全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 函数的奇偶性 考点 2 函数的周期性 1周期函数 对于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 2最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期 必会结论 1函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义， 即 f(0)有意义，那么一定有 f(0) 0.

2、(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x) f(|x|) (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 (4)在公共定义域内有：奇 奇奇，偶 偶偶，奇 奇偶，偶 偶偶，奇 偶奇 2周期性的三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)若 f(x a) f(x)，则 T 2a； (2)若 f(x a) 1f?x?，则 T 2a； (3)若 f(x a) 1f?x?，则 T 2a.(a0) 3对称性的三个常用结论 (1)若函数 y f(x a)是偶函数，即 f(a x) f(a x)，则函数 y f

3、(x)的图象关于直线 x a 对称； (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a x) f(x)或 f( x) f(2a x)，则 y f(x)的图象关于直线 x a 对称； (3)若函数 y f(x b)是奇函数，即 f( x b) f(x b) 0，则函数 y f(x)关于点(b,0)中心对称 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)偶函数图象不一定 过原点，奇函数的图象一定过原点 ( ) (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 ( ) (3)函数 y 1 x x 1既是奇函数又是偶函数 ( ) (4)函数 f(x)为 R 上的奇函数

4、，且 f(x 2) f(x)，则 f(2018) 2018.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 2017 北京高考 已知函数 f(x) 3x ? ?13 x，则 f(x)( ) A是奇 函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数 答案 A 解析 函数 f(x)的定义域为 R， f( x) 3 x ? ?13 x ? ?13 x 3x f(x)， 函数 f(x)是奇函数 函数 y ? ?13 x在 R 上是减函 数， 函数 y ? ?13 x在 R 上是增函数 又 y 3x在 R 上是增函数， 函

5、数 f(x) 3x ? ?13 x在 R 上是增函数故选 A. 3 课本改编 如果 f(x)是定义在 R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ) A y x f(x) B y xf(x) =【 ;精品教育资源文库 】 = C y x2 f(x) D y x2f(x) 答案 B 解析 设 g(x) xf(x)因 为 f( x) f(x)，所以 g( x) xf( x) xf(x)， 所以 g( x) g(x)，所以 B 正确 4 课本改编 若函数 f(x) ax2 bx 3a b 是偶函数，定义域为 a 1,2a，则 a_， b _. 答案 13 0 解析 因为偶函数的定义域关于原点

6、对称，所以 a 1 2a，解得 a 13. 又函数 f(x) 13x2 bx b 1 为偶函数，所以二次函数的对称轴 b2a 0，易得 b 0. 5 2016 四川高考 若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 00，则 x 的取值范围是 _ 答案 ( 1,3) 解析 f(2) 0， f(x 1)0， f(x 1)f(2)，又 f(x)是偶函数， f(|x 1|)f(2)，又 f(x)在 0， ) 上单调递减， |x 1|0，x2 x， x0 时， f(x)x2 x，则当 x0，故 f( x) x2 x f(x)； 当 x0 时， x0 时， f(x) 2x2 3x 1，求

7、f(x)的解析式 解 当 x0，则 f( x) 2( x)2 3( x) 1 2x2 3x 1. 由于 f(x)是奇函数，故 f(x) f( x)，所以当 x0，0， x 0，2x2 3x 1， xf(a)，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 1) (2， ) B ( 1,2) C ( 2,1) D ( ， 2) (1， ) 答案 C 解析 f(x)是奇函数， 当 xf(a)，得 2 a2a，解得 2f( 2)，则 a 的取值范围是 _ 解题视点 由已知可得出 f(x)在 (0， ) 上单调递减，且 f( 2) f( 2)，利用单调性将 f(2|a 1|)f( 2)转化为 2|a 1

8、|f( 2) 故有 2|a 1|0 时， f(x) x3 8，则 x|f(x 2)0 ( ) A x| 22 B x|04 C x|x2 答案 B 解析 当 x 2 时，有 f(2) 0，又因为 f(x)为奇函数，所以 f( 2) 0，作出 f(x)的大致图象，由图象可知，当 22，即 04 时，有 f(x 2)0.故选B. 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 合肥质检 下列函数中，既是偶函数，又在 (0， ) 上单调递增的函数是( ) A y x3 B y |x| 1 C y x2 1 D y 2 |x| 答案 B 解析 因为 y x3是奇函数， y |x| 1， y

