专题训练21: 双曲线的存在探索性问题 -新人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx
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1、专题21:双曲线的存在探索性问题1已知双曲线C过点,且渐近线方程为,直线l与C交于M、N两点,(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l过原点,点P是曲线C上任一点,直线PM、PN的斜率都存在,记为、,求证:为定值;(3)若直线l过点,在x轴上是否存在定点Q,使得为常数?若存在,求出点Q坐标及此常数的值,若不存在,说明理由.2已知双曲线.(1)倾斜角45且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M,N两点,求.(2)过点的直线l与此双曲线交于,两点,求线段中点P的轨迹方程;(3)过点能否作直线m,使m与此双曲线交于,两点,且点B是线段的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.3已
2、知双曲线经过点,两条渐近线的夹角为,直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的方程;(2)若过原点,为双曲线上异于的一点,且直线的斜率均存在,求证:为定值;(3)若过双曲线右焦点,是否存在轴上的点,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,求出的坐标;若不存在,请说明理由.4已知直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线C上,设坐标原点为O.(1)求双曲线C的方程;(2)若过点的直线l与双曲线C交于R、S两点,若,求直线l的方程;(3)设在双曲线上,且直线AM与y轴相交于点P,点M关于y轴对称的点为N,直线AN与y轴相交于点Q,问:在x轴上是否存在定点T,使得?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由
3、.5已知圆,点,点是圆上的动点,的垂直平分线交直线于点(1)求点的轨迹方程;(2)过点的直线交曲线于两点,在轴上是否存在点,使得直线和的倾斜角互补,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.6已知,点满足,记点的轨迹为.斜率为的直线过点,且与轨迹相交于两点.(1)求轨迹的方程;(2)求斜率的取值范围;(3)在轴上是否存在定点,使得无论直线绕点怎样转动,总有成立?如果存在,求出定点;如果不存在,请说明理由.7已知双曲线:,设是双曲线上任意一点,为坐标原点,为双曲线右焦点,为双曲线的左右顶点.(1)已知:无论点在右支的何处,总有,求的取值范围;(2)设过右焦点的直线交双曲线于,两点,若存在直线,
4、使得为等边三角形,求的值;(3)若,动点在双曲线上,且与双曲线的顶点不重合,直线和直线与直线:分别相交于点和,试问:是否存在定点,使得恒成立?若存在,请求出定点的坐标;若不存在,试说明理由.8如图,椭圆的左、右顶点分别为A、B,双曲线以A、B为顶点,焦距为,点P是上在第一象限内的动点,直线AP与椭圆相交于另一点Q,线段AQ的中点为M,记直线AP的斜率为为坐标原点.(1)求双曲线的方程;(2)求点M的纵坐标的取值范围;(3)是否存在定直线使得直线BP与直线OM关于直线对称?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.9已知,(1)求点的轨迹C的方程;(2)若直线与曲线C交于A、B两点,并且A、B
5、在y轴的同一侧,求实数k的取值范围.(3)设曲线C与x轴的交点为M,若直线与曲线C交于A、B两点,是否存在实数k,使得以AB为直径的圆恰好过点M?若有,求出k的值;若没有,写出理由.10的内切圆与三边的切点分别为,已知,内切圆圆心,设点A的轨迹为R.(1)求R的方程;(2)过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N,问在x轴上是否存在一定点Q(Q不与C重合),使恒成立,若求出Q点的坐标,若不存在,说明理由.参考答案1(1);(2)证明见解析;(3)存在, .【分析】(1)设双曲线的方程为,将点代入双曲线的方程,解方程可得双曲线的方程;(2)设点的坐标为,则点的坐标为,根据斜率公式和双曲线的方程
6、,即可求出为定值;(3)假设存在定点,用点斜式设出直线的方程代入双曲线方程,利用根与系数的关系以及为常数,求得值,可得结论【解析】(1)由双曲线的渐近线方程,可设双曲线的方程为,又双曲线过点,可得,即,则双曲线的方程为;(2)证明:设点的坐标为,则点的坐标为,其中,又设点的坐标为,由,得,将,代入得故为定值;(3)设直线的方程为,设定点,联立方程组,消可得,则,且,解得且,设,可得,所以,所以,为常数,与无关所以,解得,此时故存在,使得【点评】解决直线与双曲线的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、双曲线的条件;(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后
7、的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题2(1)8(2)(3)不存在,理由见解析【分析】(1)直线斜率为1,写出直线方程与双曲线联立,由韦达定理即弦长公式求解;(2)设,则,两式相减,利用是中点及斜率相等可求得轨迹方程,从而得到其轨迹;(3)假设直线存在由已知条件利用点差法求出直线的方程为,联立方程组,得,由,推导出直线不存在【解析】(1)由双曲线知,右焦点为,由直线倾斜角45可知直线斜率为1,所以直线方程为:,联立可得,设,则且,所以(2)设,则,直线的斜率,共线,即线段的中点的轨迹方程是(3)假设直线存在设是弦的中点,且,则,在双曲线上,直线的方程为,即,联立方程
8、组,得,直线与双曲线无交点,直线不存在【点评】关键点点睛:在直线与双曲线相交问题中,涉及弦及弦中点的问题,可以采用“点差法”,可以简化运算,降低运算难度.3(1);(2)证明见解析;(3)存在,.【分析】(1)利用双曲线经过点,两条渐近线的夹角为,建立方程即可求解;(2)设点坐标为,则由对称性知点坐标,设,由点A,P在双曲线上可得,代入中化简即可;(3)先假设存在定点M,使MA MB恒成立,设出M点坐标,根据数量积为0,求得结论.【解析】(1)由题意得:解得:双曲线的方程为(2)证明:设点坐标为,则由对称性知点坐标为设,则,得(3)当直线的斜率存在时,设直线方程为,与双曲线方程联立消得:,得且
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