新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期期末模拟数学试题（二）教师版.pdf

1、合肥八中2020级高二上数学期末模拟（二）一一、单单选选题题：本本大大题题共共 8 小小题题，每每个个小小题题 5 分分，共共 40 分分.1已知向量1,2,3a ，2, 1, 4b ，则下列向量中，使, ,a b c 能构成空间的一个基底的向量是（）A2,1,4c B1,1, 1c C8,7,18c D1,2, 4c 【答案】D【分析】根据向量共面基本定理只需cxayb无解即可满足, ,a b c 构成空间向量基底，据此检验各选项即可得解.【详解】因为2,1,4cb ，所以 A 中的向量c不能与a，b构成基底；因为1,1, 1cab，所以 B 中的向量c不能与a，b构成基底；对于8,7,18

2、c ，设cxayb，则28,27,3418xyxyxy ，解得2x ，3y ，所以23cab，故a，b，c为共面向量，所以 C 中的向量c不能与a，b构成基底；对于1,2, 4c ，设cxayb，则21,22,344xyxyxy ，此方程组无解，所以a，b，c不共面，故 D 中的向量c与a，b可以构成基底.故选：D2 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且2 PMMC，PNND， NMxAByADzAP，则xyz（）A23B23C1D56【答案】B【分析】由2 PMMC，PNND，得21,32PMPC PNPD ，然后利用向量的加减法法则

3、把向量NM 用向量,AB AD AP 表示出来，可求出, ,x y z的值，从而可得答案【详解】解：因为2 PMMC，PNND，所以21,32PMPC PNPD 所以2132NMPMPNPCPD 21()()32ACAPADAP 211()322ABADAPADAP 211366ABADAP ,因为 NMxAByADzAP，所以211,366xyz ，所以23xyz，故选：B3在等比数列中，5443aS，6543aS，则 q 为（）A5B15C4D14【答案】A【分析】根据给定条件把两个等式相减，再结合1(N ,2)nnnaSSnn及等比数列定义即可计算作答.【详解】在等比数列中，因5443a

4、S，6543aS，则655454()4aaSSa，即655aa，所以公比655aqa.故选：A4按照小李的阅读速度，他看完红楼梦需要 40 个小时.2021 年 10 月 20 日，他开始阅读红楼梦 ，当天他读了 20 分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10 分钟，则他恰好读完红楼梦的日期为（）A2021 年 11 月 8 日 B2021 年 11 月 9 日 C2021 年 11 月 10 日D2021 年 11 月 11 日【答案】B【分析】由题意，从 2021 年 10 月 20 日开始到读完的前一天，他每天阅读红楼梦的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为 20

5、，公差为 10，进而根据等差数列的求和公式建立不等式，最后解得答案.【详解】根据题意，从 2021 年 10 月 20 日开始到读完的前一天，他每天阅读红楼梦的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为 20，公差为 10，则(1)201040 602n nn，整理得234800N*nnn，易知数列23480N*nbnnn是递增数列，且2021200,240bb ，所以他恰好读完红楼梦共需要 21 天，而 10 月有 31 天，故他恰好读完红楼梦的日期为 2021 年 11 月 9 日.故选：B.5圆 C：222340 xyrr上至少存在一点到原点的距离为 1，则 r 的最大值为（）A4B5

6、C6D7【答案】C【分析】根据题意分析出原点与圆心间的距离所满足的条件，从而求 r 的最大值.【详解】因为圆 C：222340 xyrr上至少存在一点到原点的距离为 1，所以11rOCr ，又因为5OC ，所以1515rr ，解得46r，所以 r 的最大值为6.故选：C.6已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P在正方体内部，且满足1132243APABADAA ，则点P到直线 AD 的距离是（）A12B56C34D23【答案】B【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求解点到线的距离即可.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则0,0,0A，1,0,0B，0,1,0D，

7、10,0,1A，故1,0,0AB ，0,1,0AD uuu r，10,0,1AA ，因为1132243APABADAA ，所以1 3 2,2 4 3AP ，易知34AP ADAD ，故点P到直线 AD 的距离2218195144166AP ADdAPAD .故选：B.7已知圆22:4O xy和直线1:3lyx ，若斜率为3的直线2l与圆 O 交于 A，B 两点，与直线1l交于点 C（C 点在圆 O 内）.若| 1ACBC，则|AB （）A2B2 3C13D2 2【答案】C【分析】作2OHl，垂足为 H，即可得到直线OH的斜率，从而得到OH与直线1l夹角为6，再根据| 2 | 1ACBCCH，即

