专题训练29:抛物线的定直线问题 -新人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx
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1、专题29:抛物线的定直线问题1已知抛物线C:()与圆O:相交于A,B两点,且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点,过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M,N.(1)求抛物线C的方程.(2)过点M,N作抛物线C的切线,是,的交点,求证:点P在定直线上.2如图,已知抛物线C:的焦点F,过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A,B和C,D,设和所在直线交于点P设M为抛物线上一点,满足以下的其中两个条件:M点坐标可以为;轴时,;比M到y轴距离大1(1)抛物线C同时满足的条件是哪两个?并求抛物线方程;(2)判断并证明点P是否在某条定直线上,如果是,请求出该直线;如果不是,请说明理由3如图,已知点,、为抛
2、物线上不同的两点(在的右上方,在直线的下方),满足.(1)证明:的中点位于某定直线上;(2)记内切圆、外接圆的半径分别为、,求的最小值.4在平面直角坐标系中,已知抛物线及点,动直线过点交抛物线于,两点,当垂直于轴时,.(1)求的值;(2)若与轴不垂直,设线段中点为,直线经过点且垂直于轴,直线经过点且垂直于直线,记,相交于点,求证:点在定直线上.5已知圆,抛物线,倾斜角为的直线过的焦点且与相切.(1)求的值;(2)点在的准线上,动点在上,在点处的切线交轴于点,设四边形为平行四边形,求证:点在直线上.6已知圆经过点与直线相切,圆心的轨迹为曲线,过点做直线与曲线交于不同两点,三角形的垂心为点.(1)
3、求曲线的方程;(2)求证:点在一条定直线上,并求出这条直线的方程.7已知抛物线L:()的焦点为F,过点的动直线l与抛物线L交于A,B两点,直线交抛物线L于另一点C,直线的最小值为4.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点A作y轴的垂线m,则x轴上是否存在一点,使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上?若存在,求该点的坐标及该定直线的方程;若不存在,请说明理由.8平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y22px(p0)及点M(2,0),动直线l过点M交抛物线于A,B两点,当l垂直于x轴时,AB4.(1)求p的值;(2)若l与x轴不垂直,设线段AB中点为C,直线l1经过点C且垂直于y轴,直线l2经过点M
4、且垂直于直线l,记l1,l2相交于点P,求证:点P在定直线上.9已知椭圆:的离心率为,且经过点求椭圆的标准方程;已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,过点的动直线与抛物线相交于A,B两个不同的点,在线段AB上取点Q,满足,证明:点Q总在定直线上10曲线C上任一点到定点(0,)的距离等于它到定直线的距离(1)求曲线C的方程;(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点,且,设是AB中点,问是否存在一定点和一定直线,使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等若存在,求出这个定点坐标和这条定直线的方程若不存在,说明理由11如图,已知抛物线直线交抛物线C于A,B两点,O为坐
5、标原点.(1)证明:;(2)设抛物线C在点A处的切线为,在点B处的切线为,证明:与的交点M在一定直线上.12已知抛物线,圆,直线与抛物线和圆同时相切.(1)求和的值;(2)若点的坐标为,过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点(点在点的右边),过点的直线与抛物线分别相交于、两点,直线与不重合,直线与直线相交于点,求证:点在定直线上.参考答案1(1);(2)证明见解析.【分析】(1)易得点A的坐标为,然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程;(2)抛物线,则,设,,可分别求得切线PM的方程和切线PN的方程,联立解得点,设直线MN的方程为,代入抛物线的方程得,所以,进而可得点的纵坐标为,命题得证.
6、【解析】(1)点A的横坐标为,所以点A的坐标为,代入解得,所以抛物线的方程为;(2)抛物线,则,设,,所以切线PM的方程为 ,即,同理切线PN的方程为,联立解得点,设直线MN的方程为,代入,得,所以,所以点P在上,结论得证.【点评】方法点睛:直线过定点的解题策略一般有以下几种:(1)如果题设条件没有给出这个定点,那么,我们可以这样思考:由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立,那么我们根据 特殊情况先找到这个定点,再进行证明;(2)直接找出参数之间的关系,并在计算过程中消去部分参数,将直线方程化为点斜式或者斜截式方程,从而得到定点;(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程,观
7、察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征,即可找出直线所过定点坐标,注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.2(1),;(2)点P在定直线上;证明见解析;定直线【分析】(1)根据抛物线的标准方程确定可以满足哪两个条件;(2)设,直线方程代入抛物线方程整理应用应用韦达定理得,同理得,然后由抛物线上两点坐标写出直线和方程,两方程消去后并代入韦达定理的结论可得为定值这样得定直线【解析】(1)若有,则,此时不能满足,能满足,若有,则,都不能满足故能同时满足,抛物线方程为;(2),;,由韦达定理得,同理,;因为即,同理,;消去y得,所以点P在定直线
8、上【点评】关键点点睛:本题考查求抛物线的标准方程,直线与抛物线相交中的定直线问题解题方法是设而不求的思想方法:设直线方程,设交点坐标,直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得两交点的纵坐标(或横坐标)的和与积对定直线问题,需求出动点的坐标,代入上述韦达定理的结论可得坐标满足的性质,从而确定定直线,3(1)证明见解析;(2).【分析】(1)因为,得到得到直线的斜率,设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,可求得中点坐标得到答案;(2)由正弦定理和面积公式得到外接圆半径,根据三角形面积得到内切圆的半径,作比值结合导数法求最值可得答案.【解析】(1)由题意可知,过点作轴的平行线,如图
9、所示,作为,因为,所以,则直线的斜率为,设直线的方程为,设点、,联立,整理得,所以, ,的中点,即,则在直线上;(2)设、,则直线的斜率为,所以,由抛物线的定义可得,由正弦定理得,可得,又由,所以内切圆半径为,所以,将代入可得可得,令,由图形可得,则,设,则,对于方程,所以,对任意的,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,所以,函数在区间上单调递减,所以,存在,使得,即,则且,当时,此时函数单调递减;当时,此时函数单调递增.所以,.因此,的最小值为.【点评】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题
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