浙江专版2019版高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和数列的综合应用学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.4 数列求和、数列的综合应用 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.数列的求和 1.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 . 2.能利用等差、等比数列前 n项和公式及其性质求一些特殊数列的和 . 掌握 18(2),7分 14(文 ),4分 19(2),7分 17(2)(文), 8分 17(2)(文), 8分 2.数列的综合应用 能利用数列的等差关系或等比关系解决实际问题 . 掌握 18(1),7分 19(文 ), 14分 19(1), 7分 20,15分 17(1)(文), 7

2、分 20(2), 8分 22,15分 分析解读 1.等差数列和等比数列是数列的两个最基本的模型 ,是高考中的热点之一 .基本知识的考查以选择题或填空题的形式呈现 ,而综合知识的考查则以解答题形式呈现 . 2.通过以数列为载体来考查推理归纳、类比的能力成为高考的热点 . 3.数列常与其他知识如不等式、函数、概率、解析几何等综合起来进行考查 . 4.预计 2019年高考中 ,对数列与不等式的综合题的考查仍是热点 ,复习时应引起高度重视 . 五年高考 考点一 数列 的求和 1.(2017课标全国 理 ,12,5 分 )几位大学生响应国家的创业号召 ,开发了一款应用软件 .为激发大家学习数学的兴趣 ,

3、他们推出了 “ 解数学题获取软件激活码 ” 的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案 :已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,?, 其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推 .求满足如下条件的最小整数 N:N100且该数列的前 N项和为 2的整数幂 .那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 答案 A 2.(2015江苏 ,11,5分 )设数列 an满足 a1=1,且 an+1-an=n+1(nN *),则数列 前 10项的和为 . 答案 3.(2016浙江文 ,17,

4、15分 )设数列 an的前 n项和为 Sn.已知 S2=4,an+1=2Sn+1,nN *. (1)求通项公式 an; (2)求数列 |an-n-2|的前 n项和 . 解析 (1)由题意得 则 又当 n2 时 ,由 an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得 an+1=3an. 所以 ,数列 an的通项公式为 an=3n-1,nN *. (2)设 bn=|3n-1-n-2|,nN *,则 b1=2,b2=1. 当 n3 时 ,由于 3n-1n+2,故 bn=3n-1-n-2,n3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设数列 bn的前 n项和为 Tn,则 T1=2,T2=3

5、. 当 n3 时 ,Tn=3+ - = , 所以 Tn= 4.(2015浙江文 ,17,15分 )已知数列 an和 bn满足 a1=2,b1=1,an+1=2an(nN *),b1+ b2+ b3+?+ bn=bn+1-1(nN *). (1)求 an与 bn; (2)记数列 anbn的前 n项和为 Tn,求 Tn. 解析 (1)由 a1=2,an+1=2an,得 an=2n(nN *). 由题意知 : 当 n=1时 ,b1=b2-1,故 b2=2. 当 n2 时 , bn=bn+1-bn,整理得 = , 所以 bn=n(nN *). (2)由 (1)知 anbn=n2 n, 因此 Tn=2+

6、22 2+32 3+?+n2 n, 2Tn=22+22 3+32 4+?+n2 n+1, 所以 Tn-2Tn=2+22+23+?+2 n-n2 n+1. 故 Tn=(n-1)2n+1+2(nN *). 5.(2017山东文 ,19,12分 )已知 an是各项均为正数的等比数列 ,且 a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求数列 an的通项公式 ; (2)bn为各项非零的等差数列 ,其前 n项和为 Sn.已知 S2n+1=bnbn+1,求数列 的前 n项和 Tn. 解析 本题考查等比数列与数列求和 . (1)设 an的公比为 q, 由题意知 :a1(1+q)=6, q=a1q2, 又 an0,

