3.1椭圆 专题讲义-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx

1、椭 圆l 知识梳理知识点 椭圆的定义 椭圆的定义：n 我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。u 这两个定点叫做椭圆的焦点；u 两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。知识点 椭圆的方程 1、椭圆的标准方程n （1）焦点在 x 轴上：x2a2+y2b2=1ab0；u 焦点：F1-c，0，F2c，0u 图像：n （2）焦点在 y 轴上：y2a2+x2b2=1ab0；u 焦点：F10，-c，F20，cu 图像：n a、b、c 的关系：a2-b2=c2。 2、椭圆的一般方程n 一般方程：Ax2+By2=C。u 充要条件：（同时满足以下三个条件，才能表示椭圆）l

2、 （1）ABC0，l （2）A、B、C同号，l （3）AB 3、共焦点的椭圆系方程n （1）与椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 有公共焦点的椭圆方程为：x2a2+y2b2+=1ab0，-b2n （2）与椭圆 y2a2+x2b2=1ab0 有公共焦点的椭圆方程为：y2a2+x2b2+=1ab0，-b2 3、相同离心率的椭圆系方程n （1）与椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 有相同离心率的椭圆方程为：x2a2+y2b2=kab0，k0n （2）与椭圆 y2a2+x2b2=1ab0 有相同离心率的椭圆方程为：y2a2+x2b2=kab0，k0知识点 椭圆的几何性质标准方程x2a2+y2b2=1a

3、b0y2a2+x2b2=1ab0范围xa，ybxb，ya对称性关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称顶点坐标a，0，-a，0，0，b，0，-bb，0，-b，0，0，a，0，-a半轴长长半轴长为 a，短半轴长为 b，ab离心率e=ca知识点 椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示。即：。 离心率的取值范围：0e1； 离心率对椭圆形状的影响：n （1）e 越接近1，c 就越接近 a，从而 b 就越小，椭圆就越扁；n （2）e 越接近0，c 就越接近 0，从而 b 就越接近 a，椭圆就越圆。 e 与 a、b 的关系：e=ca=a2-b2a2=1-b2a2知识点 椭圆的

4、通径及有关最值 通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径n 长度为：2b2a 最值n （1）椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点n （2）椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，距离的最大值为 a+c，距离最小值为 a-cn （3）对于椭圆上的点P，F1PF2随着点P从长轴端点向短轴端点移动而逐渐变大，当点P在短轴端点处时，F1PF2最大n （4）b2PF1PF2a2n （5）b2-c2PF1PF2b2知识点 关于椭圆的几个重要结论 1、弦长公式n 设直线与椭圆交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，则：u AB=1+

5、k2x1-x22u AB=1+1k2y1-y22 2、焦点三角形n P为椭圆上异于长轴端点的点，则F1PF2称作焦点三角形n 若F1PF2=，则F1PF2的面积：SF1PF2=b2tan2 3、椭圆的切线n 椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 上一点Px0，y0 处的切线方程为 x0xa2+y0yb2=1 4、点与椭圆的位置关系：对于椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 ，我们有：n （1）Px0，y0在椭圆内部 x02a2+y02b21n （2）Px0，y0在椭圆外部 x02a2+y02b21n （3）Px0，y0在椭圆上 x02a2+y02b2=1 5、椭圆中斜率乘积为定值的问题n （1）椭

6、圆 x2a2+y2b2=1ab0 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为-b2a2n （2）设A、B是椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 上关于原点对称的两点，点P为该椭圆上不同于A、B的任一点，若直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-b2a2l 典型例题l 题型 求椭圆的标准方程n 1、定义法：验证动点到两定点的距离之和是否等于一个常数，并且该常数大于两定点之间的距离，若符合，则动点的轨迹是一个椭圆。（要注意检验）；n 2、待定系数法u 定位置：确定焦点在哪条坐标轴上u 设方程：根据焦点的位置设方程l 焦点位置不确定时，分情况讨论，或者设为mx2+ny2=

