第一章 空间向量与立体几何 单元测试-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx

1、第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷一、单选题1如图，空间四边形中，且，则（ ）ABCD2已知(2,3,1)，则下列向量中与平行的是（ ）A(1,1,1)B(2,3,5)C(2,3,5)D(4,6,2)3定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ）ABCD4在下列命题中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知空间的三个向量则对于空间的任意一个向量总存在实数使得.其中正确命题的个数是（ ）A0B1C2D35设平面与平面的夹角为，若平面，的

2、法向量分别为，则（ ）ABCD6已知向量，且与互相垂直，则k的值是（ ）.A1BCD7给出以下命题，其中正确的是（ ）A直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直B直线l的方向向量为，平面的法向量为，则lC平面、的法向量分别为，则D平面经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面的法向量，则u+t=18如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）ABC2D二、多选题9已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）ABCD10已知三棱锥，分别是，的中点，为线段上一点，且

3、，设，则下列等式成立的是（ ）ABCD11已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）ABCD12如图，长方体中，点为的中点，过作长方体的截面交棱于点，则（ ）A不存在点，使得B当截面为平行四边形时，截面面积的最大值为C截面可能是六边形D随的增大，直线与截面所成角的大小先增大再减小三、填空题13如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_14在直三棱柱中，若，则=_.(用表示)15如图，在长方体ABCDABCD中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC4，

4、CD3，CC2，直线CC与平面PQC所成的角为30，则PQC的面积的最小值是_16如图，在长方体中，若为中点，则点到平面的距离为_.四、解答题17如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的大小.18如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60，M是PC的中点，设，.（1）试用，表示向量；（2）求BM的长.19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N设，（1）试用，表示向量；（2）若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA1

5、1，求MN的长20如图所示，在中，斜边，将沿直线AC旋转得到，设二面角的大小为（1）取AB的中点E，过点E的平面与AC，AD分别交于点F，G，当平面平面BDC时，求FG的长；（2）当时，求二面角的余弦值（3）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由21在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.（1）求证：ACBC1；（2）在AB上是否存在点D，使得AC1CD?（3）在AB上是否存在点D，使得AC1/平面CDB1?22如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）求证：平面EFGH；（3）

6、设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.参考答案1A【解析】因为，又因为，所以.故选：A2D【解析】要使向量与平行，则且，A：若(1,1,1)，不存在使成立；B：若(2,3,5)，不存在使成立；C：若(2,3,5)，不存在使成立；D：若(4,6,2)，则有成立；故选：D3B【解析】设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短设，则，即，即，当时，取得最小值，故直线与之间的距离是.故选：B.4A【解析】对于：向量共线，所在的直线也可能重合，故不正确；对于：根据自由向量的意义知，空间任意两向量都共面，故不正确；对于：三个向量中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不

7、正确；对于：只有当不共面时，空间任意一向量才能表示为，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选：A.5B【解析】由两个平面的夹角概念知，.故选：B.6D【解析】因为与互相垂直，故，故即，故.故选：D.7A【解析】对于A，l与m垂直，A正确；对于B，与不共线，直线l不垂直平面，B错误；对于C，与不共线，平面与平面不平行，C错误；对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，由n=-1-u+t=0，n=-1+3u=0，解得u=，t=，u+t=，D错误.故选：A.8B【解析】解：以，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，设，3，则，3，连接BP，在正四棱柱中，面，所以 就是与平面所

8、成的角，即 ，的最大值为故选：B9BD【解析】分别为直线l1，l2的方向向量(不重合)，故A错误；，故B正确；分别为平面，的法向量(不重合)，故C错误；，故D正确；故选：BD10ABD，故选项B正确；，故选项C错误；，故选项D正确.故选：ABD.11BC【解析】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析A因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”；B因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；C因为，直线上存在一点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；D因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”

9、故选：BC.12AD【解析】对于A：若存在点，使得，则，此时点为的中点，满足，此时截面为平行四边形，但此时与不垂直，所以与截面不垂直，所以不存在点，使得，故选项A正确；对于B：由选项A知：当点为的中点时，截面为菱形，所以菱形的面积为，故选项B不正确；对于C：设为的中点，当点在线段上时，截面为平行四边形，如图平行四边形；当点在线段上（不包括点）时，截面为五边形，如图五边形；当点在点处时，截面为梯形，如图梯形，所以截面不可能是六边形，故选项C不正确； 对于D：设，则，所以，所以，设点到截面的距离为，由可得，即，解得：，设直线与截面所成角为，则，令，则，在单调递增，在单调递减，所以直线与截面所成角的

10、大小先增大再减小，故选项D正确；故选：AD.131【解析】设CEx，DFy，以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)，B1E平面ABF，B1EFB，.故答案为：1.14【解析】连接则.故答案为：158【解析】解：设三棱锥CCPQ的高为h，CQx，CPy，由长方体性质知两两垂直，所以，所以，由得，所以，直线CC与平面CPQ成的角为30，h2，xy8，再由体积可知：VCCPQVCCPQ，得，SCPQxy，PQC的面积的最小值是8故答案为：816【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建

11、立如图所示的空间直角坐标系，连接，由题意得， ，设平面的法向角为，则，即，令，得， 点到平面的距离，故答案为：.17（1）证明见解析（2）.【解析】因为四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，故，因为，所以平面.（2）是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，则,由于，所以.18（1）；（2）.【解析】（1）是PC的中点，.，结合，得.（2）， ，.， ，.由（1）知，即BM的长等于.19（1）；（2）.【解析】解：（1）（），又，（2）ABACAA11，|1BAC90，0BAA1CAA160，|2（）2（222），|20（1

12、）1；（2）；（3）不存在.【解析】（1）如图所示：因为平面平面BDC，平面平面BDC=BD，平面平面EFG=EG，所以，因为E为AB的中点，所以G为AD的中点，同理可证F为AC的中点，所以，在中，斜边，所以，即，所以；（2）过点B作，连接DO，则，面，因为，则平面平面ABC，因为平面平面ABC=AC，所以平面ABC，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系；在中，斜边，所以，则，所以 ，设平面BCD的一个法向量为，则，即，令 ，得 ，则，因为平面ACD，所以是平面ACD的一个法向量，所以.即二面角的余弦值是（3）假设存在，则，解得，则，因为，所以不存在，使得.21（1）证明见解析；（2）存在；

13、（3）存在.【解析】直三棱柱ABCA1B1C1，AC3，BC4，AB5，则AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).(1)证明：(3,0,0)，(0，4，4)，0，ACBC1.(2)假设在AB上存在点D，使得AC1CD，则(3，4，0)，其中01，则D(33，4，0)，于是(33，4，0)，由于，且AC1CD，所以990，得1，所以在AB上存在点D，使得AC1CD，且这时点D与点B重合.(3)假设在AB上存在点D，使得AC1/

14、平面CDB1，则(3，4，0)，其中01，则D(33，4，0)，(33，44，4).又(0，4，4)，(3,0,4)，AC1/平面CDB1，所以存在实数m，n，使成立.m(33)3，m(44)4n0，4m4n4.所以，所以在AB上存在点D使得AC1/平面CDB1，且D是AB的中点.22（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；（2）E，H分别是AB，AD的中点，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，E，G分别是AB，CD的中点，.