第三章 圆锥曲线的方程 过关检测 -新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.docx

1、第三章过关检测一、选择题1.已知曲线C:y2-mx2=1,则“曲线C是双曲线”是“m0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若抛物线y2=4mx的焦点与椭圆x27+y23=1的左焦点重合,则m的值为()A.-12B.12C.-2D.23.若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为()A.双曲线的一支B.圆C.抛物线D.双曲线4.已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,且F2(2,0),P为双曲线右支上的一点,且|F1F2|=2|PF2|,PF1F2的周长为10,则双曲线的渐近线

2、方程为()A.y=3xB.y=33xC.y=2xD.y=12x5.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4 m,外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3 m,则该椭圆的离心率等于()A.35B.45C.23D.126.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,与抛物线交于点E,则|EF|等于()A.1B.2C.32D.527.已知F为椭圆x2a2+y2=1(a1)的一个焦点,过点F作圆x2+y2=1的两条切线,若这两条切线互相垂直,则a=()A.2B.2C.3D.18.已知过抛物线y2=8x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,点P在线段

3、AB上运动,原点O关于点P的对称点为M,则四边形OAMB的面积的最小值为()A.8B.10C.14D.169.已知双曲线E的中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过点(3,2),(6,11),则下列结论正确的是()A.双曲线E的标准方程为x23-y2=1B.双曲线E的离心率等于3C.双曲线E与双曲线y22-x26=1的渐近线相同D.直线x-2y-1=0与双曲线E相切10.已知曲线C:mx2+ny2=1.()A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则C是圆,其半径为nC.若mn0,则C是两条直线11.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A

4、(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则()A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=(m+R)(n+R)12.设抛物线y=ax2的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则()A.点P的坐标为0,-14aB.直线AB的方程为y=14aC.PAPBD.|AB|=12|a|二、填空题13.抛物线x+12y2=0的准线方程为.14.椭圆x29+y225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为,此时点P的坐

5、标为.15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,定点A(0,-2),若射线FA与抛物线C交于点M,与抛物线C的准线交于点N,则|MN|FN|等于.16.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线的夹角为,且cos =13,则双曲线的离心率等于.三、解答题17.(10分)已知双曲线与椭圆x225+y29=1有相同的焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线的方程;(2)若双曲线的左、右焦点是F1,F2,则在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|?18.(12分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过

6、点F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求椭圆C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.19.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,短轴的一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=x+2与椭圆C交于A,B两点,其中O为坐标原点,求AOB的面积.20.(12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求直线l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.21.(

7、12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求OAOB的取值范围.22.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,点1,22在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P63,0的直线交椭圆C于E,F两点,1|EP|2+1|FP|2是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,请说明理由.参考答案1. C2. A3. A4. A5. B6. D7. C8. D9. ACD10. ACD11.

8、ABD12. ABC13. x=1214. 25(3,0)或(-3,0)15.5-5416.62或317.解:(1)椭圆x225+y29=1的焦点在x轴上,且c=25-9=4,即焦点坐标为(4,0),(-4,0),于是可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则有a2+b2=16,16a2-36b2=1,解得a2=4,b2=12,故双曲线的方程为x24-y212=1.(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,则点P只能在右支上.由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a=4,于是|PF1|=5,|PF2|=1.但当点P在双曲线的右支上时,点P到左焦点F1的距离

9、的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.18.解:(1)F(c,0),直线AB过点F,且ABx轴,直线AB的方程为x=c,联立x=c,x2a2+y2b2=1,a2=b2+c2,解得x=c,y=b2a,|AB|=2b2a.由题意可得,抛物线C2的方程为y2=4cx,联立x=c,y2=4cx,解得x=c,y=2c,|CD|=4c.|CD|=43|AB|,4c=8b23a,2b2=3ac,2c2+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=0,解得e=12(e=-2舍去),因此,椭圆C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,椭

10、圆C1的方程为x24c2+y23c2=1,联立y2=4cx,x24c2+y23c2=1,消去y并整理得3x2+16cx-12c2=0,解得x=23c或x=-6c(舍去),由抛物线的定义可得|MF|=23c+c=5c3=5,解得c=3.因此,曲线C1的标准方程为x236+y227=1,曲线C2的标准方程为y2=12x.19.解:(1)由题意可得a=3,ca=63,a2=b2+c2,解得a=3,c=2,b=1.故椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立y=x+2,x23+y2=1,得4x2+62x+3=0,则x1+x2=-322,x1x2=34.于是|AB|

11、=2(x1+x2)2-4x1x2=2924-434=3.原点O到直线AB的距离d=22=1,故AOB的面积S=12d|AB|=1213=32.20.解:设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32.又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9=-4(t-1)3.从而-4(t-1)3=52,得t=-78.所以直线l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得

12、y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入抛物线C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4133.21.解:(1)由题意知e=ca=12,则e2=c2a2=a2-b2a2=14,即a2=43b2.因为以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切,所以b=|6|1+1=3,所以b2=3,a2=4,故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),联立y=k(x-4),x24+y23=1,得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.由=(-32k2)2-4(4k2

13、+3)(64k2-12)0,得k214.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=32k24k2+3,x1x2=64k2-124k2+3.于是y1y2=k(x1-4)k(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=36k24k2+3,因而OAOB=x1x2+y1y2=64k2-124k2+3+36k24k2+3=25-874k2+3,因为0k214,所以-29-874k2+3-874,所以-425-874k2+30,设E(x1,y1),F(x2,y2),则y1+y2=-26n3(n2+2),y1y2=-43(n2+2),又|EP|2=63-x12+(0-y1)2=(63-ny1-63)2+(0-y1)2=(1+n2)y12,同理|FP|2=(1+n2)y22,所以1|EP|2+1|FP|2=11+n21y12+1y22=11+n2(y1+y2)2-2y1y2(y1y2)2=11+n2-26n3(n2+2)2+83(n2+2)-43(n2+2)2=3.当过点P的直线为x轴时,不妨设x1x2,则|EP|=2+63,|FP|=2-63,则1|EP|2+1|FP|2=12+632+12-632=3.综上可知,1|EP|2+1|FP|2为定值,定值为3.