专题训练8椭圆中的定值问题 -新人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx
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1、专题8:椭圆中的定值问题1已知椭圆C:的离心率为,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,P是椭圆C上一点,且PF1F2的周长是6(1)求椭圆C的方程;(2)设斜率为的直线交x轴于T点,交曲线C于A,B两点,是否存在使得为定值,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由2已知,分别为椭圆的左、右焦点,为上的动点,其中到的最短距离为1,且当的面积最大时,恰好为等边三角形.(1)求椭圆的标准方程;(2)斜率为的动直线过点,且与椭圆交于,两点,线段的垂直平分线交轴于点,那么,是否为定值?若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由.3已知椭圆的左焦点为F,过F的直线与椭圆在第一象限交于M点,O为坐标原点,三角形的
2、面积为(1)求椭圆的方程;(2)若的三个顶点A,B,C都在椭圆上,且O为的重心,判断的面积是否为定值,并说明理由4已知椭圆的离心率为,并且经过点(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与轴交于点,与椭圆的另一个交点为,点关于轴的对称点为,直线交轴于点,求证:为定值5已知椭圆的左、右顶点分别为,上顶点为,过右焦点的直线交椭圆于,两点,点在轴上方,当轴时,(为坐标原点).(1)求椭圆的标准方程.(2)设直线交直线于点,直线交直线于点,则是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.6已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A,B两点,、是椭圆C的左、右焦点,且面积的最大值为1.(1)求椭圆C的标
3、准方程;(2)如图所示,设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点,过点的椭圆C的切线与交于点M.记直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值,并求出该定值.7已知椭圆的一个焦点和抛物线的焦点相同,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于,两点,以,为邻边作平行四边形,点在椭圆上,问平行四边形的面积是否为定值?若是定值,求出结果,若不是,说明理由.8以椭圆的中心O为圆心,为半径的圆称为该椭圆的“准圆”已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍,且经过点,椭圆C的“准圆”的一条弦所在的直线与椭圆C交于两点(1)求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程;(2)当时,证明:弦的长为定值9已知椭圆:的离心率为
4、,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)已知,是椭圆上的两点,且直线,的斜率之积为,点为线段的中点,连接并延长交椭圆于点,求证:为定值.10已知椭圆的左、右两个焦点分别是,焦距为2,点在椭圆上且满足,.()求椭圆的标准方程;()点为坐标原点,直线与椭圆交于,两点,且,证明为定值,并求出该定值.11已知椭圆的焦距为,且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点,交轴于点,若,求证:为定值.12已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点,与共线(1)求椭圆的离心率;(2)设为椭圆上任意一点,且,证明:为定值13已知,为椭圆的左右焦点,点在
5、椭圆上,且过点的直线交椭圆于,两点,的周长为.(1)求椭圆的方程;(2)对于椭圆,问否存在实数,使得成立,若存在求出的值;若不存在,请说明理由.14已知椭圆的离心率,为椭圆上一点.(1)求椭圆的方程;(2)已知为椭圆的右焦点,过点的直线交椭圆(异于椭圆顶点)于、两点,试判断是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.参考答案1(1) ;(2)存在; 【分析】(1)由椭圆的定义及PF1F2的周长为6,得,椭圆的离心率,所以,解得进而可得椭圆的方程(2)设,设直线,联立椭圆的方程,结合韦达定理,代入化简,即可得出答案 【解析】解:(1)由题意知;,解得,所以椭圆C的方程为(2)假设存在,则,设
6、,设直线,化简得,要使为定值,则有,所以,所以【点评】方法点睛:(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去(或)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.2(1);(2)为定值,证明见解析 【分析】(1)当点在椭圆的左顶点时,到的距离最短,可得,当点在椭圆的上顶点(或下顶点)时,的面积最大,此时为等边三角形,可得,从而可求出,即可求出椭圆的标准方程;(2)易知直线的斜率存在,设其方程为,联立,得到关于的一元二次方程,结合韦达定理,可求得的中点的坐标,从而
7、可得到线段的垂直平分线的方程,令,可求出点的坐标,从而可得到的表达式,然后根据弦长公式,可求出的表达式,从而可求得为定值,经验证当时,为相同的定值. 【解析】(1)由题意,当点在椭圆的左顶点时,到的距离最短,则,当点在椭圆的上顶点(或下顶点)时,的面积最大,此时为等边三角形,则,联立,解得,故椭圆的方程为.(2)为定值.证明:由题意可知,动直线的斜率存在,设其方程为,联立,得.设,则,设的中点为,则,.当时,线段的垂直平分线的方程为,令,得,即,所以.所以.当时,的方程为,此时,.综上,为定值.【点评】方法点睛:求定值问题,常见的方法:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)
8、直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.3(1);(2)是定值,理由见解析. 【分析】(1)由直线过左焦点写出左焦点坐标,得参数c、右焦点坐标,又由三角形面积,求M坐标,即可确定为直角三角形,进而求,根据椭圆定义求参数a,写出椭圆方程即可.(2)讨论直线的斜率:当不存在时,设直线:,由重心坐标的性质求A坐标,由A在椭圆上求,求;当存在时,设直线:,联立直线与抛物线方程结合韦达定理求,即得,由重心坐标的性质确定A的坐标,由A在椭圆上得,结弦长公式、点线距离公式求、A到直线的距离d,求,即可判断是否为定值. 【解析】(1)直线过左焦点F,则有,所以且右焦点,又,得,代入直线方程
9、有,所以.为直角三角形且,由椭圆定义,知:,即,椭圆的方程为.(2)当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,若,则,O为的重心,可知,代入椭圆方程,得,即有,A到BC的距离为,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,由,得,显然,则,O为的重心,可知,由A在椭圆上,得,化简得,由重心的性质知:A到直线的距离d等于O到直线距离的3倍,即,综上得,的面积为定值【点评】 第二问,若三角形顶点坐标分别为,则其重心坐标为求A点坐标,再根据A在椭圆上,求相关参数值或确定参数关系.4(1);(2)证明见解析 【分析】(1)由可得答案;(2)设直线的方程为,与椭圆方程联立利用韦达定理可得点坐标,及直线的方程然后
10、令得、,由可得答案. 【解析】(1)由已知解得所以椭圆:(2)证明:由已知斜率存在以下给出证明:由题意,设直线的方程为,则,由得,所以, ,所以,即,直线的方程为,令得所以,令由得所以,所以=.【点评】本题考查了椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系,关键点是利用韦达定理表示出点坐标,考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.5(1);(2)是,定值为. 【分析】(1)根据,列出关于,的方程,再结合,即可求出,的值,从而可得椭圆的标准方程;(2)先设出,直线,联立方程,利用根与系数的关系及,三点共线和,三点共线找出,之间的关系,解出,然后设,同理可得,由,三点共线,可求出,最后可求得,从而得到,
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