1.2&1.3空间向量基本定理及坐标运算 学案-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二高二上学期.docx

1、第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示【考点分类】考点一、空间向量的基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得：pxaybzc 我们把a，b，c叫作空间的一个基底，a，b，c都叫作基向量。注意：空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； 由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0； 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念考点二、空间向量的坐标表示1、 单位正交基底

2、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示。2、 空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面。3、 空间直角坐标系中的坐标 给定一个空间直角坐标系和向量a，在单位正交基地下，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组（a1,a2,a3）,使a=a1i+a2j+a3k。有序实数组（a1,a2,a3）叫作a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，即a=（a1,a2,a3）。

3、考点三、空间向量运算的坐标表示1、 空间向量加减法、数乘运算若，则：；。2、 空间向量数量积坐标运算若，则。3、 空间向量平行和垂直条件若，则，4、 空间向量模与夹角公式坐标表示若，则，典型例题类型一、基底的判断例1、在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）ABCD例2、已知e1,e2,e3是空间的一个基底，且=e1+2e2-e3，=-3e1+e2+2e3，=e1+e2-e3，试判断，能否作为空间的一个基底辨析跟踪【变式1】已知空间的一个基底a，b，c，p=3a+2b+c，m=a-b+c，n=a+b-c，试判断p，m，n是否共面。【变式2】下列说法正确的是（ ）A任何三个不共线的向量可

4、构成空间向量的一个基底B空间的基底有且仅有一个C两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D基底中基向量与基底基向量对应相等【变式3】设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()ABCD类型二、基本定理的运用例3、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若， （1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求辨析跟踪【变式】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，设（1）试用表示出向量；（2）求的长类型三、空间向量坐标运算例4、 已知， ，求， ， . 例5、已知.（1

5、）若，分别求与m的值；（2）若，且与垂直，求.例6、已知O为原点，A,B,C,D四点坐标分别为A（2，-4，1），B（3，2，0），C（-2，1，4），D（6，3，2），求满足下列条件的点P的坐标；（1）（2）辨析跟踪【变式1】已知向量a=（1，2，-2），b=（-2，-4，4），c=（2，x，-4）.（1）判断a，b的位置关系； （2）若ac，求； （3）若（a+2c）（b+c），求x的值。【变式2】已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k的值；(3)设|c|3，c，求c.【变式3】已知空间

6、三点A（0，2，3），B（2，1，6）C（1，1，5）。（1）求以，为边的平行四边形的面积；（2）若，且分别与，垂直，求向量的坐标。类型四、空间向量的共线与共面例7、 已知，求证：A、B、C三点共线.例8、 已知，证明：向量共面。辨析跟踪【变式1】已知a=（1，1，0），b=（-1，0，2），c=（x，-1，2），若a，b，c是共面向量，则x=_【变式2】已知A（3，-2，4），B（0，5，-1），若（O为坐标原点），则C的坐标是_【变式3】若a=（2x，1，3），b=（1，2y，9），如果a与b为共线向量，则（ ）A.x=1，y=1 B.x=，y=C.x=，y=D.x=，y=【变式4】已知点

7、A（1，0，1），B（4，4，6），C（2，2，3），D（10，14，17），求证：A,B,C,D四点共面。类型五、利用坐标运算解决夹角、距离问题例9、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点（1）求BN的长；（2）求A1B与B1C所成角的余弦值例9、 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别DD1，BD，BB1的中点。（1） 求证：EFCF（2） 求EF与CG所成角的余弦值；（3） 求CE的长。辨析跟踪【变式】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1

8、G的中点（1）求证：EFB1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦值；（3）求FH的长课后练习1、 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（ ）A、 向量的坐标与点B的坐标相同B、 向量的坐标与点A的坐标相同C、 向量与向量的坐标相同D、 向量与向量的坐标相同2、 已知a=（-3，2，5），b=（1，x，-1），且ab=2，则x的值为（ ） A、3 B、4 C、5 D、63、如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若则AB1CD24、设，是两个空间向量，若，则=（ ）A B C D5、已知a=（1-t，2t-1，0），b=（2，t，t），则的最小值为（ ）A、 B、 C、 D、6、如图，在四

9、面体中，是的中点，是的中点，则等于ABCD7、（多选）设，是空间一个基底A若，则B则，两两共面，但，不可能共面C对空间任一向量，总存在有序实数组，使D则，一定能构成空间的一个基底8、已知向量a=（1，1，0），b=（-1，0，2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值为（ ） A、1 B、 C、 D、9、 已知a=（1，2，y），b=（x，1，2）且（a+2b）（2a-b），则xy的值为（ ）A、 B、2 C、 D、-110.、已知空间三点A（1，1，1）、B（1，0，4）、C（2，2，3），则与的夹角的大小是_.11、已知，点A（1,-2,0）和向量a=（-3,4,12），若向量，且|等于的二倍. 则点B的坐标 .12、设向量a=（2，2m-3，n+2），b=（4，2m+1，3n-2），且ab，则ab的值为_13、已知空间向量a=，b=，若空间单位向量c满足ca=cb=0，则c=_14、已知空间三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。设，（1）求的夹角 （2）若向量与互相垂直，求k的值.15、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点求证：（1）共面；（2）求证：16、在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，是的中点，（1）求证：；（2）求与所成的角的余弦；（3）求的长.