第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期`.rar

人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_学校：_姓名：_班级：_考号：_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知空间三点(1,0,3)，( 1,1,4)，(2, 1,3)，若/，且| =14，则点 P 的坐标为( )A. (4, 2,2)B. ( 2,2,4)C. (4, 2,2)或( 2,2,4)D. ( 4,2, 2)或(2, 2,4)2.已知向量 = (1,0，1)， = (2,0， 2)，若( + )( + ) = 2，则 k 的值等于()A. 1B. 35C. 25D. 153.已知向量 = (1,2,2), = ( 2,1,1)，则向量在向量上的投影向量为( )A. ( 29, 49, 49)B. (29,49,49)C. ( 23,13,13)D. (23, 13, 13)4.在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，点 M 满足 = + + (1 )，点 N 满足 = ( 1)，当,最短时， = ( )A. 13B. 13C. 23D. 235.如图所示，空间四边形 OABC 中， = ， = =3，则cos 的值是( )A. 0 B. 12 C. 32 D. 226.如图，在大小为60的二面角 中，四边形 ABFE，四边形 CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是()A. 2B. 2C. 1D. 37.在四面体 OABC 中,分别是,的中点，P 是 MN 的三等分点(靠近点)，若=,=,=，则= （ ）A. 13+16+16B. 16+13+13 C. 12+16+13D. 16+12+138.如图， 直三棱柱 111中， 侧棱长为 2， = = 1， = 90， 点 D 是11的中点，F 是侧面11(含边界)上的动点.要使1 平面1，则线段1的长的最大值为( )A. 52 B. 2 C. 133 D. 5二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.如果1，2是平面内所有向量的一组基底，那么( )A. 若实数1，2使11+ 22= 0，则1= 2= 0B. 平面任一向量可以表示为 = 11+ 22，这里1，2 C. 对实数1，2，11+ 22不一定在平面内D. 对平面中的任一向量，使 = 11+ 22的实数1，2有无数对10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体 1111，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是( )A. 1= 6 6B. 向量1与1的夹角是60C. 1 D. 1与 AC 所成角的余弦值为6611.下列命题正确的是( )A. 已知，是两个不共线的向量，若 = + ， = 3 2， = 2 +3则，共面B. 若向量/，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若(1,0，0)，(0,1，0)，则与向量共线的单位向量为 = ( 22,22,0)D. 在三棱锥 中，若侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，则底面 是锐角三角形12.若长方体 1111的底面是边长为 2 的正方形，高为 4，E 是1的中点，则( )A. 1 1B. 平面平面1C. 三棱锥1 1的体积为83D. 三棱锥1 11的外接球的表面积为三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.四棱锥 的底面是平行四边形， = 2，若 = + + ，则 + + = 14.如图，在正四棱锥 中， = ，点 M 为 PA 的中点，BD = BN.若 ，则实数 = _15.设(0,0，0)，(0,1，1)，(1,0，1)，点 P 是线段 AB 上的一个动点，且满足 = ，若 ，则实数的取值范围是_16.动点 P 在正方体的对角线1上，记11= ，当为钝角时，的取值范围是 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图，在空间四边形 OABC 中，2 = ，点 E 为 AD 的中点，设 = , = , = (1)试用向量,表示向量；(2)若 = = 3， = 2， = = = 60，求 的值18.四棱柱 的底面 ABCD 为矩形，面 平面 ABCD， = = =2， = 2，E 是 CD 的中点()求证： ；()求 BD 与平面 PAB 所成角的正弦值19.如图，/且 = 2， ，/且 = ，/且 = 2， 平面 ABCD， = = = 2(1)若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：/平面 CDE；(2)求二面角 的正弦值；(3)求直线 AD 到平面 EBC 的距离20.如图， 在四棱锥 中， 平面 ABCD， 底面 ABCD 是直角梯形， 其中/， ， = =12 = 2， = 4，E 为棱 BC 上的点，且 =14(1) 求证： 平面 PAC；()求二面角 的余弦值；()设 Q 为棱 CP 上的点(不与 C、P 重合)，且直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值为55，求的值21.