8、可求出|CH与|OH，最后利用勾股定理及垂径定理计算可得；【详解】解：作2OHl，垂足为 H，则 H 为AB中点，因为直线1l斜率为3， 所以直线OH的斜率为33， 即直线OH的倾斜角为56， 所以OH与直线1l夹角为6，因为| 2 | 1ACBCCH，所以1|2CH ，所以3|2OH ，所以3| 2 4134AB .故选：C8.已知直线(1)(0)yk xk与函数sinyx的图象恰有四个公共点11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)C x y，44(,)D xy.其中1234xxxx，则有A4sin1x B444sin(1)cosxxxC44sincosxkxD444sin(1)

9、tanxxx【答案】B【分析】依题意，在同一坐标系中作出直线1 (0)yk xk与函数sinyx的图象，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，从而将切点坐标代入直线方程（即切线方程）即可求得答案【详解】直线1 (0)yk xk与函数sinyx的图象恰有四个公共点，如图：当2x （ ， ）时，函数ysinxsinxycosx ，依题意，切点坐标为44xy（ ， ），又切点处的导数值就是直线10yk xk（）（ ）的斜率k，即4kcosx ，44444411yk xcosx xsinxsinx （）（），4441sinxxcosx（），故选 B9 已知双曲线C：2212yx 的左， 右焦点为1F，2

10、F，P为双曲线右支上的一点，1230PFF，I是12PFF的内心，则下列结论错误的是（）A12PFF是直角三角形B点I的横坐标为 1C23 1PI D12PFF的内切圆的面积为【答案】D【分析】先求出点P的坐标，进一步可判断选项 A，根据是直角三角形，从而可以判断其它选项.【详解】不妨设00(,)P xy为第一象限上的点，而1(3,0)F ，所以有002200tan30312yxyx，化简整理得20052 390 xx，解得03x或03 35x （舍） ，所以点 P 的坐标为3,2，又23,0F，所以212PFFF，所以 A 正确；由双曲线的定义，可知12PFF的内切圆与 x 切于双曲线的右顶

11、点，所以 B 正确；结合图象，可得圆 I 的半径为31，所以 I 的坐标为1, 31，且223133231PI ，所以 C 正确；D 不正确.故选：D10 （2021河北沧州高二期末）已知点1,0F，过直线1x 上一动点 P 作与 y 轴垂直的直线，与线段PF的中垂线交于点 Q，则 Q 点的轨迹方程为（）A221xyB221xyC22yxD24yx【答案】D【分析】根据中垂线性质得到QFQP，结合抛物线的定义判断出Q点的轨迹是抛物线，由此求解出轨迹方程.【详解】设,Q x y，因为PF的中垂线经过点Q，所以QFQP，又因为PQy轴，所以QP表示Q到直线1x 的距离，且QF表示Q点到F点的距离，

12、F点不在直线1x 上，由抛物线的定义可知：Q点的轨迹是以F为焦点，以直线1x 为准线的抛物线，设轨迹方程为220ypx p，所以12p，所以2p ，所以轨迹方程为24yx.故选：D.【点睛】方法点睛：求解动点,P x y的轨迹方程的常见方法：（1）定义法：如果动点P的运动规律符合我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件待定方程中的参数，即可求得轨迹方程；（2）直接法：如果动点P的运动规律满足的等量关系容易建立，则可用点P的坐标, x y表示该等量关系，即可得轨迹方程；（3）相关点法：如果动点P的运动是由另外一点P的运动引发的，而点P的运动规律已

13、知（坐标满足某已知的曲线方程） ， 则用点P的坐标, x y表示出相关点P的坐标， 然后将点P的坐标代入已知曲线方程，即可得到点P的轨迹方程；（4）交轨消参法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程.11(多选多选题题)已知数列 na的满足11a ，26a ，11nnnana，nN，nS是数列 na的前 n 项和，则下列结论正确的有（）A2B数列nan是等差数列C数列3nna是等差数列D21 314nnnS【答案】CD【分析】利用赋值法判断 A 选项的正确性，利用凑配法判断 B 选项的正确性，利用累乘