7、1m0，n0，mnu 寻关系：根据条件列出关于a、b或m、n的方程组u 得方程：解方程组，得到椭圆方程例 （1）已知点A1，0，点P是圆C：x+12+y2=8的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E。求点E的轨迹方程。（2）求经过A3，-2和B-23，1两点的椭圆的标准方程。变式训练：已知平面内两定点，动点满足。（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线C交于不同的两点、，求。l 题型 椭圆中的最值问题n 1、利用求函数最值的方法求最值u 将问题转化为函数的最值问题处理时，要注意 x、y 自身的取值范围，常常化为闭区间上的二次函数最值问题来求解n 2、利用数形结合的方法求最值u 解

8、决解析几何问题要注意多用图形来解决问题，注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系例 （1）已知点P为椭圆 x2+2y2=98 上的动点，点A的坐标为（0，5），求PA的最值。（2）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则PM+PF1的最大值为_。（3）已知 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，若点A（0，46），则 PA-PF2的最小值为_。变式训练1：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点到的距离等于的点的坐标。变式训练2：已知A(4,0)

9、、B(2,2)是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，求|MA|MB|的最大值和最小值。l 题型 椭圆中的焦点三角形问题n 关于椭圆的焦点三角形问题，可以结合椭圆的定义列出PF1+PF2=2a，整体代换求解，这种回归定义的方法是求解椭圆焦点三角形问题的常用方法。n 在求解的过程中要注意灵活的运用正弦定理和余弦定理等。例 已知椭圆，点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，且PF1F2=120，求F1PF2的面积。l 题型 椭圆离心率的求法n 1、定义法u 当题目中出现焦点三角形三边关系或 a、c 易求时，可以利用定义求解u 易求 b、c 时，可利用c2b2+c2u 易求 a、b 时，可利用a2-b

10、2a2n 2、方程法u 构建关于 a，c 的齐次式，列方程求解例 椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为_。变式训练1：（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为.已知(为原点)。（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程。l 题型 点差法n 1、点差法三步曲u （1）设点：设出直线l与椭圆C的两个交点Ax1，y1，Bx2，y2u （2）代入：将Ax1，y1与Bx2，y2分别代入椭圆方程u （3）作差：两式相减，构造出x1+x2，y1+y2，x

11、1-x2，y1-y2，从而建立中点坐标和斜率的关系n 2、点差法的结论：设直线l与椭圆交于两点A、B，弦AB的中点为Px0，y0u （1）当椭圆的方程为时：kAB=-b2x0a2y0，kABkOP=-b2a2u （2）当椭圆的方程为时：kAB=-a2x0b2y0，kABkOP=-a2b2例 已知椭圆和点，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为_。课后巩固练习一、选择题1.（2020广东湛江高二期末）曲线与曲线的A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等2.（2020上海黄浦高二期末）设椭圆，若四点，中恰有三点在椭圆上，则不在上的点为（ ）ABCD3. （

12、2020湖北宜昌高二月考）设椭圆的离心率为，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为()A.1,2B.2,3 C.2,4D.1,45（多选题）（2020江苏省苏州中学园区校高二开学考试）如图，椭圆与有公共的左顶点和左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心.设椭圆与的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）ABCD6（多选题）（2020江苏广陵扬州中学高二月考）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分

13、别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）ABCD二、填空题7.（2020全国高二课时练）已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C,D的椭圆的离心率为.8（2020洋县中学高二期中）万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为_.cm9.（2020南京市秦淮中学高二期中）已知椭

14、圆的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率等于_.10. （2020全国高二课时练）已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP| 为半径的圆经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为。三、解答题11.（2020全国高二课时练）（1）计算:若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(0,2),则kPA1kPA2为？若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P-5,43,则kPA1kPA2为？若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P1,-423,则kPA1kPA2为？(2)观察,由此可得到:若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1kPA2=?并证明你的结论。12.（2020全国高二课时练习）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的焦点为，点在椭圆上，且的面积为1，求点的坐标.