如图 1，在边长为 4 的菱形中， = 60， 于点 E，将 沿折起到 1的位置，使1 ，如图 2 (1)求二面角 1 的余弦值 (2)判断在线段上是否存在一点 P，使平面1 平面1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由22.如图， 在四棱锥 中， 侧棱 底面 ABCD，/， = 90， = 1， = = = 2， M是棱 PB 的中点 (1)已知点 E 在棱 BC 上，且平面/平面 PCD，试确定点 E 的位置并说明理由；(2)设点 N 是线段 CD 上的动点，当点 N 在何处时，直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大?并求最大角的正弦值人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_学校：_姓名：_班级：_考号：_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知空间三点(1,0,3)，( 1,1,4)，(2, 1,3)，若/，且| =14，则点 P 的坐标为( )A. (4, 2,2)B. ( 2,2,4)C. (4, 2,2)或( 2,2,4)D. ( 4,2, 2)或(2, 2,4)【答案】C【解析】 /， 可设 = 易知 = (3, 2, 1)，则 = (3, 2, ) 又| =14， (3)2+ ( 2)2+ ( )2=14，解得 = 1， = (3, 2, 1)或 = ( 3,2,1) 设点 P 的坐标为(,y，)， 则 = ( 1, 3)， 1 = 3, = 2, 3 = 1或 1 = 3, = 2, 3 = 1, 解得 = 4, = 2, = 2或 = 2, = 2, = 4. 故点 P 的坐标为(4, 2,2)或( 2,2，4) 故选 C2.已知向量 = (1,0，1)， = (2,0， 2)，若( + )( + ) = 2，则 k 的值等于()A. 1B. 35C. 25D. 15【答案】D【解析】由已知得|=2，|= 2 2，且= 0，由( + ) ( + ) = 2得 2+ 2+ (2+ 1)= 2，即 2 +8 = 2，解得 =15 故选：D3.已知向量 = (1,2,2), = ( 2,1,1)，则向量在向量上的投影向量为( )A. ( 29, 49, 49)B. (29,49,49)C. ( 23,13,13)D. (23, 13, 13)【答案】B【解析】因为 = (1,2,2), = ( 2,1,1)，所以 = 2 1 + 2 1 + 2 1 = 2，所以向量在向量上的投影为 |=222+ 22+ 12=23，设向量在向量上的投影向量为，则 = ( 0)且| =23，所以 = (,2,2)，所以2+42+42= (23)2，解得 =29，所以 = (29,49,49)，故选 B4.在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，点 M 满足 = + + (1 )，点 N 满足 = ( 1)，当,最短时， = ( )A. 13B. 13C. 23D. 23【答案】A【解析】 = + +(1 )， = ( 1)， 平面 BCD， 直线 AB， 当 AM、DN 最短时， 平面 BCD， ， 为 的中心，N 为线段 AB 的中点， 如图： 又正四面体的棱长为 1， =63，cos =63， 平面 BCD， = | |cos =|2， = ( ) = (12 ) =12 2= 12|2= 1269= 13 故选：A 5.如图所示，空间四边形 OABC 中， = ， = =3，则cos 的值是( )A. 0 B. 12 C. 32 D. 22【答案】A【解析】空间四边形 OABC 中， = ， = =3， = ， = ( ) = = | | cos3 | | cos3 =12| (| |) = 0， cos = | |= 0 故选 A 6.如图，在大小为60的二面角 中，四边形 ABFE，四边形 CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是()A. 2B. 2C. 1D. 3【答案】A【解析】由题以 , 为空间一组基底向量，因为四边形 ABFE，四边形 CDEF 都是边长为 1 的正方形且二面角 的大小为60，所以，又 = + + ，|= + + 2 =|2+|2+|2+ 2 + 2 + 2 =1 + 1 + 1 + 2 1 1 cos120 =2故选 A7.在四面体 OABC 中,分别是,的中点，P 是 MN 的三等分点(靠近点)，若=,=,=，则= （ ）A. 13+16+16B. 16+13+13 C. 12+16+13D. 16+12+13【答案】B【解析】如图所示： =+=+23， =12+23 =12+2312 +12 12， =16+13+13 =16 +13 +13 故选：B8.如图， 直三棱柱 111中， 侧棱长为 2， = = 1， = 90， 点 D 是11的中点， F 是侧面11(含边界)上的动点.