2.2.3直线的方程 专题讲义-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx

1、直线的方程l 知识梳理知识点 直线的方程 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程。知识点 直线方程的几种形式 1、点斜式：y-y1=kx-x1n （1）x1，y1是直线上的一个定点，k 为斜率；n （2）适用范围：直线不垂直于 x 轴；n （3）当 k 不存在时，直线方程为：x=x1。 2、斜截式：y=kx+bn （1）k 为斜率，b 是直线在 y 轴上的截距；n （2）适用范围：直线不垂直 x 轴；n （3）当 k 不存在时，直线垂直于 x 轴。 3、两点式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1n （1）x1，y1

2、、x2，y2是直线上的两个定点x1x2，y1y2；n （2）适用范围：直线不垂直于两个坐标轴；n （3）当 x1=x2 时，直线方程为：x=x1；当 y1=y2 时，直线方程为：y=y1；n （4）两点式的变形式：y-y1x2-x1=x-x1x2-x1可以平面内的任何直线。 4、截距式：xa+yb=1n （1）a、b分别是直线在 x 轴、y 轴上的非零截距；n （2）适用范围：直线不垂直于两个坐标轴，且不过原点；n （3）当a=b=0时，直线过原点，直线方程为：y=kxk0。 5、一般式：Ax+By+C=0n （1）A、B分别为x、y的系数，C为常数，A、B不能同时为零；n （2）使用范围：平

3、面内的任何直线；n （3）当 C=0 时，直线过原点； 当 A=0 时，直线斜率为0； 当 B=0 时，直线斜率不存在。 几种特殊位置的直线方程n （1）x 轴：y=0；n （2）y 轴：x=0；n （3）垂直于 y 轴的直线：y=b；n （4）垂直于 x 轴的直线：x=a；n （5）过原点且有斜率的直线：y=kx，k0。知识点 两条直线的位置关系 平行n 斜截式表示：k1=k2，且b1b2n 一般式表示：A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C10或B1C2-B2C10 垂直n 斜截式表示：k1k2=-1n 一般式表示：A1A2+B1B2=0 相交n 斜截式表示：k1k2n 一般式表示：A

4、1B2-A2B10 重合n 斜截式表示：k1=k2，且b1b2n 一般式表示：A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1=0或B1C2-B2C1=0l 题型梳理l 题型一、求直线方程n 1、直接法u （1）已知一点，常选择点斜式，要注意斜率不存在的情况；u （2）已知斜率，常选择斜截式或者点斜式；u （3）已知在两坐标轴上的截距，常选择截距式，处理截距相等的问题时，要注意过原点的情况；u （4）已知两点，常选择两点式，要注意两点横纵坐标相等的情况。n 2、待定系数法u （1）设方程；u （2）求系数；u （3）代入方程得直线方程。例 （1）直线y=x+1绕着其上一点P3，4逆时针旋转90后得

5、到直线 l。求直线 l 的方程。（2）已知直线 l 的斜率为3，且它在 y 轴上的截距为-3。求直线 l 的方程。（3）已知ABC的三个顶点分别为A-5，0，B3，-3，C0，2，求这个三角形的三边及AB边上的中线所在直线的方程。（4）已知直线 l 经过点P4，3，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程。（5）在ABC中，已知A5，-2，B7，3，且AC边的中点M在 y 轴上，BC边的中点N在 x 轴上，求：（）顶点C的坐标；（）直线MN的方程；（）过点C且与AB垂直的直线方程。变式训练：设直线 l 过点2，3且与直线2x+y+1=0垂直，l 与 x 轴、y 轴分别交于A、B两点。求：（

6、1）AB；（2）过点C4，-1且在 x 轴、y 轴上的截距相等的直线 l 的方程。l 题型二、恒过定点问题n 方法一、特殊值代入法u 任取两个参数的值，得到关于x、y的二元一次方程组，解出这个方程组就是定点的坐标。n 方法二、分离常数法u 把方程整理成关于参数的一元一次方程的形式，然后令系数和常数都为0，得到关于x、y的二元一次方程组，解出这个方程组即为定点的坐标。n 方法三、点斜式法u 把参数方程整理成点斜式的形式，则方程恒过点斜式的定点。例 已知直线l：5ax-5y-a+3=0。（1）求证：不论实数 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；（2）求使直线 l 不经过第二象限的 a 的取值范围

