全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲导数的概念及运算学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 10 讲 导数的概念及运算 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 函数 y f(x)在 x x0 处的导数 1定义 称函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 lim x0f?x0 x? f?x0? x lim x0 y x为函数 y f(x)在 x x0处的导数，记作 f( x0)或 y| x x0， 即 f( x0) lim x0 y x lim x0f?x0 x? f?x0? x . 2几何意义 函数 f(x)在 x x0处的导数 f( x0)的几何意义是在曲线 y f(x)上点 (x0， f(x0)处的切线的斜率 (瞬时速度就是位移函

2、数 s(t)对时间 t 的导数 )相应地，切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0) 考点 2 基本初等函数的导数公式 =【 ;精品教育资源文库 】 = 考点 3 导数的运算法则 若 y f(x)， y g(x)的导数存在，则 (1)f(x) g(x) f( x) g( x)； (2)f(x) g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)； (3)? ?f?x?g?x? f ?x?g?x? f?x?g ?x?g?x?2 (g(x)0) 必会结论 1 f( x0)与 x0的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同 2 f( x0)不一定为 0，但 f(x0) 一定为 0. 3奇函数

3、的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 4函数 y f(x)的导数 f( x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 |f( x)|反映了变化的快慢， |f( x)|越大，曲线在这点处的切线越 “ 陡 ” 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)f( x0)与 f(x0) 表示的意义相同 ( ) (2)f( x0)是导函数 f( x)在 x x0处的函数值 ( ) (3)? ?sin 3 cos 3.( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)若 (ln x) 1x，则 ? ?1x ln x ( )

4、 答案 (1) (2) (3) (4) 2 课本改编 f(x) ax3 3x2 2，若 f( 1) 4，则 a 的值等于 ( ) A.193 B.163 C.133 D.103 答案 D 解析 因为 f( x) 3ax2 6x，所以 f( 1) 3a 6 4，解得 a 103.故选 D. 3 2018 九江模拟 已知曲线 y x24 3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 ( ) A 3 B 2 C 1 D.12 答案 B 解析 因为 y x24 3ln x，所以 y x23x.再由导数的几何意义，令x23x12，解得x 2 或 x 3(舍去 )故选 B. 4 课本改编 若曲线

5、y ex ax b 在点 (0,2)处的切线 l 与直线 x 3y 1 0 垂直，则 a b ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 答案 A 解析 因为直线 x 3y 1 0 的斜率为 13，所以切线 l 的斜率为 3，即 y| x 0 e0 a 1 a 3，所以 a 2；又曲线过点 (0,2)，所以 e0 b 2，解得 b 1.故选 A. 5 2018 秦皇岛模拟 函数 f(x) exln x 在点 (1， f(1)处的切线方程是 ( ) A y 2e(x 1) B y ex 1 C y e(x 1) D y x e 答案 C 解析 f(1) 0， f( x) ex? ?ln x 1x ，

6、 f(1) e， 切线方程是 y e(x 1)故选 C. 6 2018 烟台诊断 已知曲线 y asinx cosx 在 x 0 处的切线方程为 x y 1 0，则实数 a 的值为 _ 答案 1 解析 因为 y acosx sinx， y| x 0 a，根据题意知 a 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 板块二 典例探究 考向突破 考向 导数的基本运算 例 1 求下列函数的导数： (1)y cosxex ； (2)y x? ?x2 1x 1x3 ； (3)y x sinx2cosx2； (4)y ln x 1x. 解 (1)y ? ?cosxex ?cosx?ex cosx?ex?ex?2

7、 sinx cosxex . (2)因为 y x3 1x2 1，所以 y 3x2 2x3. (3)因为 y x 12sinx，所以 y 1 12cosx. (4)y ? ?ln x 1x (ln x) ? ?1x 1x 1x2. 触类旁通 导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 【变式训练】 已知函数 f(x)在 x 1 处的导数

8、为 12，则 f(x)的解析式可能为 ( ) A f(x) 12x2 ln x B f(x) xex C f(x) (3x2 4x)(2x 1) D f(x) 1x x 答案 D 解析 A 中 f( x) ? ?12x2 ln x x 1x， B 中 f( x) (xex) ex xex， C 中 f(x) 6x3 5x2 4x，所以 f( x) 18x2 10x 4， D 中 f( x) ? ?1x x 1x2 12 x. 分别将 x 1 代入检验，知 D 符合 =【 ;精品教育资源文库 】 = 考向 导数几何意义的应用 命题角度 1 求切线的方程 例 2 2017 全国卷 曲线 y x2