要使1 平面1，则线段1的长的最大值为( )A. 52 B. 2 C. 133 D. 5【答案】A【解析】取1上靠近1的四等分点为 E，连接 DE，当点 F 在 DE 上时，1 平面1，证明如下：因为直三棱柱 111中，侧棱长为 2， = = 1， = 90，点 D 是11的中点，所以1 平面11，所以1 1以1为坐标原点，11，11，1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 所以(1,0，2)，1(0,1，0)，(12,12,0)，(0,1，12)，即1= ( 1,1， 2)， = ( 12,12,12)，此时1 = 0，即1 又 1 = ，DE，1 平面1，所以1 平面1，故当 F 在 DE 上时，1 平面1，很明显，当 E，F 重合时，线段1最长，此时1 =52故选 A二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.如果1，2是平面内所有向量的一组基底，那么( )A. 若实数1，2使11+ 22= 0，则1= 2= 0B. 平面任一向量可以表示为 = 11+ 22，这里1，2 C. 对实数1，2，11+ 22不一定在平面内D. 对平面中的任一向量，使 = 11+ 22的实数1，2有无数对【答案】AB【解析】 由基底的定义可知，1和2是平面上不共线的两个向量， 实数1，2使11+ 22= 0，则1= 2= 0，故 A 正确； 平面内所有向量都可以表示为 = 11+ 22，故 B 正确； 平面中的任一向量均可以表示为 = 11+ 22的形式，此时实数1，2有且只有一对，故 D 错误； 对实数1，2，11+ 22一定在平面内，C 错误; 故选：AB 10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体 1111，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是( )A. 1= 6 6B. 向量1与1的夹角是60C. 1 D. 1与 AC 所成角的余弦值为66【答案】ACD【解析】因为以顶点 A 为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是60，所以1 = 1 = = 6 6 cos60= 18， (1+ + )2= 1+2+2+21 +2 +21 = 36 + 36 + 36 + 3 2 18 = 216，则|1| = |1+ + | = 6 6， 所以 A 正确；显然 1为等边三角形，则1 = 60因为1 = 1，且向量1与1的夹角是120，所以1与1的夹角是120， 所以 B 不正确； 1 = (1+ + ) ( ) = 1 1 +2 + 2= 0， 所以 C 正确；因为1= + 1 , = + ，所以|1| =( + 1 )2= 6 2,| =( + )2= 6 3， 1 = ( + 1 ) ( + ) = 36，所以cos1, =1 |1| |=3662 63=66， 所以 D 正确故选 ACD11.下列命题正确的是( )A. 已知，是两个不共线的向量，若 = + ， = 3 2， = 2 +3则，共面B. 若向量/，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若(1,0，0)，(0,1，0)，则与向量共线的单位向量为 = ( 22,22,0)D. 在三棱锥 中，若侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，则底面 是锐角三角形【答案】ABD【解析】对于，由 = + ， = 3 2，得 =25 +15, =35 15， 所以 = 2 +3 =45 +25 +95 35 =135 15， 所以向量，共面，故 A 正确； 对于 B，若向量/，则，与任何向量都共面， 所以，与任何向量不能构成空间的一个基底，故 B 正确； 对于 C，由题意可知： = ( 1,1,0)， 设与向量共线的单位向量为 = = ( ,0)， 则 ( )2+ 2+ 02= 1，解得： =22，则 = ( 22,22,0)或 = (22, 22,0)，故 C 错误； 对于 D，如图， 若侧棱 OA，OB，OC 两两互相垂直， = =|2 0， 所以为锐角，同理，均为锐角， 为锐角三角形故 D 正确 故选 ABD 12.若长方体 1111的底面是边长为 2 的正方形，高为 4， E 是1的中点，则( )A. 1 1B. 平面平面1C. 三棱锥1 1的体积为83D. 三棱锥1 11的外接球的表面积为【答案】CD【解析】以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 1(2,0,4)，(0,2,2)，1(0,0,4)，(2,0,0)， (2,2,0)，(0,2,0)， 1 = ( 2,2, 2),1 = (2,0, 4)， = ( 2,0,2),1 = (0,2, 4)， 11 = 4 + 8 = 4 0， 故 A 错误；设平面1的一个法向量为 = (,)， = 01 = 0,即2 + 2 = 02 + 2 2 = 0，令 = 1，可得 = (1,2,1)，设平面1的一条法向量为 = (1,1,1)1 = 01 = 0，即21 41= 021 41= 0，令 = 2，可得 = (2,2,1)显然两平面对应的法向量不平行，所以这两个平面也不平行， 故 B 错误；11= 11=1312 4 2 2 =83， 故 C 正确；通过三棱锥的结构分析可知三棱锥1 11的外接球即为长方体 1111的外接球，其外接球半径 =4 + 4 + 162=6，所以其表面积为， 故 D 正确，故选 CD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.