7、。变式训练：已知直线 l1：ax-a+1y-1=0 与直线 l2：4x-6y+3=0平行。（1）求直线 l1 经过的定点坐标；（2）若 l1l2，求实数 a 的值。l 题型三、直线位置关系的应用例 已知直线 l 经过点 P2，3，且斜率为-32。（1）求直线 l 的一般式方程；（2）求与直线 l 平行，且过点-3，1的直线的一般式方程；（3）求与直线 l 垂直，且过点-3，1的直线的一般式方程。变式训练1：已知两条直线 l1：a-1x+2y+1=0与l2：x+ay+1=0平行，求 a 的值。变式训练2：已知两条直线 l1：m-4x+4y+1=0与l2：m+4x+m+1y-1=0。若 l1l2，

8、求实数 m 的值。课堂练习1、已知直线l的方程为y+1=2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为()AB2Clog26D02、在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为()A.y-1=3(x-3)B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1)D.y-3=-3(x-1)3、已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy()A.无最小值,且无最大值 B.无最小值,但有最大值C.有最小值,但无最大值 D.有最小值,且有最大值4、“”是“直线和直线平行且不重合”的（ ）A充分非

9、必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件5、（多选）下列四个结论，其中正确的为（ ）A.方程与方程可表示同一条直线；B.直线l过点，倾斜角为,则其方程为；C.直线l过点，斜率为0,则其方程为；D.所有直线都有点斜式和斜截式方程.6、（多选）下列说法正确的是（ ）A点（2，0）关于直线yx+1的对称点为（1，3）B过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为C经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y20或xy0D直线xy40与两坐标轴围成的三角形的面积是87、设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0。（1）若直线l在x轴上的截距为3，则m_

10、；（2）若直线l的斜率为1，则m_。8、点在第一象限内，且在直线上移动，则的最大值是_。9、直线过点P43,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件：（1）AOB的周长为12;（2）AOB的面积为6。若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由。10、已知ABC的顶点B（3，4），AB边上的高所在的直线方程为x+y-3=0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x+3y-7=0。（1）求顶点A的坐标；（2）求过E点且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程。课后巩固练习一、单选题1、若直线ax+by+6=0在 x 轴、y轴上的截距分别是-2和3

11、，则a，b的值分别为（ ）A3，2B-3，-2C-3，2D3，-22、“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+a-1y-a-7=0平行且不重合”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件3、以A(2,-5),B(4,-1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A.2x-y+9=0B.x+2y-3=0 C.2x-y-9=0D.x+2y+3=04、经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是()A.x+y-3=0B.x+y+3=0 C.x-y-1=0D.x-y+1=05、已知直线 l 经过点A（0，4），且与直线2x-y-3=0垂直，则直线

12、l 的方程是 （ ）A. x+2y-8=0B. x+2y+8=0C. 2x+y-4=0D. 2x-y+4=06、若直线mx+ny+2=0平行于直线x-2y+5=0，且在 y 轴上的截距为1，则m，n的值分别为（ ）A. 1和2B. -1和2C. 1和-2D. -1和-2二、多选题7、下列关于直线的方程，叙述不正确的是 （ ）A. 经过定点P0x0，y0的直线都可以用方程y-y0=kx-x0表示B. 经过任意两个不同点P1x1，y1,P2x2，y2的直线都可以用方程y-y1x2-x1=x-x1y2-y1C. 不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示D. 经过定点A0，b的直线都可以用方程y

13、=kx+b表示8、已知直角坐标平面xOy内的两点A8，-6，B2，2，则 （ ）A. 直线AB的一般式方程为4x+3y-14=0B. 线段AB的中垂线所在直线的方程为3x+4y-23=0C. 以向量 AB 为方向向量且过点 P2，-3的直线 l 的方程为4x+3y+1=0D. 一束光线从点B射向 y 轴，反射后的光线过点A，则反射光线所在的直线方程为4x+5y-2=0三、填空题9、过点，且倾斜角比直线的倾斜角大的直线方程为_。10、入射光线从P(2,1)出发，经x轴反射后，通过点Q(4,3)，则入射光线所在直线的方程为_。11、已知点是直线与轴的交点，将直线绕点旋转30，则所得到的直线的方程为

14、_。12、设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)。（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为_；（2）若a1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为_。四、解答题13、直线 l 经过点P3，2且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线 l 的方程。14、已知ABC的三个顶点分别为A0，4，B-2，6，C-8，0。（1）求边AC和AB所在直线的方程；（2）求AC边上的中线BD所在直线的方程；（3）求AC边上的中垂线的方程。15、已知直线l1:ax-by+4=0，l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.（1）l1l2,且直线l1过点M(-4,-1)。（2）直线l1l2,且l1、l2在y轴上的截距互为相反数。