9、1x在点 (1,2)处的切线方程为 _ 答案 x y 1 0 解析 y 2x 1x2， y| x 1 1， 即曲线在点 (1,2)处的切线的斜率 k 1， 切线方程为 y 2 x 1，即 x y 1 0. 命题角度 2 求切点的坐标 例 3 2018 江西模拟 若曲线 y xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x y 1 0，则点 P 的坐标是 _ 答案 (e， e) 解析 设 P(x0， y0)， y xln x， y ln x x 1x 1 ln x k 1 ln x0.又 k 2， 1 ln x0 2， x0 e， y0 eln e e. 点 P 的坐标是 (e， e) 命题角度

10、3 求参数的值 例 4 已知 f(x) ln x， g(x) 12x2 mx 72(m 0)，直线 l 与函数 f(x)， g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为 (1， f(1)，则 m 的值为 ( ) A 1 B 3 C 4 D 2 答案 D 解析 f( x) 1x， 直线 l 的斜率为 k f(1) 1， 又 f(1) 0， 切线 l 的方程为 y x 1. g( x) x m，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为 (x0， y0)，则有 x0 m 1， y0 x0 1，y0 12x20 mx0 72， m 0，于是解得 m 2.故选 D. 触类旁通 求解曲线切线方程应注意的

11、问题 (1)对于曲线的切线方程的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握 (2)对于已知的点，首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 核心规律 1.f( x0)代表函数 f(x)在 x x0处的导数值； f(x0) 是函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即 f(x0) 0. 2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导 的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 满分策略

12、1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式 (xn) nxn 1与指数函数的求导公式 (ax) axln a 混淆 2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 板块三 启智培优 破译高考 易错警示系列 3 求曲线的切线方程 考虑不全面致错 2018 浙江杭州质检 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 y x3 和 y ax2 154x 9 都相切，则 a 等于 ( ) A 1 或 2564 B 1 或 214 C 74或 2564 D

13、74或 7 错因分析 (1)审题不仔细，未对 (1,0)的位置进行判断，误认为 (1,0)是切点； (2)当所给点不是切点时，不知所措，无法与导数的几何意义联系 解析 y x3， y 3x2. 设过点 (1,0)的直线与 y x3相切于点 (x0， x30)， 则在该点处的切线斜率为 k 3x20，所以切线方程为： y x30 3x20(x x0)，即 y 3x20x 2x30. 又点 (1,0)在切线上，则 x0 0 或 x0 32. 当 x0 0 时，由 y 0 与 y ax2 154x 9 相切可得 a 2564； 当 x0 32时，由 y 274x 274 与 y ax2 154x 9

14、 相切，得 a 1. 综上， a 1 或 a 2564.故选 A. 答案 A 答题启示 ?1?求曲线的切线方程，首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清 “ 过点 P 的切线 ” 与 “ 在点 P 处的切线 ” 的差异 . ?2?求解切线问题时，无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在 . 跟踪训练 2018 山西师大附中质 检 已知曲线 y 13x3 43. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程 解 (1)根据已知得点 P(2,4)是切点且 y x2，所以在点 P(2,4)处的切线的斜率为y | x 2 4.

15、所以曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y 4 4(x 2)，即 4x y 4 0. (2)设曲线 y 13x3 43与过点 P(2,4)的切线 相切于点 A? ?x0，13x3043 ，则切线的斜率为y | x x0 x20. 所以切线方程为 y ? ?13x3043 x20(x x0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 y x20 x 23x30 43. 因为点 P(2,4)在切线上，所以 4 2x20 23x30 43， 即 x30 3x20 4 0，所以 x30 x20 4x20 4 0， 所以 x20(x0 1) 4(x0 1)(x0 1) 0， 所以 (x0 1)(x0 2)2 0，解得 x0 1 或 x0 2， 故所求的切线方程为 x y 2 0 或 4x y 4 0. 板块四 模拟演练 提能增分 A