专题训练10：椭圆中的范围问题 -新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx

1、专题10：椭圆中的范围问题1已知椭圆：，直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上一点，且，设（1）证明：三点共线；（2）求面积的最大值2如图，过椭圆的左右焦点分别做直线，交椭圆于四点，设直线的斜率为（1）求（用k表示）；（2）若直线的斜率之积为，求四边形面积的取值范围3已知椭圆的离心率为，且经过点.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点（异于椭圆的左、右端点）.（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值.4已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为、过的直线交椭圆于、两点，且的周长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点作圆的切线交椭圆于、两点，求面积的

2、最大值5已知椭圆的离心率为，且过点，设MF分别是椭圆E的左、右焦点（1）是椭圆E的标准方程；（2）若椭圆E上至少有个不同11的点，使得，组成公差为d的等差数列，求公差d的取值范围（3）若过右焦点F的直线交椭圆E于A，B两点，过左焦点M的直线交椭圆E于C，D两点，且，求的最小值6已知椭圆的一个焦点为，且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的弦，设，的中点分别为，求面积的最大值7如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且，其中为椭圆的离心率.若，分别是椭圆的上顶点与右顶点，动直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限.（1）求椭圆的方程；（2）设，的面积分别为，求的最小值，并求出此时的值.

3、8已知，是椭圆的左、右焦点，弦经过点，若，且的面积为2（1）求椭圆的方程；（2）若直线，与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围9已知椭圆经过一点，左、右焦点分别为，P是椭圆上一动点，当垂直于x轴时，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点，斜率为k的直线l交椭圆于两点，且为钝角（O为坐标原点），求k的取值范围.10如图所示，已知点、是椭圆的两个焦点，椭圆经过点、，点是椭圆上异于、的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是、和、.设、的斜率分别为、.（1）求证：为定值；（2）求的最大值.11已知椭圆的离心率为，过点的直线与有两个不同的交点，线段的中点为，为坐标原点，直线与

4、直线分别交直线于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求线段的最小值.12已知椭圆的一个焦点为，且经过点，A，B是椭圆上两点，（1）求椭圆方程；（2）求的取值范围13如图，椭圆（）的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与当直线的斜率为0时，（）求椭圆的方程；（）求使取最小值时直线的方程参考答案1（1）证明见解析；（2）【分析】（1）将，代入椭圆方程，作差可求得，结合可求得；利用两点连线斜率公式可求得，由此得到结论；（2）由（1）可得直线方程，代入椭圆方程可得韦达定理的形式，结合韦达定理可表示出，结合满足椭圆方程化简可得，利用得，由单调性可求得最大值.【解析】（1）由题意知：点关于原点对称，都

5、在上，则，两式作差得：即又，则又，又，故，三点共线（2）由（1）得：直线的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去整理得：，令，则，（当且仅当时等号成立）函数在上单调递增，当时，取得最小值，故面积的最大值为【点评】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：（1）几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数、不等式等方法进行求解2（1）；（2）.【分析】（1）求出焦点坐标，写出直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出、，利用弦长公式即可求解；（2）设，直线CD的方程

6、为，利用点到直线的距离公式分别求到直线的距离，利用，再利用换元法和二次函数的性质即可求解.【解析】（1）由可得：，所以，所以，设，由已知得：直线的方程为，由得，即，所以， 故 （2）设，由已知得，故直线CD的方程为，即设分别为点到直线AB的距离， 则 又到直线在异侧，则由得，即，故 所以，从而， 因为，不妨令，令，可得，令，因为，所以，所以，二次函数对称轴为，开口向下，当时，单调递增，时， 单调递减，所以时，；当时，；当时，所以，所以，因此，【点评】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时

7、常从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数值域的求法，确定参数的取值范围3（1）；（2）.【分析】（1）根据已知条件可得出，再将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程；（2）设直线，联立直线与椭圆的方程，由可得出，求出点的坐标，可计算得出点的轨迹方程，进而可求得面积的最大值.【解析】（1）由椭圆的离心率，可得：，即有.再结合、三者的关系可得.椭圆的方程可化为，将点代入上述椭圆方程可得.求解得，所以，.椭圆的方程为；（2）设直线，联立直