四棱锥 的底面是平行四边形， = 2，若 = + + ，则 + + = 【答案】23【解析】因为 = 2，所以 =13，四棱锥 的底面是平行四边形，则 + = ，所以 = + = +13 = +13( )= +13( ) =13 +23 13，又 = + + ，所以 = 13, =23, =13，故 + + =23故答案为：2314.如图，在正四棱锥 中， = ，点 M 为 PA 的中点，BD = BN.若 ，则实数 = _【答案】4【解析】连接 AC，BD 交于点 O，以 OA 为 x 轴，以 OB 为 y 轴，以 OP 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 = =2，则(1,0，0)，(0,1，0)，(0, 1,0)，(0,0，1)，(12,0，12)， = (0, 2,0)，设(0,y，0)，则 = (0, 1,0)， = ， = 2， (0, 2,0)， = ( 12, 2, 12)， = ( 1, 1,0)又 ， = 0，12 2= 0 ，解得 = 4故答案为 415.设(0,0，0)，(0,1，1)，(1,0，1)，点 P 是线段 AB 上的一个动点，且满足 = ，若 ，则实数的取值范围是_【答案】2 2,2 +2【解析】 (0,0，0)，(0,1，1)，(1,0，1)，设(,y，)， = (1, 1,0)， = = (, ,0) = (, 1, 1)， = = 1 = 1， = (,1 ,1)， = ( ,0)， = (1 , 1,0)， = 2 1， = 22 2，又 ， 2 1 22 2，整理可得，22 4 +1 0，解可得，2 2 2 +2，故答案为：1 2,2 +2.16.动点 P 在正方体的对角线1上，记11= ，当为钝角时，的取值范围是 【答案】(13,1)【解析】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 = 1，则有(1,0，0)，(1,1，0)，(0,1，0)，1(0,0，1)， 1 = (1,1， 1)， 1 = (, )， = 1+ 1 = ( , ,) + (1,0， 1) = (1 ， ， 1)， = 1+ 1 = ( , ,) + (0,1， 1) = ( ，1 ， 1)，显然不是平角，所以为钝角等价于cos 0， 0， (1 )( ) + ( )(1 ) + ( 1)2= ( 1)(3 1) 0，得13 1，因此，的取值范围是(13,1)，故答案为：(13,1)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图，在空间四边形 OABC 中，2 = ，点 E 为 AD 的中点，设 = , = , = (1)试用向量,表示向量；(2)若 = = 3， = 2， = = = 60，求 的值【解析】(1) 因为2 = ，所以 =13 =13( ) =13( )，所以 = + = +13( ) =23 +13，因为 E 为 AD 中点，所以 =12( + ) =12( +23 +13) =12 +13 +16; (2) 由题意知： =|cos60 = 3 3 12=92， =|cos60 = 3 2 12= 3， =|cos60 = 3 2 12= 3， = =12 +13 +16 = 122+162+13 +13 13 = 12 32+16 32+1392+13 3 13 3 = 3218.四棱柱 的底面 ABCD 为矩形，面 平面 ABCD， = = =2， = 2，E 是 CD 的中点()求证： ；()求 BD 与平面 PAB 所成角的正弦值【解析】()四棱柱 的底面 ABCD 为矩形，面 平面 ABCD， = = =2， = 2，E 是 CD 的中点 底面 ABCD，以 E 为原点，在平面 ABCD 内过点 E 作 CD 的垂线为 x 轴，EC 为 y 轴，EP 为 z轴，建立空间直角坐标系， ( 2, 1,0)，(0,1，0)，(0,0，1)，( 2,1，0)， = ( 2,2，0)， = ( 2,1, 1)， = 2 + 2 + 0 = 0， ()(0， 1，0)， = ( 2, 2,0)， = ( 2, 1, 1)， 设平面 PAB 的法向量 = (,y，)， 则 =2 = 0 =2 + = 0，取 = 1，得 = (1,0， 2)， 设 BD 与平面 PAB 所成角为， 则 =| | |=263=13 与平面 PAB 所成角的正弦值为1319.如图，/且 = 2， ，/且 = ，/且 = 2， 平面 ABCD， = = = 2(1)若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：/平面 CDE；(2)求二面角 的正弦值；(3)求直线 AD 到平面 EBC 的距离【解析】(1)证明：依题意，以 D 为坐标原点，分别以、的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系可得(0,0，0)，(2,0，0)，(1,2，0)，(0,2，0)，(2,0，2)，(0,1，2)，(0,0，2)，(0,32,1)，(1,0，2)设0= (,)为平面 CDE 的法向量，则 0 = 2 = 0 0 = 2 + 2 = 0，不妨令 = 1，可得0= (1,0, 1)；又 = (1, 32,1)，可得 0= 0又 直线平面 CDE， /平面 CDE； (2) 依题意，可得 = ( 1,0,0)， = (1, 2,2)， = (0, 1,2)设 = (1,1,1)为平面 BCE 的法向量， 则 = 1= 0 = 1 21+ 21= 0，不妨令1= 1，可得 = (0,1,1)设 = (2,2,2)为平面 BCF 的法向量， 则 = 2= 0 = 2+ 22= 0，不妨令2= 1，可得 = (0,2,1)因此有cos = | |=31010，于是sin =1010 二面角 的正弦值为1010 (3) /， 平面 EBC，平面 EBC， /平面 EBC， 到平面 EBC 的距离即 A 到平面 EBC 的距离，设 A 到平面 EBC 的距离为 d， = (0,0,2)，则 =| |=22=2.20.