7、解得 a1=2,q=2,所以 an=2n. (2)由题意知 :S2n+1= =(2n+1)bn+1, 又 S2n+1=bnbn+1,bn+10 ,所以 bn=2n+1. 令 cn= ,则 cn= . 因此 Tn=c1+c2+?+c n= + + +?+ + , 又 Tn= + + +?+ + , =【 ;精品教育资源文库 】 = 两式相减得 Tn= + - , 所以 Tn=5- . 6.(2016课标全国 ,17,12 分 )Sn为等差数列 an的前 n 项和 ,且 a1=1,S7=28.记 bn=lg an,其中 x表示不超过x的最大整数 ,如 0.9=0,lg 99=1. (1)求 b1,

8、b11,b101; (2)求数列 bn的前 1 000项和 . 解析 (1)设 an的公差为 d,据已知有 7+21d=28, 解得 d=1. 所以 an的通项公式为 an=n. b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.(6分 ) (2)因为 bn= (9分 ) 所以数列 bn的前 1 000项和为 190+2900+31=1 893.(12 分 ) 7.(2015天津 ,18,13分 )已知数列 an满足 an+2=qan(q为实数 ,且 q1),nN *,a1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 . (1)求 q的值和 an的通项

9、公式 ; (2)设 bn= ,nN *,求数列 bn的前 n项和 . 解析 (1)由已知 ,有 (a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即 a4-a2=a5-a3, 所以 a2(q-1)=a3(q-1).又因为 q1, 故 a3=a2=2, 由 a3=a1q, 得 q=2. 当 n=2k-1(kN *)时 ,an=a2k-1=2k-1= ; 当 n=2k(kN *)时 ,an=a2k=2k= . 所以 ,an的通项公式为 an= (2)由 (1)得 bn= = .设 bn的前 n项和为 Sn,则 Sn=1 +2 +3 +?+(n -1) +n , Sn=1 +2 +3

10、+?+(n -1) +n , 上述两式相减 ,得 Sn=1+ + +?+ - = - =2- - , 整理得 ,Sn=4- . =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 ,数列 bn的前 n项和为 4- ,nN *. 教师用书专用 (8 18) 8.(2013 辽宁 ,14,5 分 )已知等比数列 an是递增数列 ,Sn是 an的前 n 项和 .若 a1,a3是方程 x2-5x+4=0 的两个根 ,则 S6= . 答案 63 9.(2013重庆 ,12,5分 )已知 an是等差数列 ,a1=1,公差 d0,S n为其前 n项和 ,若 a1,a2,a5成等比数列 ,则S8= . 答案 64 10.

11、(2013湖南 ,15,5分 )设 Sn为数列 an的前 n项和 ,Sn=(-1)nan- ,nN *,则 (1)a3= ; (2)S1+S2+?+S 100= . 答案 (1)- (2) 11.(2017北京文 ,15,13分 )已知等差数列 an和等比数列 bn满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求 an的通项公式 ; (2)求和 :b1+b3+b5+?+b 2n-1. 解析 本题考查等差数列及等比数列的 通项公式 ,数列求和 .考查运算求解能力 . (1)设等差数列 an的公差为 d. 因为 a2+a4=10,所以 2a1+4d=10. 解得 d=2.所以 a

12、n=2n-1. (2)设等比数列 bn的公比为 q. 因为 b2b4=a5,所以 b1qb1q3=9. 解得 q2=3. 所以 b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而 b1+b3+b5+?+b 2n-1=1+3+32+?+3 n-1= . 12.(2013浙江 ,18,14分 )在公差为 d的等差数列 an中 ,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3成等比数列 . (1)求 d,an; (2)若 d0,解得 q=2. 所以 ,bn=2n. 由 b3=a4-2a1,可得 3d-a1=8. 由 S11=11b4,可得 a1+5d=16, 联立 , 解得 a1=1,d=3,由此可得 a

