新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元复习(易)解析版.docx

1、人教版(2019)选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元复习(易)学校：_姓名：_班级：_考号：_题号一二三四总分得分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 点A3,2,1关于Oxy平面的对称点为( )A. -3,-2,-1B. -3,2,1C. 3,-2,1D. 3,2,-1【答案】：D【解析】：点A(3,2，1)关于xOy平面的对称点为A(3,2，-1)故选：D2. 已知a=1,0,1，b=-2,-1,1，c=3,1,0，则a-b+2c等于()A. 310B. 210C. 10D. 5【答案】：A【解析】：因为a-b+2c=(

2、9,3,0)，所以a-b+2c=92+32+02=310故选A3. 对于空间向量a=(1,2，3)，b=(,4，6).若a/b，则实数=()A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】：D【解析】：a/b， 设a=kb， 又空间向量a=(1,2，3)，b=(,4，6)， 1=k，2=4k，3=6k， 解得k=12，实数=2故选D4. 三棱柱ABC-A1B1C1中，N是A1B的中点，若CA=a，CB=b，CC1=c，则CN=( )A. 12(a+b-c)B. 12(a+b+c)C. a+b+12cD. a+12(b+c)【答案】：B【解析】：CN=CB+BN=CB+12BA1 =CB+12(BA

3、+AA1) =CB+12(CA-CB+CC1) =b+12(a-b+c) =12(a+b+c)， 故选B5. 已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AEAF的值为()A. a2B. 12a2C. 14a2D. 34a2【答案】：C【解析】：如图所示， AF=12AD，AE=12(AB+AC)， AEAF=14(ADAB+ADAC)=14(a2cos60+a2cos60)=14a2故选C6. 若向量a=(1,1),b=(2,-1,-2)，且a与b夹角的余弦值为26，则等于()A. -2B. 2C. -2或2D. 2【答案】：A【解析】：向量a=(1,1),b=(2,-

4、1,-2)， a与b夹角的余弦值为26， cos=ab|a|b|=-2+29=26， 解得=-2(=2舍去)故选：A7. 如果向量a=(2,-1,3)，b=(-1,4，2)，c=(1,-1,m)共面，则实数m的值是()A. -1B. 1C. -5D. 5【答案】：B【解析】：向量a=(2,-1,3)，b=(-1,4，2)，c=(1,-1,m)共面， 存在x，y，使得a=xb+yc， (2,-1,3)=(-x+y,4x-y,2x+my)， -x+y=24x-y=-12x+my=3，解得x=13，y=73，m=1 实数m的值是1故选：B8. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别

5、是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为( )A. 110B. 25C. 3010D. 22【答案】：C【解析】：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A(2,0，2)，N(1,0，0)，B(0,2，2)，A1(2,0，0)，B1(0,2，0)，M(1,1，0)；BM=(1,-1,-2),AN=(-1,0,-2)；cos=365=3010；BM与AN所成角的余弦值为3010故选C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，

6、部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知点P是ABC所在的平面外一点，若AB=(-2,1，4)，AP=(1,-2,1)，AC =(4,2，0)，则A. APABB. APBPC. BC=53D. AP/BC【答案】：AC【解析】：APAB=-2-2+4=0，故APAB，故A正确； BP=AP-AB=(3,-3,-3)，APBP=3+6-3=60，故APBP，故B不正确 BC=AC-AB=(6,1,-4)，则BC=36+1+16=53，故C正确； 16-211-4，故AP/BC不正确，故选AC10. 设a，b，c是空间一个基底，则( )A. 若ab，bc，则acB. 则a，b，c两两共面，但a

7、，b，c不可能共面C. 对空间任一向量p，总存在有序实数组x,y,z，使p=xa+yb+zcD. 则a+b，b+c，c+a一定能构成空间的一个基底【答案】：BCD【解析】：由a，b，c是空间一个基底，知：在A中，若ab，bc，则a与c不平行，但夹角不一定为90，故A错误；在B中，a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；在C中，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x,y，z)，使p=xa+yb+zc，故C正确；在D中，a+b，b+c，c+a一定能构成空间的一个基底，故D正确故选：BCD11. 对于任意非零向量a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2，以下说法错误的有( )A. 若

8、ab，则x1x2+y1y2+z1z2=0；B. 若a/b，则x1x2=y1y2=z1z2C. cos =x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22；D. 若x1=y1=z1=1，则a为单位向量【答案】：BD【解析】：对于A：若，则ab=0，即，故A正确；对于B：如a=(0,0，1)，b=(0,0，2)时，x1x2=y1y2=z1z2不成立，故B错误；对于C：由空间向量夹角公式得，故C正确；对于D：若，则|a|=3，不是单位向量，故D错误，故选BD12. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点，则( )A. B1D平面E

