新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期末复习题3（教师版）.docx

1、抚松一中2021-2022年上学期高二年期末复习题三一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）A BC向量与的夹角是 D与所成角的余弦值为【答案】B【解析】选项，计算得，所以选项不正确；选项，所以，所以选项正确；选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.【详解】选项，由题意可知，则，所以选项不正确；选项，又，所以选项正确；选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；选项，设与所成角的平面角为，所以选项不正确.故选：B2. 若动点分

2、别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】设点所在直线的方程为，结合点到直线的距离公式，求得点所在直线的方程，利用原点到直线的距离公式，即可求解.【详解】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线，则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点所在直线的方程为，由，可得，解得，可得，所以到原点的距离的最小值为.故选：B.3.若数列an满足an1 (nN*)，且a11，则a17（ ）A13B14C15D16【答案】A【详解】由an1，得an1an，所以a17a1(a2a1)(a3a2)(a17a16)11613，故选：A.4.已知平面内的两个向量，且若

3、为平面的法向量，则的值分别为（ ）ABC1，2D【答案】A【分析】由空间向量线性关系的坐标运算求坐标，再根据为平面的法向量有，即可求.【详解】由为平面的法向量，得，即，解得故选：A5.广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二上学期期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则直线的方程为（）ABCD【答案】C【分析】根据题意，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，计算可得答案【详解】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则，则以为圆心，为半径为圆为，即圆，为两圆的公共弦所在的直线，则有，作差变形可得：；即直线的方程为，

4、故选C6. 已知棱长为的正方体，点在空间直角坐标系的轴上移动，点在平面上移动，则的最大值是（ ）ABCD【答案】D取的中点，连接，如下图所示：因为平面，平面，则，因为为的中点且，故，取的中点，连接、，如下图所示：因为为的中点且四边形为正方形，故为的中点，又因为为的中点，故，所以，当且仅当、三点共线且在线段上时，等号成立，所以，.因此，的最大值为.故选：D.7. 已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据椭圆的定义确定点的轨迹是椭圆，确定得出方程.【详解】由题意可知，则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆，且点不在轴上，即故选：C8.

5、 已知双曲线，若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，它与另一条渐近线、轴都相切，则该双曲线的离心率为（ ）A3BCD2【答案】D【分析】设圆心在直线上，其坐标为，则该圆与直线相切，与轴相切，然后即可建立方程求解.【详解】双曲线的渐近线为，设圆心在直线上，其坐标为则该圆与直线相切，与轴相切。所以，所以，即故选：D9. 过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 ABCD【答案】A【详解】 如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，设由得，所以，整理得选A10.设为递减的等比数列，则（ ）A35BC55D【答案】B【详解】为递减的等比数列，故选B.11.如

6、图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】B【详解】设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，所以，从而，所以双曲的方程为，故选：B12.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，

7、求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围【详解】解：由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，所以直线的方程为，设圆心坐标为，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，因为，所以故选：B二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知的顶点的坐标为，为其角平分线，点在边上，关于点的对称点在上，则点的坐标为_，所在直线的方程为_【答案】 【分析】根据关于对称，利用中点坐标公式构造方程可求得点坐标；由两点连线斜率公式求得，利用直线夹角公式可构造方程求得，由此得到直线方程.【详解】关于对称，是的

8、中点，设，解得：，即，解得：直线的方程为，即.故答案为：；.14. 已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是_.【答案】3【分析】由2可得点A，B的坐标之间的关系，再用点A，B的坐标表示直线的方程，进而可求直线AB与x轴的交点坐标。将ABO分割成ACO与CBO两个小三角形，进而用A，B的坐标表示ABO与AFO面积的和，再结合点A，B的坐标之间的关系化简，进而利用基本不等式即可求解。【详解】如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m0，n0，则(m2，m)，(n2，n)，m2n2mn2，解得mn1(舍)或mn

9、2.lAB：(m2n2)(yn)(mn)(xn2)，即(mn)(yn)xn2，令y0，解得xmn2，C(2,0).SAOBSAOCSBOC2m2(n)mn，SAOFmm，则SAOBSAOFmnmmnm，当且仅当，即m=时等号成立.故ABO与AFO面积之和的最小值为3.【点睛】本题考查与抛物线有关的最值问题，意在考查学生的运算能力、综合应用能力，本题难度较大。有关求最值的问题，应先表示出来，再转化为函数最值问题。15.我国古代著作庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_尺；要使剩余木棍