8、线与椭圆的方程可得.若直线与椭圆相切，可得上述方程只有一个解，即有，化简可得，（*）.设点的坐标为，过点作的垂线为，联立与求得，.由上式可得，将（*）代入上式可得，故可知点的轨迹为以原点为圆心，以为半径的圆.是椭圆上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点.的面积为，即面积的最大值为.【点评】 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值4（1）；（2）.【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，结合椭圆的离心率可求

9、得的值，进一步可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，由直线与圆相切，可得出，设点、，联立直线与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，然后利用基本不等式可求得的面积的最大值.【解析】（1）因为的周长为，所以，由椭圆的定义可得，即，又椭圆的离心率为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）设、，若直线与轴重合，则直线与圆相交，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，即，联立直线与椭圆的方程，整理得，由韦达定理可得，所以，又点到直线的距离为，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的面积的最大值为【点评】 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直

10、线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.5（1）；（2）且；（3）【分析】（1）由，已知点的坐标代入椭圆方程，同时结合可解得得椭圆方程；（2）由椭圆焦半径最小值为1，最大值为3，知，中只要最小项为，数列的第11项不大于3，或最大项为，数列的第11项不小于1即可得注意公差不可能为0（3）先计算出当直线中有一个斜率为0（或不存在）时，的值，在直线的斜率存在且不为0时，直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得，然后由弦长公式求出，同理得，观察得为

11、常数，利用基本不等式得的最小值，比较上面的值可得结论【解析】（1）由题意，由，故解得，椭圆标准方程是；（2）设是椭圆上的点，则，等差数列，至少有11项，若，则，解得，若，则，解得，若，则满足条件的点最多有4个，不合题意所求的范围是且；（3）当斜率为0时，同理当斜率不存在时，也有，当斜率存在且不为0时，设斜率为，方程为，设，由得，设，同理可得，当且仅当，即时等号成立，的最小值为【点评】 本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查椭圆的焦半径的概念，直线与椭圆相交中的最值求最值问题的方法是“设而不求”的思想方法，应用韦达定理求得弦长，从而得出一个常数后利用基本不等式求得最小值解题时注意对直线的斜率分类讨

12、论否则过程不完整，易出错6（1）；（2）.【分析】（1）由题意，将代入椭圆方程，联立求解即可；（2）由题意斜率存在设直线的方程为，联立直线与椭圆方程消元得到，将用斜率表示，进而表示出面积，根据表达式换元，通过导数求出最值.【解析】解：（1）由题意可得解得：，故椭圆的方程（2）由题意可得直线，斜率均存在设的斜率为，斜率为，设，直线的方程为，由得：，则，可得点的横坐标为，代入，得点的纵坐标为，故点坐标为，则将换为，得，故面积令，故，当时，故在单调递减，故时，所以面积的最大值【点评】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；

13、“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.7（1）；（2）的最小值为，此时的值为.【分析】（1）根据题中条件，由椭圆的性质列出方程组，求出，即可得出椭圆方程；（2）先由（1）得到，求出直线的方程，根据题意，设，得，联立直线与椭圆方程，求出，再分别记点，到直线的距离为，根据点到直线距离公式， 以及三角形面积公式，得到，利用基本不等式，即可求出其最小值，以及取最小值时的值.【解析】（1）因为椭圆过点，且，其中为椭圆的离心率，所以，即，解得，所以椭圆的方程为；（2）由（1）可得，所以直线的方程为，即，由题意，设，因为直线与椭圆交于，两点，所以；由可得，则，所以分别记点，到直线的距

14、离为，则，因为，所以，则，因此，同理，又，的面积分别为，所以，当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立.故的最小值为，此时的值为.【点评】求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，根据韦达定理，以及三角形面积公式表示出三角形的面积，再结合相关知识即可求解三角形面积的最值或面积之比的最值等.8（1）；（2）【分析】（1）设，得到，在中，利用余弦定理可得，进而得到，然后在中，利用勾股定理得到然后由的面积为2求解；（2）联立，结合韦达定理写出线段的垂直平分线方程，令，得到与轴的交点，然后利用距离公式和弦长公式建立模型求解.【解析】（1）设，则，在中，由余弦定理得，整理得，解得(负值舍