14、法判断 C 选项的正确性，结合错位相减求和法来求得nS，从而判断 D 选项的正确性.【详解】1n 时，212aa，而121,6,3aa，故A选项错误；131nnnana，即131nnaann，又1101a ，所以数列nan是等比数列，故B选项错误；所以11=3,3nnnnaann，33nnan，数列3nna是等差数列，故 C 选项正确；因为2112 33 33nnSn ，所以23332 33 33nnSn ，所以2313121 3333332nnnnnSnn ，所以21 314nnnS，故 D 选项正确.故选：CD12.（多选题）（多选题）已知函数 = +2af xxx，若曲线 =y f x存

15、在两条过1,0点的切线，则 a 的值可以是 A.4B.2C. 0D. 2【答案】AD【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的切线问题，属于基础题.设切点坐标为000(,)2axxx，利用导数求出切线的斜率，得到切线的点斜式方程00200(1)()22aayxxxxx，由切线过点(1,0)，可得002001122aaxxxx，即200220 xaxa，把切线条数转化为方程解的个数问题解决.【解答】解;由题得2( )12afxx ，设切点坐标为000(,)2axxx，则切线方程为00200(1)()22aayxxxxx，又切线过点(1,0)，可得00200(1)(1)22aaxxxx，整理得20

16、0220 xaxa，因为曲线( )yf x存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足2480aa ，解得0a 或2.a 故选.AD二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.把答案填在答题卡中的横把答案填在答题卡中的横线上线上.13若直线l将圆222440 xyxy平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为【答案】10 xy 或20 xy【详解】由222440 xyxy可得22129xy，所以圆心1, 2，半径为3，若直线l将圆222440 xyxy平分，则直线l过圆心1, 2，若横纵截距都等于0，则直线l过原点，此时直线l斜率为2，直线

17、l方程为2yx 即20 xy，若截距不等于0，设方程为1xyaa，则121aa，可得1a ，所以1xy 即10 xy ，综上所述直线l的方程为10 xy 或20 xy，14已知抛物线C：22xy上有两动点P，Q，且| 5PQ ，则线段PQ的中点到x轴距离的最小值是_.【答案】2【分析】设抛物线C的焦点为F，由| |PQPFQF，结合抛物线的定义可得线段PQ的中点到x轴距离的最小值.【详解】设抛物线C的焦点为F，点P在抛物线的准线12y 上的投影为1P，点Q在直线12y 上的投影为1Q，线段PQ的中点为E，点E到x轴的距离为d，则11| | | 5PPQQPFQFPQ111(|)0.52dPPQ

18、Q,2d ，当且仅当|= |PFQFPQ即,P F Q三点共线时等号成立， 线段PQ的中点到x轴距离的最小值是 2，故答案为：2.15当曲线24yx与直线240kxyk有两个不同的交点时，实数 k 的取值范围是_【答案】3 1,)4 【分析】求出直线恒过的定点，结合曲线24yx的图象，数形结合，找出临界状态，即可求得k的取值范围.【详解】因为24yx，故可得2204 yxy，其表示圆心为0,0，半径为2的圆的上半部分；因为240kxyk，即42yk x，其表示过点2,4A ，且斜率为k的直线.在同一坐标系下作图如下：不妨设点2,0B，AB直线斜率为1k，且过点A与圆相切的直线斜率为2k数形结合

19、可知：要使得曲线24yx与直线240kxyk有两个不同的交点，只需12kkk即可.容易知：140122k ；不妨设过点A与224xy相切的直线方程为242ykx，则由直线与圆相切可得：2222421kk，解得234k ，故31,4k .故答案为：3 1,)4 .16.关于x的方程ln0 xax在区间0,5上有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是_.【答案】ln5 1,5e【分析】由题意知：函数 fx的图象在区间0,5上的图象与直线yax有三个不同的交点，求出直线yax与 fx相切时的a值，以及yax过点5,ln5时的a值，数形结合即可求解.【详解】令 ln ,1lnln ,01x xf xx

20、xx，则关于x的方程ln0 xax在区间0,5上有三个不相等的实根，等价于函数 fx的图象在区间0,5上的部分与直线yax有三个不同的交点，yax是过原点斜率为a的直线，设过原点且与 ln1f xx x的图象相切的直线与 fx的图象相切于点00,xf x，所以00lnf xx， 1fxx，所以001fxx，所以切线方程为000011ln1yxxxxxx，整理可得：0011 lnyxxx ，因为切线过原点，所以000 1 ln x ，即0ln1x ，所以0ex ，所以设过原点且与 ln1f xx x的图象相切的直线方程为1eyx，记5,ln5A，则直线OA的斜率为ln55k ，由图知：要使函数