9、FGB. CD1/平面EFGC. AC1平面EFGD. AC1/平面EFG【答案】：AB【解析】：以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如下： 设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2则D0,0,0，A2,0,0，C0,2,0，C10,2,2，D10,0,2，B12,2,2，因此DB1=2,2,2，CD1=0,-2,2，AC1=-2,2,2又因为点E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点，所以E2,1,0，F1,2,0，G0,1,2，因此EF=-1,1,0，EG=-2,0,2设平面EFG的法向量为n=x,y,z，则EFn=0EGn=0，即-x+y=0-2

10、x+2z=0，令x=1，则y=z=1，因此n=1,1,1是平面EFG的一个法向量因为DB1=2,2,2=2n，所以平面EFG， 因此A正确；又因为CD1n=-21+21=0，所以CD1n，而CD1平面EFG，因此CD1/平面EFG， 所以B正确；又因为AC1tnt0，AC1n=20，所以平面EFG和AC1/平面EFG都不成立， 因此C与D都不正确故选AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知点M是三棱锥P-ABC的底面ABC的重心，若PM=xAP+yAB+zAC(x、y、xR)，则x+y+z的值为_【答案】：-13【解析】：如图，连结PM， M是三棱锥P-ABC的底面ABC

11、的重心， AM=13(AB+AC)， PM=PA+AM=-AP+13AB+13AC， PM=xAP+yAB+zAC(x、y、xR)， x=-1，y=z=13， x+y+z=-13故答案：-1314. 如图所示，在平行四边形中，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离为_ 【答案】：2或2【解析】：ACD=90，ACCD=0同理BAAC=0AB和CD成60角，=60或120BD=BA+AC+CD，即BD2=(BA+AC+CD)2，BD2=3+211cosBD2=2或4，|BD|=2或2， 故答案为2或215. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB

12、的中点，点E到平面ACD1的距离为_【答案】31938【解析】：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E(1,32,0)，A(1,0，0)，C(0,3，0)，D1(0,0，1)，AC=(-1,3，0)，AD1=(-1,0，1)，AE=(0,32,0)，设平面ACD1的法向量n=(x,y，z)，则nAC=-x+3y=0nAD1=-x+z=0,取y=1，得n=(3,1，3)，点E到面ACD1的距离为d=|AEn|n|=31938故答案为3193816. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED平面ABCD，FB平面ABCD，且ED=FB=1，G为线段EC上的动点

13、，则下列结论中正确的是ECAF；该几何体外接球的表面积为3；若G为EC中点，则GB/平面AEF；AG2+BG2的最小值为3【答案】：zyx【解析】：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得D(0,0，0)，A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，F(1,1，1)，E(0,0，1)，即有EC=(0,1，-1)，AF=(0,1，1)，由AFEC=0+1-1=0，可得ECAF，故正确；由球心在过正方形ABCD的中心的垂面上，即为矩形BDEF的对角线的交点，可得半径为(22)2+(12)2=32，即有该几何体外接球的表面积为434=

14、3，故正确；若G为EC中点，可得G(12,1，12)，BG=(-12,0，12)，AE=(-1,0，1)，AF=(0,1，1)，设平面AEF的法向量为n=(x,y，z)，可得-x+z=0，且y+z=0，可设x=1，可得一个法向量为1,-1,1，由BGn=-12+12=0，可得BGn，则 GB/平面AEF，故正确；设G(0,t，1-t)(0t1)， AG2+BG2=1+t2+(1-t)2+1+(1-t)2+(1-t)2=4t2-6t+5=4(t-34)2+114，当t=34时，取得最小值114，故错误故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，

15、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,A1AB=A1AD=120.设AB=a,AD=b,AA1=c ()求AC1；()求AA1BD【解析】：()AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c， ABAD=ab=0， ABAA1=ac=12(-12)=-1， ADAA1=bc=12(-12)=-1， |AC1|2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) =1+1+4+2(0-1-1)=2， 即有|AC1|=2； ()AA1BD=AA1AD-AB=cb-a=cb-ca=-1-(-1)=018. 如图正方形ACDE所

16、在平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，且ACBC,AC=BC. (1)求证：AM平面EBC；(2)求锐二面角A-BE-C的大小【解析】(1)证明：四边形ACDE是正方形，EAAC， 平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，EA平面ACDE， EA平面ABC， 以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设EA=AC=BC=2，则A(0,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，E(0,0，2)M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0,1，1)AM=(0,1，1)，EC=(0,2，0)-(0，0，2)

17、=(0，2，-2)，CB=(2,2，0)-(0，2，0)=(2，0，0)，AMEC=0，AMCB=0，AMEC，AMCB又ECCB=C，EC，CB平面EBC，AM平面EBC； 2 设平面EAB的法向量为n=(x,y，z)，则nAE且nAB，nAE=0且nAB=0.(0,0,2).(x,y,z)=0,(2,2,0).(x,y,z)=0, 即z=0,x+y=0.取y=-1，x=1.n=(1,-1,0)，又AM为平面EBC的一个法向量，且AM=(0,1，1)，cosn，AM=nAM|n|AM|=-12，设二面角A-EB-C的平面角为，由图可知为锐角，则cos=12，=60.二面角A-EB-C等于60