15、)，所以，所以，在中，即，解得又因为，故，故，即，所以椭圆的方程是（2）由得设，则有，所以线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线方程为，令，则，于是线段的垂直平分线与轴的交点，又点，所以又，于是，因为，所以，所以的取值范围为【点评】 1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (k为直线斜率)注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别

16、式大于零9（1）；（2）.【分析】（1）由题得关于的方程组，解方程组即得椭圆的方程；（2）当直线斜率时，显然不合题意，当时，设直线： ，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，由得到，把韦达定理代入化简即得解.【解析】（1）由题意有， 解得 所以由题得椭圆方程为 （2），当直线斜率时，显然不合题意 当时，设直线： 联立直线与椭圆 有 设， 因为为钝角，所以. ，且 综上，k的取值范围是.【点评】 解答本题有两个关键，关键一，是把为钝角，转化为解析几何里角的问题一般转化为倾斜角和向量的夹角；关键二，不要忘记了排除，因为时，为平角，不是钝角.10（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）求得椭圆的方程为，设

17、点，可得出，利用斜率公式可证得为定值；（2）设直线的方程为，设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，可求得关于的表达式，进而可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值.【解析】（1）证明：点、是椭圆的两个焦点，故、的坐标是、，而点、是椭圆上的点，将、的坐标代入的方程，得，设，直线和的斜率分别是、，又点是椭圆上的点，故，则，所以（定值）；（2）直线的方程可表示为，联立方程组，得，恒成立，设、，则，同理可求得，当且仅当时等号成立，故的最大值等于.【点评】 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或

18、）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.11（1）；（2）.【分析】（1）根据题意列出关于的等式再求解即可.（2）设直线方程为，再联立直线与椭圆的方程,求得中点的坐标，利用韦达定理可得，再分析与两种情况分别利用基本不等式求解最值即可.【解析】解：（1）依题意可知解得.所以椭圆的标准方程为；（2）显然直线斜率存在，设过点点的直线方程为，（，否则直线与直线无交点.）直线与椭圆的交点为.由得，则，.所以.令，.直线方程为，令，.所以. 当时，.当且仅当时,即时等号成立； 当时，.当且仅当时取等号成立.此时.综上，线段的取值

19、范围为.故线段的最小值为.【点评】直线与椭圆的综合问题的常见处理方法：（1）对椭圆上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用“点差法”，其中直线的斜率，中点的坐标M为，点代入椭圆方程作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式（2）对于弦长问题，我们常让直线与椭圆方程组方程组，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或，斜率不存在时，解决相关问题.12（1）；（2）.【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可求解.（2）讨论直线斜率不存在或存在，斜率存在时设，将直线与椭圆联立，根据弦长公式求出，再由向量的数量积，令，再利用函数的单调性即可求解.【

20、解析】解：（1）由题意，（2）当直线斜率不存在时当直线斜率存在时，设， ，得令 得，.【点评】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键根据弦长求出，考查了运算能力、分析能力.13（）；（）或【分析】（）由离心率及，可得出，进而写出椭圆的方程；（）进行分类讨论，当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，不满足题意；当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，分别将直线与的方程与椭圆方程联立，由韦达定理得出和的表达式，然后利用弦长公式求出的表达式，然后利用基本不等式求出取得最小值时k的值，最后写出直线的方程即可.【解析】（）由题意知，又，解得，所以椭圆方程为；（）当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知，不满足条件；当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，设，将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得 ，则，所以，同理， ，所以+= ，当且仅当即时，上式取等号，所以直线AB的方程为或【点评】 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查基本不等式的应用，对于第二问，应该对斜率存在与否进行分类讨论，注意别漏掉斜率不存在的情形，考查逻辑思维能力和的分析计算能力，属于中档题.