10、的长度小于尺，需要经过_次截取.【答案】 【详解】记第天后剩余木棍的长度，则是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，由得，所以的最小值为.所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是尺，要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过次截取.故答案为：；.16.已知点是圆：上任意一点，曲线：与轴交于，两点，直线与曲线交于点，记直线，的斜率分别为，则的取值范围是_.【答案】【分析】根据给定条件求出直线的斜率范围，联立直线与曲线的方程求出点M的坐标，再列出斜率表达式计算即得.【详解】依题意，圆：的圆心，半径，而，如图：令，直线OP：，因点是圆上任意一点，于是得：，解得，显然直线OP与曲线交于两点M及，由曲线对称性知，点

11、A，M，B，围成平行四边形，即直线AM与的斜率为，直线与BM的斜率为，不妨取点M在第一象限，由得，则，于是得，所以的取值范围是：.故答案为：三、 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分） 已知直线，.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由直线方程的一般式中两直线垂直的系数关系求解即可；（2）由直线方程的一般式中两直线平行的系数关系与两平行线的距离公式求解即可【详解】（1）因为，所以，解得.（2）因为，所以，解得或1.当时，直线与重合，不合题意，舍去；当时，直线的方程为，直线的方程

12、为，即，所以所求距离.18.（本小题12分） 已知圆，圆，P是直线上一点，过点P分别作圆的切线，切点分别为A，B（1）若的最小值为1，求实数m的值；（2）若直线l上有且仅有2个点P满足，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）或【分析】（1）依题意可得圆心到直线的距离，则，再由勾股定理可得，即可得到方程，解得即可；（2）依题意可得，设，即可得到的轨迹方程，再由在直线上，则圆心到直线的距离小于半径，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：（1）由题可知，圆的半径为，圆心到直线的距离为因为P是直线l上一点，所以，从而因为的最小值为1，所以，解得（2）因为，且，所以，设，则，即，因为在直线l上，且有且

13、仅有2个点P满足，故只需满足直线l与圆有且仅有2个交点从而到直线的距离，解得或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判定，解决直线与圆的位置关系的关键是利用代数法求出圆心到直线的距离，再比较其与半径的关系；19.（本小题12分） 已知正项数列的前项和为，且，.（）求数列的通项公式；（）数列满足：，记，证明：.【答案】（）；（）证明见解析.【分析】（）根据递推公式，结合等差数列的定义进行求解即可；（）法1：利用错位相减法进行求解证明即可.法2：利用裂项相消法进行求解证明即可.【详解】解：（）当时，得，当时，两式相减得，是首项为1公差为的等差数列，即.（）法1：，-，相减得，即，所以，.法2：，.2

14、0.（本小题12分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【解析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故21.（本小题12分）（2020大连市第二十三中学高二月考）如图，在直三棱柱中，点是中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】以A为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，标记处各个点的坐标.（1）表示出 ，用

15、向量法求异面直线与所成角的余弦值；（2）用向量法求平面与平面所成角的余弦值.【详解】如图示：以A为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.（1） ，所以异面直线与所成角的余弦值.（2）显然面的一个法向量.设面的一个法向量为，则，不妨取y=-2，则由图示，平面与平面所成角为锐角，所以所以平面与平面所成角的余弦值为.22.（本小题12分）（2021上海市松江二中高二月考）已知椭圆的焦距与长轴的比值为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.（1）求椭圆的方程;（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆，相交于两点，与椭圆相交于两点，若，求圆的方程;设与四边形的

16、面积分别为，若，求的取值范围.【答案】（1）（2），【分析】（1）由椭圆以及抛物线的性质，可求得b的值，结合离心率可求得a，得到椭圆方程；（2）用待定系数法求出圆的标准方程；设出M(2，t)，求出直线方程，与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，由弦长公式，求出弦长AB，这样就可用t表示S2的函数，进而就可把表示为t的函数，结合基本不等式，可求出函数的值域，即可求出的取值范围.（1）短轴的下端点在抛物线的准线上，又，（2）由(1)知，设，则的圆心坐标为的方程为当时，所在直线方程为此时与题意不符，所以所以设所在直线方程为又圆的半径由 解得所以圆的方程为当时，由知所在直线方程为与椭圆方程联立，消去，得，则所以因为所以当且仅当t=0时取等号.又因为，所以.当t=0时，直线PQ的方程是x=1，所以，所以.综上的取值范围是.