9、 x2 1， y 2 |x|均为偶函数，所以 A 错误；又因为 y x2 1， y 2 |x| ? ?12 |x|在 (0， ) 上均为减函数，只有 y |x| 1 在 (0， ) 上为增函数，所以 C， D 两项错误，只有 B 正确 2 2018 南宁模拟 设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( ) A f(x)g(x)是偶函数 B f(x)|g(x)|是奇函数 C |f(x)|g(x)是奇函数 D |f(x)g(x)|是奇函数 答案 B 解析 f(x)为奇函数， g(x)为偶函数，故 f(x)g(x)为奇函数， f(

10、x)|g(x)|为 奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数， |f(x)g(x)|为偶函数故选 B. 3 2017 齐鲁名校模拟 已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) 2x m，则 f( 2) ( ) A 3 B 54 C.54 D 3 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(0) 0，即 f(0) 20 m 0，解得 m 1，则 f( 2) f(2) (22 1) 3. 4已知偶函数 f(x)在区间 0， ) 上单调递减，则满足不等式 f(2x 1)f? ?53 成立的x 的取值范围是 ( ) A.? ? 13，

11、 43 B.? ? 13， 43 C.? ?13， 43 D.? ?13， 43 答案 B 解析 因为偶函数 f(x)在区间 0， ) 上单调递减，所以 f(x)在区间 ( ， 0上单调递增，若 f(2x 1)f? ?53 ，则 530， f(x) x(1 x)，那么 x0， f( x) ( x)(1 x)又 f( x) f(x)， f(x)x(1 x) 6 2018 贵阳模拟 已知函数 f(x) x3 sinx 1(x R)，若 f(a) 2，则 f( a)的值为 ( ) A 3 B 0 C 1 D 2 答案 B 解析 设 F(x) f(x) 1 x3 sinx，显然 F(x)为奇函数，又

12、F(a) f(a) 1 1，所以F( a) f( a) 1 1，从而 f( a) 0.故选 B. 7 2018 德州模拟 设偶函数 f(x)在 (0， ) 上为增函数，且 f(1) 0，则不等式f?x? f? x?x 0 的解集为 ( ) A ( 1,0) (1， ) B ( ， 1) (0,1) C ( ， 1) (1， ) D ( 1,0) (0,1) 答案 A 解析 由 f?x? f? x?x 0，可得 2f?x?x 0，即 f?x?x 0， 当 x0 时， f(x)0，即 f(x)f(1)，解得 x1. 故不等式 f?x? f? x?x 0 的解集为 ( 1,0) (1， ) 8 20

13、17 全国卷 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ( ， 0)时， f(x) 2x3 x2，则 f(2) _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 12 解析 解法一： 令 x0，则 x0) f(2) 22 3 22 12. 解法二： f(2) f( 2) 2( 2)3 ( 2)2 12. 9 2017 豫东十校联考 若 f(x) 12x 1 a 是奇函数，则 a _. 答案 12 解析 依题意得 f(1) f( 1) 0，由此得 121 1 a 12 1 1 a 0，解得 a 12. 10 2018 衡水模拟 已知 y f(x) x2是奇函数， 且 f(1) 1，若 g(

14、x) f(x) 2，则 g( 1) _. 答案 1 解析 y f(x) x2是奇函数，且 f(1) 1， f( 1) ( 1)2 f(1) 12， f( 1) 3. 因此 g( 1) f( 1) 2 1. B 级 知能提升 1 2018 金版创新 已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数，若函数 f(x 2016)为偶函数，且 f(x)对任意 x1， x2 2016， )( x1 x2)，都有 f?x2? f?x1?x2 x1f(2018)f(2019)又因为 f(x 2016)为偶函数，所以 f( x 2016) f(x 2016)，所以 f( 2 2016) f(2 2016)，即 f(2014) f(2018)，所以 f(2017)f(2014)f(2019)故选 A. 2若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x) g(x) ex，则 g(x) ( ) A ex e x B.12(ex e x) C.12(e x ex) D.12(ex e x) 答案 D