高考数学一轮复习专项检测试题31平面向量与三角形的应用举例.doc
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1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 平面向量与三角形的应用举例 一、 平面向量与三角形 的 心 1、重心(中线交点) ( 1) G 是 ABC? 的重心 ? 0GA GB GC? ? ? ( 2) G 是 ABC? 的重心 ? 1 ()3PG PA PB PC? ? ?( P 是平面上的点) 证明 : P G P A A G P B B G P C C G? ? ? ? ? ? 3 ( ) ( )P G A G B C G P A P B P C? ? ? ? ? ? G 是 ABC? 的重心 GA GB GC? 0GAGBGC? ? AG BG CG? 0AGBGC? ,即 3PG PA PB
2、 PC? ? ? 由此可得 1 ()3P G P A P B P C? ? ?。 例如: 已知向量 1 2 3,OP OP OP ,满足条件 1 2 3 0OP OP OP? ? ?, 1 2 3| | | | | | 1O P O P O P? ? ?, 求证: 321 PPP? 是正三角形。 分析: 对于本题中的条件 1 2 3| | | | | | 1OP OP OP? ? ?,容易想到,点 O 是 321 PPP? 的外心,而另一个条件 1 2 3 0OP OP OP? ? ?表明,点 O 是 321 PPP? 的重心。 故本题可描述为,若存在一个点既是三角形的重心也是外心,则该三角形
3、一定是正三角形。又如,若 一个三角形的重心与外接圆圆心重合,则此三角形为何种三角形?与 本题实质是相同的。 显然,本题中的条件 1 2 3| | | | | | 1OP OP OP? ? ?可改为 1 2 3| | | | | |OP OP OP?。 2、垂心(高线交点) ( 1) H 是 ABC? 的垂心 ? H A H B H B H C H C H A? ? ? ? ? 由 ( ) 0 0H A H B H B H C H B H C H A H B A C H B A C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 同理 HC AB? , HA BC? 。故 H 是 ABC? 的垂
4、心 。 反之亦然 。 =【 ;精品教育资源文库 】 = ( 2) H 是 ABC? ( 非直角三角形 ) 的垂心,则 有 CBASSS A H BA H CB H C t a n:t a n:t a n: ? 且 0t a nt a nt a n ? HCCHBBHAA 。 3、外心(边垂直平分线交点,外接圆圆心) ( 1) O 是 ABC? 的外心 ? OCOBOA ? (点 O 到 ABC? 的三个顶点距离相等) ( 2) O 是 ABC? 的外心 ? 0)()()( ? CAOAOCBCOCOBABOBOA ( O 为三边垂直平分线交点) ( 3) O 是 ABC? 的外心,则 有 CB
5、AA O BA O CB O CSSS A O BA O CB O C 2s i n:2s i n:2s i ns i n:s i n:s i n: ? 且 02s i n2s i n2s i n ? OCCOBBOAA 。 4、内心(角平分线交点,内切圆圆心) ( 1) O 是 ABC? 的内心 ? 0? OCcOBbOAa ( 2) O 是 ABC? 的内心 ? ( ) ( ) ( ) 0| | | | | | | | | | | |A B A C B A B C C A C BO A O B O CA B A C B A B C C A C B? ? ? ? ? ? ? ? ?( 3)
6、引进单位向量,使条件变得更简洁。记 AB , BC , CA 的单位向量为 1 2 3,eee ,则 O 是 ABC?的内心 ? 0)()()( 322131 ? eeOCeeOBeeOA ( 4) O 是 ABC? 的内心,则 cbaSSS AO BAO CBO C : ? 故 0? OCcOBbOAa 或 0s i ns i ns i n ? OCCOBBOAA ( 5) P 是 ABC? 的内心 ? | | | | | | 0A B P C B C P A C A P B P? ? ? ? ( 6) 向量 ( )( 0 )| | | |AB ACAB AC?所在直线过 ABC? 的内心
7、( 是 BAC? 的角平分线所在直线 ) ( 7)设 P 是 ABC? 所在平面内任意一点, I 为 ABC? 内心 ? a PA bPB cPCPIabc? ?例如: O 是平面上一定点, CBA , 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 =【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) 0 , ) .| | | |A B A CO P O A A B A C? ? ? ? ? ? ?则 P 的轨迹一定通过 ABC? 的( ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 分析:已知等式即 ()| | | |AB ACAP AB AC?,设 ,| | | |AB ACAE AFAB AC?,显然 ,AE
8、AF 都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形,故 AP 为 ABC? 的平分线,选 B 。 5、外心与重心:若 O 是 ABC? 的外心, G 是重心,则3OA OB OCOG ?6、外心与垂心:若 O 是 ABC? 的外心, H 是垂心,则 OH OA OB OC? ? ? 7、重心与垂心:若 G 是 ABC? 的重心, H 是垂心,则3HA HB HCHG ?8、 外心、重心、垂心 :若 HGO , 分别是锐角 ABC? 的外心、重心、垂心, 则 13OG OH?证明 : 按重心定理 : G 是 ABC? 的重心 ? 1 ()3OG OA OB OC? ? ?; 按垂心定理
9、 : OH OA OB OC? ? ?, 由此可得 : 13OG OH?。 9、 三角形的外心、重心、垂心的位置关系: ( 1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线 ,即 欧拉线; ( 2) 三角形的重心在欧拉线上,且为外 心、 垂 心 连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例如: 在 ABC? 中,已知 HGQ , 分别是三角形的外心、重心 、垂心。求证: HGQ , 三点共线,且 2:1: ?GHQG 。 证明:以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴,建立如 上 图所示的直角坐标系。 设 )0,0(A 、 )0,( 1xB
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