13、n=3n-2. 所以 ,an的通项公式为 an=3n-2,bn的通项公式为 bn=2n. (2)设数列 a2nbn的前 n项和为 Tn,由 a2n=6n-2,有 Tn=42+102 2+162 3+?+(6n -2)2 n, 2Tn=42 2+102 3+162 4+?+(6n -8)2 n+(6n-2)2 n+1, 上述两式相减 ,得 -Tn=42+62 2+62 3+?+62 n-(6n-2)2 n+1 = -4-(6n-2)2 n+1 =-(3n-4)2n+2-16. 得 Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以 ,数列 a2nbn的前 n项和为 (3n-4)2n+2+16. 14.(2

14、015湖北 ,19,12分 )设等差数列 an的公差为 d,前 n项和为 Sn,等比数列 bn的公比为 q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列 an,bn的通项公式 ; (2)当 d1时 ,记 cn= ,求数列 cn的前 n项和 Tn. 解析 (1)由题意有 , 即 解得 或 故 或 (2)由 d1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn= , 于是 Tn=1+ + + + +?+ , Tn= + + + + +?+ . =【 ;精品教育资源文库 】 = - 可得 Tn=2+ + +?+ - =3- , 故 Tn=6- . 15.(2014山东 ,19,12

15、分 )已知等差数列 an的公差为 2,前 n项和为 Sn,且 S1,S2,S4成等比数列 . (1)求数列 an的通项公式 ; (2)令 bn=(-1)n-1 ,求数列 bn的前 n项和 Tn. 解析 (1)因为 S1=a1,S2=2a1+ 2=2a 1+2, S4=4a1+ 2=4a 1+12, 由题意得 (2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得 a1=1,所以 an=2n-1. (2)bn=(-1)n-1 =(-1)n-1 =(-1)n-1 . 当 n为偶数时 , Tn= - +?+ - =1- = . 当 n为奇数时 , Tn= - +? - + + + =1+ = . 所以 Tn

16、= 16.(2013江西 ,17,12分 )正项数列 an的前 n项和 Sn满足 : -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (1)求数列 an的通项公式 an; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)令 bn= ,数列 bn的前 n项和为 Tn.证明 :对于任意的 nN *,都有 Tn0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n2 时 ,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上 ,数列 an的通项 an=2n. (2)证明 :由于 an=2n,bn= , 则 bn= = - . Tn= 1- + - + - +?+ - + - = 0,q0)的两个不同的零

17、点 ,且 a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列 ,也可适当排序后成等比数列 ,则 p+q的值等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 D 2.(2017北京理 ,10,5分 )若等差数列 an和等比数列 bn满足 a1=b1=-1,a4=b4=8,则 = . 答案 1 3.(2016浙江 ,20,15分 )设数列 an满足 1,nN *. (1)证明 :|an|2 n-1(|a1|-2),nN *; (2)若 |an| ,nN *,证明 :|an|2,nN *. 证明 (1)由 1 得 |an|- |an+1|1, 故 - ,nN *, 所以 - = + +?+ + +?+ n

18、, - = + +?+ + +?+ n,均有 |an|2,取正整数 m0lo 且 m0n0,则 0. 由 00,c30,c40; 当 n5 时 ,cn= , 而 - = 0, 得 1, 所以 ,当 n5 时 ,cn0. 综上 ,对任意 nN *,恒有 S4S n,故 k=4. 6.(2017课标全国 文 ,17,12 分 )已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,等比数列 bn的前 n项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若 a3+b3=5,求 bn的通项公式 ; (2)若 T3=21,求 S3. 解析 本题考查了等差、等比数列 . 设 an的公差为 d,bn的公比为 q,则 an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由 a2+b2=2得 d+q=3. (1)由 a3+b3=5 得 2d+q2=6. 联立 和 解得 (舍去 ),或 因此 bn的通 项公式为 bn=2n-1. (2)由 b1=1,T3=21得 q2+q-20=0. 解得 q=-5或 q=4. 当 q=-5时 ,由 得 d=8,则 S3=21. 当 q=4时 ,由 得 d=-1,则 S3=-6. 7.(2017课标全国 文 ,17,12 分 )设数列 an满足 a1+3a2+?+(2n -1)an