3.3.1 抛物线及其标准方程 同步提升训练小卷- 新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx

1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）3.3.1 抛物线及其标准方程一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ABCD2抛物线的准线方程是（ ）ABCD3如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线4过点（1，1）的抛物的焦点坐标为（ ）ABCD5是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，则线段的中点到 轴的距离为（ ）ABCD6设抛物线的焦点

2、在直线上，则该抛物线的准线方程为（ ）ABCD7抛物线上点到轴的距离为3，则点到抛物线焦点的距离为（ ）A2B3C4D8抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）ABC1D2二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9（多选题）对抛物线，下列描述不正确的是()A开口向上，焦点为B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为D开口向右，焦点为10(多选)若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹不可能是（ ）A抛物线B线段C直线D射线11(多选)对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（ ）A焦点坐标为(0，1)B焦点坐标为C准线方程为y=-D准线方程为y=-112设抛物线C：y22

3、px（p0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则（ ）A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x三、填空题：本题共4小题13已知点在抛物线上，则_；点到抛物线的焦点的距离是_.14已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，则抛物线方程为_15已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，若线段的垂直平分线与轴的交点为，则_16设点是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点的坐标为，则的最小值为_四、解答题：本题共6小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知点，直线，

4、动点到点的距离等于它到直线的距离()试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；()若曲线与直线相交于两点，求的面积.18已知拋物线C：经过点，其焦点为F，M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点求抛物线C的方程以及焦点坐标；若与的面积相等，证明直线l与抛物线C相切19已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与（1）中的轨迹相切于点，且与圆心为的圆，相交于，两点，当的面积最大时，求点的坐标.20已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同两点、，过作轴的垂线分别与直线、交于点、，其中为坐标原点.（1）求

5、抛物线的方程；（2）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；（3）求证：为线段的中点.21已知抛物线的焦点为，直线与的交点为、，与轴的交点为.（1）若、成等差数列，求抛物线的方程；（2）若，求.22已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.参考答案1A【解析】抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A2B【解析】由题意可得，抛物线的准线方程为.故选：B.3D【解析】设切线与圆的公共点，过作直线的垂线，过作，垂足为，连，则， 所以，即动点到定

6、点的距离等于动点到定直线的距离，且定点不在定直线上， 根据抛物线定义知，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线 故选：D4C【解析】因为抛物过点（1，1），将点的坐标代入抛物线方程得：，抛物线方程：，焦点在轴，焦点坐标.故选：C5D【解析】是抛物线的焦点,准线方程,设,线段AB的中点横坐标为,线段AB的中点到y轴的距离为所以D选项是正确的6D【解析】由题意，抛物线的焦点，又由焦点在上，解得，所以抛物线的准线方程为，故选D.7C【解析】解：因为抛物线的标准方程为，所以抛物线的准线方程为： 又因为点到轴的距离为3，所以点到准线的距离为根据抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离为.故选：C8C【解析】

7、根据的几何意义可知，抛物线的焦点到其准线的距离为因为，所以 故选：C9BCD【解析】因为抛物线的标准方程为，所以，开口向上，因此抛物线的焦点为，准线为.故A正确，BCD都错.故选：BCD.10BCD【解析】因为动点到定点的距离等于到定直线的距离，且点不在直线上，符合抛物线的定义，所以P点的轨迹是抛物线，不可能是线段、直线、射线，故选：BCD11BC【解析】由y=4x2，得，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为.故选：BC12BCD【解析】根据题意，作图如下：因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以，又，所以为等边三角形，B正确；ABD90，过F作FCAB交于C，则C为AB的中点，C

8、的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，所以A不正确，焦点到准线的距离为，所以C正确；抛物线的方程为：y26x，所以D正确.故选：BCD132 2 【解析】点代入抛物线方程得：，解得：；抛物线方程为：，准线方程为：，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：故答案为2,214【解析】因为椭圆的右焦点为，所以抛物线的，而抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，所以抛物线方程为：故答案为：15【解析】设点、，则，线段的中点，从而的中垂线方程为，该直线过点，从而，从而，从而.故答案为：.16【解析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，所以，要求取得最小值，即求取得最小，当、三点共线时

9、最小为故答案为：17（）点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为（）【解析】（）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为；（）设, 联立，得 , , 直线经过抛物线的焦点, 点到直线的距离，18（）抛物线的方程为x2=4y，其焦点坐标为（ 0，1），（）见解析【解析】解：（）抛物线x2=2py过点P（2，1），4=2p，解得p=2，抛物线的方程为x2=4y，其焦点坐标为（ 0，1），（）设（x0，），由AFM的面积等于AFB的面积，可得|MA|=|AB|，即A是MB的中点，A（，0），B（0，-），直线l的方程为y=（x-），直线l的方程与

10、抛物线C的方程联立得，得x2-2x0x+x02=0，得x=x0，y=，直线l与抛物线C只有一个公共点，直线l与抛物线相切，且切点为M19（1）；（2）【解析】（1）设，点，直线，过动点作的垂线，垂足为点，整理，得动点的轨迹的方程为（2），所以求导得切点，所以切线斜率所以切线为整理得，则时，面积最大，此时圆心到直线的距离为则有，解得，点的坐标为20（1）；（2）焦点坐标为，准线方程为；（3）证明见解析.【解析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程得，解得，因此，抛物线的标准方程为；（2）由（1）知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为；（3）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

11、由韦达定理得，.直线的方程为，联立，得点，直线的方程为，联立，得点，点的坐标为，则，因此，为线段的中点.21（1）；（2）.【解析】（1）设、，由得，所以，直线的斜率为，得，、成等差数列，解得，因此，抛物线的方程为；（2），即，联立，消去得，由韦达定理得，将代入，得，将代入，得，所以，点到直线的距离.22（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.【解析】（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；（2）设，、.因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得，则由韦达定理得，.，即，显然，则点，同理可求得点的坐标为，所以，因此，以为直径的圆过原点.