21、fx的图象在区间0,5上的部分与直线yax有三个不同的交点，则令直线yax的斜率在过原点的与 ln1f xx x的图象相切的直线的斜率和直线OA的斜率之间，所以ln515ea，所以实数a的取值范是ln5 1,5e故答案为：ln5 1,5e.三、解答题：三、解答题：解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知在函数321( )23f xxxax（aR）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线yx垂直（1）求a的值和切线l的方程；（2）设曲线( )yf x在任一点处的切线倾斜角为

22、，求的取值范围【答案】 （1）3380 xy（2）02或34【详解】（1）2( )4fxxxa，由题意知，方程241xxa 有两个相等的根，2( 4)4(1)0a ，3a 此时方程241xxa 化为2440 xx，得2x ，解得切点的纵坐标为2(2)3f，切线l的方程为2(2)3yx ，即3380 xy（2）设曲线( )yf x上任一点( , )x y处的切线的斜率为k（由题意知k存在） ，则由（1）知2243(2)11kxxx ，由正切函数的单调性可得的取值范围为02或3418如图所示，在矩形ABCD中，4AB ，2BC ，E为DC的中点，沿AE将AED翻折，使二面角DAEB为直二面角（1）

23、求证：ADBE；（2）求DE与平面ABCE所成角的大小；（3）求二面角DECB的正切值【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）2.【分析】（1）根据面面垂直的性质，即可证明直线BE 面AED，再由线面垂直证明线线垂直即可；（2）过D作DM垂直于AE,则DEM即为所求，利用几何关系即可求得角度；（3）根据（1） （2）所得，作出二面角的平面角，再利用几何关系求解即可.（1）在矩形ABCD中，因为4,2,ABBCE为DC中点，故可得2ADDE，在Rt ADE中，由勾股定理可得：222 2AEADDE；同理，在Rt BCE中，可得：2 2EB ，故在AEB中，满足22216AEBEAB，故可得：B

24、EAE；又二面角DAEB为直二面角，且面ADE 面AEBAE,又BE 面AEB，AEBE，故可得BE 面AED；又AD 面AED，故可得BEAD.（2）取AE中点为M，连接DM，如下图所示：因为2,DADEM为AE中点，故可得DMAE；又二面角DAEB为直二面角，且面ADE 面AEBAE，DM 面ADE，且DMAE，故DM 面AEB，则DEM即为所求DE与面ABCE所成角.在Rt DME中，2,2 2,2DEAEME，故可得2cos2MEDEMDE，又0,2DEM，故4DEM.即DE与平面ABCE所成角的大小为4.（3）过M作EC的垂线交CE的延长线于H，垂足为H，连接DH.由（2）可知：DM

25、 面ABCE，HE 面ABCE，故可得HEDM，又,HEHM DMMHM DM MH面DMH，故HE 面DMH，又DH 面DMH，故DHHE，又MHHE，故DHM即为所求二面角DECB的平面角.由（2）可知：2,2MEDE，故可得222DMDEME；由（1）可知：BEAE，又,CEBC CECB，故可得4HEM，在RtHEM中，2sin22HMHMHEMME，故可得1HM ，在RtDHM中，2tan21DMDHMHM.故二面角DECB的正切值为2.19已知抛物线2:2(0)C ypx p与直线4ykxk相交于,A B两点，O为坐标原点，90AOB.（1）求p；（2）已知点4,4 ,8, 4MN

26、，过点N的直线l交抛物线C于,P Q两点（异于点M） ，证明：PMQ为直角.【答案】（1）2（2）证明见解析【分析】（1）由4ykxk于22ypx消去y，求得根与系数关系，利用12120 x xy y列方程，化简求得p.（2） 设出直线PQ的方程并代入抛物线方程， 消去x， 求得根与系数关系， 计算1PMQMkk 来证得PMQ为直角.（1）将4ykxk代入22ypx，有222282160k xkp xk，设1122,A x yB xy，易知0,0k ，可得1212121216,2228x xy ypxpxp x xp ，而1212900AOBx xy y，即81602pp.（2）设,PPQQP

