第一章 空间向量与立体几何单元测试（B）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx

1、第一章 空间向量与立体几何（B）一、单选题1，若，则实数的值是（ ）ABC2D02如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（ ）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC3已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为（ ）ABCD4如图，三棱锥SABC中，SASBSC，ABC90，ABBC，E，F，G分别是AB，BC，CA的中点，记直线SE与SF所成的角为，直线SG与平面SAB所成的角为，平面SEG与平面SBC所成的锐二面角为，则（ ）ABCD5如图，已知三棱锥的底面

2、是正三角形，侧面是菱形，且，是的中点，则二面角的余弦值为（ ）ABCD6已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是ABCD7如图，在正四棱锥中，则二面角的平面角的余弦值为ABCD8如图，在矩形ABCD中，AB2，BC1，E、N分别为边AB，BC的中点，沿DE将ADE折起，点A折至A1处（A1与A不重合），若M、K分别为线段A1D，A1C的中点，则在MDE折起过程中，（ ）ADE可以与A1C垂直B不能同时做到MN/平面A1BE且BK/平面A1DEC当MNA1D时，MN平面A1DED直线A1C、BK与平面BCDE所成角分别为1、2，1，2能够同时

3、取得最大值二、多选题9空间四个点，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A，四点不共线B，四点共面，但不共线C，四点中任意三点不共线D，四点不共面10如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF平面B1DF.则AF的长度为（ ）AaBC2aD11已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）ABC向量与向量的夹角是60D正方体ABCDA1B1C1D1的体积为12（多选题）正三棱柱中，则（ ）A与底面的成角的正弦值为B与底面的成角的正弦值为 C与侧面的成角的正弦值为D与侧面的成角的正弦值为三、填空题13在空间直

4、角坐标系Oxyz中，已知点2，0，则_14已知空间向量，若，则的值为_15在正四面体中，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_.16如图，已知三棱锥的所有棱长均相等，点满足，点在棱上运动，设与平面所成的角为，则的最大值为_.四、解答题17如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，为中点.（）设平面与直线交于点，求线段的长；（）求直线与平面所成角的正弦值.18如图所示的几何体，其底面是直角梯形，底面.（1）若，求直线与平面的夹角；（2）若，求平面与平面所成二面角的余弦值与的关系，并求出余弦值的取值范围.19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，且ACAA14，CABCA

5、A160.（1）求证：平面AB1C平面ABB1A1；（2）求点A到平面A1B1C的距离.20如图，在菱形中，点为中点，平面（1）求证：平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.21在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EFAB，BAF90，AD2，ABAF2EF2，点P在棱DF上（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（2）若二面角DAPC的正弦值为，求PF的长度22如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案1D【解析】因为，且，根据空间向量平行的坐标表示公式可得：， 解得：，故

6、选：D2D【解析】因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE，且AE，PE平面PAE，所以BC平面PAE，因为DFBC，所以DF平面PAE，又DF平面PDF，从而平面PDF平面PAE.因此选项B，C均正确.故选：D3C【解析】如图，设中点为，因为为的中点，所以平面，即，因为，所以，所以点在以为圆心，半径为1的位于平面上的半圆上，作平面图如图所示，由图像知，的最小值即到的距离减去半径，所以，所以的最小值：.故选：C4A【解析】因为ABBC，SASBSC，所以ABSE，所以AB平面SGE，ABSG，又SGAC，所以S

7、G平面ABC，过G作SE的垂线l，显然l垂直平面SAB，故直线SG与平面SAB所成的角为GSE，同理，平面SEG与平面SBC所成的锐二面角为FSG，由tan，得，也是直线SF与平面SEG所成的角，由coscoscoscos，则，所以，故选：A.5B【解析】解：取的中点，连接，则，又侧面是菱形，且，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，平面建立以为坐标原点，的反向延长线，分别为，轴的空间直角坐标系,如图：设，则，则平面的法向量为，则，设平面的法向量为，则，令，得，二面角的余弦值是.故选：B.6D【解析】不妨设.对于A选项，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.对于B选项，由于的竖

8、坐标，故不在平面上，故B选项错误.对于C选项，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.对于D选项，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四点共面.故选：D.7B【解析】由于几何体为正四棱锥，故，在内分别作边上的高.故是二面角所成二面角的平面角.设，则，由于，故，则.由得，则在三角形中，.故选B.8D【解析】对于A，连接EC，如图，假设DEA1C，由平面几何的知识可得DEEC，DE平面A1EC，DEA1E，而A1ED45，故假设不成立，A错误；对于B，取DE，DC中点G，F，连接GM，GN，FK，FB，如图，GM/A1E，GN/EB，

