，则，即，由双曲

11、线的渐近线方程为，则由，解得，由，解得，所以，所以故选：A【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程及性质，以及向量的数量积的运算，其中解答中根据题意，联立方程组，求得A、B的坐标，结合向量的数量积的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题9B【分析】设直线的方程为，则直线的方程为，设点、，则点，利用，可得出，解出即可.【解析】设直线的方程为，则直线的方程为，设点、，则点，即，即，解得，故选B.【点评】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分利用公式可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.10A【分析】设圆与的三边、分别相切于点，连接 ,

12、，可看作三个高均为圆半径的三角形利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求【解析】如图，设圆与的三边、分别相切于点，连接，则，它们分别是，的高，其中是的内切圆的半径，两边约去得：，根据双曲线定义，得，可得双曲线的渐近线方程为 ,即为，故选A【点评】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质，属于中档题解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11D【解析】分析：先根

13、据三角形切的关系化简条件得,再通过坐标关系表示，最后根据点C在双曲线上化简得a,b关系，即得双曲线的渐近线的方程.详解：因为中所以设C(x,y),所以 因此双曲线的渐近线的方程为选D.点睛：熟记一些常用结论或方法：1.已知双曲线方程求渐近线：2.中12B【解析】，由双曲线的对称性知在轴上，设，由，得，则，又到直线的距离小于，则，解得，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是，故选B.13A【解析】如图所示，设 则菱形的面积为 则 ，即渐近线的方程为 ，故双曲线的渐近线方程为选A14C【解析】，故，即，故点为线段的中点，连接，则为的中位线，且，故，且，故点在双曲线的右支上，则在中，由勾股定理可得，即，解

14、得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 本题中，利用双曲线的定义与几何性质，以及构造的齐次式，从而可求出渐近线的斜率，进而求出渐近线方程的.15B【解析】设抛物线与双曲线的一个交点为，因为抛物线的焦点为，且，所以，解得，则该双曲线的渐近线方程为，即；故选B. 点睛：在处理抛物线上的点到焦点的距离时，要注意利用抛物线的定义将抛物线上点

15、到焦点的距离和到准线的距离进行互化；已知双曲线方程求渐近线方程，学生往往记不清渐近线方程的形式，记住以下结论即可，双曲线 的渐近线方程为.16C【解析】试题分析：因为过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点，且，所以，设切点为，则利用三角形的相似可得，所以，所以，代入双曲线的方程，整理可得，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，相似三角形、以及双曲线的渐近线的方程的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据相似三角形，

16、列出比例关系式，得到点的坐标是解答的关键，试题运算较大，属于中档试题.17【分析】取特殊位置轴，此时，将代入抛物线得，所以，可得，分别讨论，可得，进而可求得渐近线方程为.【解析】如图：因为恒成立，取特殊位置轴时，此时，所以，在中，双曲线中，将代入双曲线方程得，整理可得：，取点位于第一象限，所以，则，所以，当时，此时不符合题意，故不成立，当时，此时不符合题意，故不成立，当时，所以，即，可得，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：【点评】关键点点睛：本题解题的关键点是去特殊位置轴时，可得计算其正切值可得，经过讨论求出离心率.18【分析】设,求出直线的方程,分别与联立,进而求出 的坐标,根

17、据两点间的距离公式,求出,则可求的值.【解析】解:设 则，即.由题意知直线 分别与 平行则.所以,将直线与 联立得 ,解得 将直线与 联立得,解得即,.所以,所以.故答案为: .【点评】本题考查了两点间的距离求解,考查了圆锥曲线的综合计算.本题的难点及易错点在于计算.对于此类填空题,有一个技巧可能会减少运算量,即已知点是曲线上的任意一点,不妨设该点是特殊点,如顶点,可减少运算量.19【分析】根据，可知，即为直角三角形.利用双曲线的定义，题意所给已知条件，和勾股定理列方程组，化简求得，即为等轴双曲线，渐近线为.【解析】根据，可知，即为直角三角形.设，依题意有，解得，根据勾股定理得，解得，故双曲线为等轴双曲线，渐近线为.【点评】本小题主要考查双曲线的定义和准线方程的求解.考查直角三角形的几何性质以及运算求解能力，属于中档题.20【解析】过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，设垂足为A，易得，,又，所以，而，故，在中，利用余弦定理可得：，即，得：，故渐近线方程为：