18、19. 如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点 (1) 求证：面EFG面PAB；(2) 求点A到面EFG的距离【解析】解法一 (1)证明：ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，ADAB，ADPA又ABPA=A，AD面PABE、F分别是线段PA、PD的中点，EF/AD，EF面PAB又EF面EFG，面EFG面PAB (2)解： 取AB中点H，连接GH，HE，则GH/AD/EF，E、F、G、H四点共面，过点A作ATHE于T，面EFGH面PAB，AT平面EFGH，AT就是点A到平面EFG的距离在

19、RtAEH中，AE=AH=1，AT=AEAHEH=112=22，故点A到平面EFG的距离为22解法二： 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)，E(0,0，1)，F(0,1，1)，G(1,2，0) (1)证明：EF=(0,1，0)，AP=(0,0，2)，AB=(2,0，0)，EFAP=00+10+02=0，EFAB=02+10+00=0，EFAP，EFAB又AP、AB面PAB，且PAAB=A，EF平面PAB又EF面EFG，平面EFG平面PAB (2) 设平面EFC的法向量n=(x,y，z)， 则nEF=

20、(x,y,z)(0,1,0)=0nEG=(x,y,z)(1,2,-1)=0y=0x+2y-z=0令z=0，得n=(1,0，1)又AE=(0,0，1)，点A到平面EFG的距离d=|AEn|n|=|12|=22 20. 如图所示，平面ABCD平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF/CE，BCCE，DC=CE=4，BC=BF=2 ()求证：AF/平面CDE；()求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；【解析】()证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形， BCCE，BCCD， 又平面ABCD平面BCEF，且平面ABCD平面BCEF=BC， DC平面BC

21、EF 以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系根据题意我们可得以下点的坐标：A(2,0，4)，B(2,0，0)，C(0,0，0)，D(0,0，4)，E(0,4，0)，F(2,2，0)，则AF=(0,2，-4)，CB=(2,0，0)BCCD，BCCE，CDCE=C，CD、CE平面CDE，BC平面CDE，CB为平面CDE的一个法向量又AFCB=02+20+(-4)0=0，且AF平面CDEAF/平面CDE()设平面ADE的一个法向量为n=(x,y，z)，则AD=(-2,0，0)，DE=(0,4，-4)， ADn=-2x=0DEn=4y-4z=0

22、,令y=1，可取得n=(0,1，1)，DC平面BCEF，平面BCEF一个法向量为CD=(0,0，4)，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则cos=442=22，因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为421. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，沿对角线BD将ABD折起，使A，C之间的距离为6，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点 (1)求线段PQ长度的最小值；(2)当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值【解析】：取BD中点E，连接AE，CE，则AEBD，CEBD，AE=CE=3因为AC=6，所以AE2+CE2=AC2，所以ACE为直角三

23、角形，所以AECE，BDCE=E，BD平面BCD，CE平面BCD，所以AE平面BCD以EB，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，则B(1,0，0)，C(0,3,0)，A(0,0，3).(1)设P(a,0，0)，CQ=CA=(0,-3,3)，则PQ=PC+CQ=-a,3,0+(0,-3,3)=(-a,3-3,3)， PQ=a2+(3-3)2+32=a2+62-6+3=a2+6-122+32，当a=0，=12时，PQ长度最小值为62. (2)由(1)知PQ=(0,32,32)，设平面ACD的一个法向量为n=x,y,z由nDA，nDC，D(-1,0，0)，即DA=(1,

24、0,3)，DC=(1,3,0)，得(x,y,z)(1,0,3)=0(x,y,z)(1,3,0)=0, 化简得x+3z=0x+3y=0,令x=3，则y=-1，z=-1， 即n=(3,-1,-1)设PQ与平面ACD所成角为，则sin=|cosPQ，n|=-3625=105故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为10522. 在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB/CD，ABAD，PA=AB，AB:AD:CD=2:2:1 (1)求证：BDPC(2)求二面角A-PC-D的余弦值(3)设点Q为线段PD上一点，且直线AQ与平面PAC所成角的正弦值为23，求PQ:PD的值【解析】(1)证明：分别以AB

25、、AD、AP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则B2,0,0，D0,2,0，P0,0,2，C1,2,0， BD=-2,2,0，PC=1,2,-2所以BDPC=0，所以BDPC； (2) AC=1,2,0，AP=0,0,2，平面PAC的法向量为m=2,-1,0，平面DPC的法向量为n=0,-2,-1，所以二面角B-PC-D的余弦值为23； (3) 由AQ=AP+PQ=AP+tPD，t0,1， AQ=0,0,2+t0,2,-2=0,2t,2-2t，设为直线AQ与平面PAC所成角，即2t32t2+(2-2t)2=23，整理得3t2=6t2-8t+4， 解得t=23或t=2(舍)，所以PQPD=23