9、FK/A1D，BF/DE，平面A1BE/平面GMN，平面FKB/平面A1DE，故能同时做到MN/平面A1BE且BK/平面A1DE，B错误；对于C，连接ME，EN，DN，如图，当MNA1D时，而，MN与ME不垂直，即MN不垂直平面A1DE，C错误；对于D，A1在以DE为直径球面上，球心为G，且A1GDE，A1的轨迹为圆弧（A1与A不重合，在平面下方时与该情况一致），如图弧AF所示， 当点A1到平面BCDE的距离最大时，直线A1C与平面BCDE所成角取得最大值；连接EC，取EC中点T，连接TK，TB，如图，又，为定值，当点K到平面BCDE的距离最大时，直线BK与平面BCDE所成角取得最大值，此时点

10、A1到平面BCDE的距离也最大，D正确.故选：D.9ACD【解析】因为，为空间的一个基底，所以，不共面，即，四点中任意三点不共线，且四点不共面，故选：ACD10AC【解析】解：平面，在矩形中，设，联立解得，或则的长度为或故选：AC11AB【解析】由向量的加法得到：，所以A正确；，AB1A1C，故B正确；ACD1是等边三角形，AD1C60，又A1BD1C，异面直线AD1与A1B所成的夹角为60，但是向量与向量的夹角是120，故C不正确；ABAA1，故0，因此D不正确.故选：AB.12BC【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐

11、标系；设，则.底面的其中一个法向量为，与底面的成角的正弦值为，错对的中点的坐标为,侧面的其中一个法向量为，与侧面的成角的正弦值为：，故对错；故选：BC13【解析】在空间直角坐标系Oxyz中，点2，0，故答案为14【解析】由题意，知由，得，即，解得故答案为：.15【解析】解：为棱的中点，设又 为棱的中点又的两两夹角都为，并设 又 异面直线与所成角的余弦值为故答案为：16【解析】依题意可知，该几何体为正四面体，设顶点在底面的射影是，是底面中心，连接，过作，交于，连接.设正四面体的棱长为，.在三角形中，由余弦定理得.由于平面，所以平面，所以是直线与平面所成的角，设为.在三角形中，所以.所以.所以当时

12、，的最大值为.故答案为：17（）；（）.【解析】（）由棱柱特点知：平面平面，平面，平面，平面平面，平面，又为中点，为中点，；（）以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，令，解得：，即直线与平面所成角的正弦值为.18（1）；（2）平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，余弦值的范围是.【解析】（1）在直角梯形中，作交BC于H，因，则，又底面，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因此，则，设平面的法向量为，则，即，令得，于是得，所以；（2），设平面的法向量为，则，即，令得，设平面的法向量为，即，令得，因此，平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，因，所以平面与平

13、面所成二面角的平面角的余弦值为，其范围是.19（1）证明见解析；（2） .【解析】解：（1）证明：连接A1B，设AB1A1BO，连接CO，ACAC，CABCAA1，ABAA1，CABCAA1，CBCA1，O为A1B的中点，A1BCO，四边形ABB1A1为正方形，A1BAB1，又平面AB1C，COAB1O，A1B平面AB1C，平面ABB1A1，平面AB1C平面ABB1A1，（2）解：CAAA14，CAA160，CA14，在RtCOA1中，又，又，AC4，OA2+OC2AC2，COAO，平面AB1C平面ABB1A1，平面AB1C平面ABB1A1AB1，CO平面ABB1A1，CO为三棱锥CAA1B1

14、的高，CA1A1B1B1C4，点A到平面A1B1C的距离.20(1)见解析(2)【解析】（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，BAD120，所以ACD为正三角形，所以ACAD，又因为点N为CD中点，所以CDANPA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPAPAANA，CD平面PAN（2）由（1）知，CD平面PAN，CD平面PCD，平面PAN平面PCD，且平面PAN平面PCDPN，过A作AHPN于H，则AH平面PCD，连接CH，则ACH为直线AC与平面PCD所成角在RTPAN中，PA，AN，由勾股定理得出PN，根据面积相等法得AH在RTACH中，sinACH即直线AC与平面PCD所成角的正弦值是

15、21（1）（2）【解析】（1）BAF90，AFAB，又平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB，AF平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，AD2，ABAF2EF2，P是DF的中点，B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），（1，0，2），（2，1，1），设异面直线BE与CP所成角的平面角为，则cos，异面直线BE与CP所成角的余弦值为（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），01，即（a，b，c2）（0，2，2），解得a0，b2，c22，P（0，2，22），（0，2，22），（2，2，0），设平面APC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，），平面ADP的法向量（1，0，0），二面角DAPC的正弦值为，|cos|，解得，P（0，），PF的长度|PF|22(1)证明过程详见解析（2）【解析】解：（1）如图，过点作于，连接EH，. 平面平面，平面，平面平面于 平面.又平面，.， 四边形为平行四边形. ， 平面，平面，平面. （2）连接.由（1）得为中点，又，为等边三角形，.分别以，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.， ，设平面的法向量为.由，得令，得.， 直线与平面所成角的正弦值为.