27、 xyQ xy，直线:84PQ xm y，将48xmym代入224448416320yxmymymym，易知0，故1632,4PQPQy ymyym ，而2244444444444444QQPPPMQMPQPQPQyyyykkyyxxyy161611632 1616416QPQPmmy yyy 故,90PMQMPMQ.20 已知等差数列 na中， 前n项和为nS，11a ， 数列 nb为公比不等于1的等比数列，11b ，且满足：225bS，3310bS.（1）求na与nb；（2）记nnnacb，数列 nc的前n项和为nT，若不等式1( 1)2nnnnT对一切nN恒成立，求实数的取值范围.【答案

28、】（1）nan,12nnb；（2）2,3【分析】（1）设等差数列 na的公差为 d,等比数列 nb的公比为1q ,由11a ,11b ,且满足:225bS，3310bS.可得25qd,23310qd ,联立解出即可得出.（2）112nncn,利用“错位相减法”求和，不等式1( 1)2nnnnT,即111( 1)4(2)22nnnnn,化为:12142nn.对 n 分类讨论,利用数列的单调性即可得出.（1）设等差数列 na的公差为 d,等比数列 nb的公比为1q ,11a ,11b ,且满足:225bS，3310bS.可得25qd,23310qd ,联立解得2,1qd,1 (1)nann ,12

29、nnb；（2）11212nnnnnacbnn， nc的前 n 项和211111 23222nnTn ,21111112(1)22222nnnTnn ,两式相减得2111111122222nnnTn 11121212nnn 12(2)2nn,114(2)2nnTn，不等式1( 1)2nnnnT,即111( 1)4(2)22nnnnn,化为:12142nn，当 n 为偶数时,2 12432，当 n 为奇数时,1 12422,解得2 ，1( 1)2nnnnT对一切nN恒成立,23 ，实数的取值范围是2,321. 已知函数 200cos2f xxfxfx ，其导函数为 fx，函数 ( )(1)cos2

30、()g xf xaxxaR， lnh xxx。（1）求 f x的解析式（2）若经过点(0, 1)A存在一条直线 l 与( )g x图象和 h x图象都相切，求a【解答】（1）因为 200cos2f xxfxfx ，所以 020ff .因为 200sinfxxffx，所以 00ff，故 001ff.（2）设直线 l 与( )lnh xxx相切的切点为( ,ln)m mm，由( )lnh xxx的导数为( )1lnh xx ，可得切线的斜率为1lnm，则切线的方程为ln(1ln)()ymmm xm，将(0, 1)A代入切线的方程可得1ln(1ln)(0)mmmm ，解得1m ，则切线 l 的方程为

31、1yx，联立21yxyxax，可得2(1)10 xax，由2(1)40a，解得1a 或 3，22已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右顶点为 A，斜率为(0)k k 的直线 l 交 E 于 A，B 两点，当32k 时，|7AB ，且OAB 的面积为2ab（O 为坐标原点） （1）求椭圆 E 的方程；（2）设 F 为 E 的右焦点，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H，若BFHF，且MAMO，求 k 的值【答案】（1）22143xy；（2）64k .【分析】（1）根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用一元二

32、次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.（1）右顶点为 A 的坐标为( ,0)a，当32k 时，所以直线 l 的方程为：3()32302yxaxya，因为|7AB ，且OAB 的面积为2ab，所以有032 031732234aabb ，因为OAa，OAB 的面积为2ab，所以3OBb，即(0,3)B，而|7AB ，所以22374aa，所以椭圆 E 的方程为：22143xy；（2）由（1）可知：(2,0)A，因为22431cab，所以(1,0)F，设直线 l 的方程为(2)yk x，与椭圆方程联立得：2222221(43)161612043(2)xykxk xkyk x，设11(,)B x y，于是有22112216128624343kkxxkk，可得11212(2)43kyk xk，即2228612(,)43 43kkBkk，因为MAMO，所以M的横坐标为1，纵坐标为：(12)kk ，即()1,Mk，因为0k ，所以直线MH的斜率为：1k，所以直线MH的方程为：1()(1)ykxk ，令0 x ，得1ykk，即1(0,)Hkk，2229412(,)43 43kkBFkk ，1(1,)HFkk，因为BFHF，所以BFHFuuu ruuu r，因此0BF HF ，22229412161()08343434kkkkkkkk .