如图， 在四棱锥 中， 平面 ABCD， 底面 ABCD 是直角梯形， 其中/， ， = =12 = 2， = 4，E 为棱 BC 上的点，且 =14(1) 求证： 平面 PAC；()求二面角 的余弦值；()设 Q 为棱 CP 上的点(不与 C、P 重合)，且直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值为55，求的值【解析】证明：()因为 平面 ABCD，AB、 平面 ABCD，所以 ， ，而 ，因此 PA、AB、AD 两两垂直以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：因为/， = =12 = 2， = 4，E 为棱 BC 上的点，且 =14，所以(0,0，0)，(2,0，0)，(2,4，0)，(0,2，0)，(0,0，4)，(2,1，0)，因此 = (2, 1,0)， = (2,4，0)， = (0,0，4) = 0， = 0， ， ，而 = ，PA、 平面 PAC，因此 平面 PAC () 由()知平面 PAC 的法向量 = (2, 1,0)，设平面 PCD 的法向量 = (,y，)， = (0,2， 4)， = (2,4， 4)， = 2 4 = 0 = 2 + 4 4 = 0，取 = 1，得 = ( 2,2，1)若二面角 的大小为，由图知：为锐角，因此cos = |cos | =| | |=255，即二面角 的余弦值为255 () 设= (0 1)，即 = = ( 2,4,4)， = (2 2,4 4,4)， = (2,4 3, 4)， 直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值为55， |cos | =| | |=55，解得 =23， =2321.如图 1，在边长为 4 的菱形中， = 60， 于点 E，将 沿折起到 1的位置，使1 ，如图 2 (1)求二面角 1 的余弦值 (2)判断在线段上是否存在一点 P，使平面1 平面1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解析】(1) 由题意，以 EB，ED，1分别为 x，y，z 轴，建立坐标系，则 = 2 3， 1(0,0，2)，(2,0，0)，(4,2 3,0)，(0,2 3,0)， 1= ( 2,0，2)， = (2,2 3,0)， 平面1的一个法向量为 = (0,1，0)， 设平面1的一个法向量为 = (,y，)， 则 2 + 2 = 02 + 23 = 0, 令 = 1， = ( 3,1， 3)， cos =|=77， 钝二面角 1 的余弦值为 77； (2) 在线段 EB 上不存在一点 P，使平面1 平面1， 设(,0，0)(0 2)， 则1 = (,0， 2)，1 = (0,2 3, 2)， 设平面1的法向量为 = (,b，)， 则 23 2 = 0 2 = 0， 令 = 2， = (2,3,)， 平面1 平面1， 由 (1) 可得平面1的一个法向量 = ( 3,1， 3)， 由 = 0得， 2 3 +33 = 0， = 3， 0 2， 在线段 EB 上不存在一点 P，使平面1 平面122.如图， 在四棱锥 中， 侧棱 底面 ABCD，/， = 90， = 1， = = = 2， M是棱 PB 的中点 (1)已知点 E 在棱 BC 上，且平面/平面 PCD，试确定点 E 的位置并说明理由；(2)设点 N 是线段 CD 上的动点，当点 N 在何处时，直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大?并求最大角的正弦值【解析】：(1)为 BC 的中点证明如下：连接 ME，AE， 、E 分别为 PB、BC 的中点， /又 平面 PDC， 平面 PDC， /平面 PDC又 /， 四边形 EADC 为平行四边形， /. 平面 PDC， 平面 PDC， /平面 PDC又 = ， 平面/平面 PDC (2) 以 A 为原点，分别以 AD，AB，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0，0)，(0,2，0)，(2,2，0)，(1,0，0)，(0,0，2)，(0,1，1)，设直线 MN 与平面 PAB 所成的角为， = (0 1)，则 = + + = ( + 1,2 1, 1)，易得平面 PAB 的一个法向量为 = (1,0,0)，则sin = |cos,| = + 1( + 1)2+ (2 1)2+ 1=( + 1)252 2 + 3，令 +1 = ， 1,2，则( + 1)252 2 + 3=252 12 + 10=1101212+ 557， sin 357，当且仅当 =53，即 =23时，等号成立