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类型高考数学一轮复习专项检测试题31平面向量与三角形的应用举例.doc

  • 上传人(卖家):flying
  • 文档编号:30443
  • 上传时间:2018-08-11
  • 格式:DOC
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    关 键  词:
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    资源描述:

    1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 平面向量与三角形的应用举例 一、 平面向量与三角形 的 心 1、重心(中线交点) ( 1) G 是 ABC? 的重心 ? 0GA GB GC? ? ? ( 2) G 是 ABC? 的重心 ? 1 ()3PG PA PB PC? ? ?( P 是平面上的点) 证明 : P G P A A G P B B G P C C G? ? ? ? ? ? 3 ( ) ( )P G A G B C G P A P B P C? ? ? ? ? ? G 是 ABC? 的重心 GA GB GC? 0GAGBGC? ? AG BG CG? 0AGBGC? ,即 3PG PA PB

    2、 PC? ? ? 由此可得 1 ()3P G P A P B P C? ? ?。 例如: 已知向量 1 2 3,OP OP OP ,满足条件 1 2 3 0OP OP OP? ? ?, 1 2 3| | | | | | 1O P O P O P? ? ?, 求证: 321 PPP? 是正三角形。 分析: 对于本题中的条件 1 2 3| | | | | | 1OP OP OP? ? ?,容易想到,点 O 是 321 PPP? 的外心,而另一个条件 1 2 3 0OP OP OP? ? ?表明,点 O 是 321 PPP? 的重心。 故本题可描述为,若存在一个点既是三角形的重心也是外心,则该三角形

    3、一定是正三角形。又如,若 一个三角形的重心与外接圆圆心重合,则此三角形为何种三角形?与 本题实质是相同的。 显然,本题中的条件 1 2 3| | | | | | 1OP OP OP? ? ?可改为 1 2 3| | | | | |OP OP OP?。 2、垂心(高线交点) ( 1) H 是 ABC? 的垂心 ? H A H B H B H C H C H A? ? ? ? ? 由 ( ) 0 0H A H B H B H C H B H C H A H B A C H B A C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 同理 HC AB? , HA BC? 。故 H 是 ABC? 的垂

    4、心 。 反之亦然 。 =【 ;精品教育资源文库 】 = ( 2) H 是 ABC? ( 非直角三角形 ) 的垂心,则 有 CBASSS A H BA H CB H C t a n:t a n:t a n: ? 且 0t a nt a nt a n ? HCCHBBHAA 。 3、外心(边垂直平分线交点,外接圆圆心) ( 1) O 是 ABC? 的外心 ? OCOBOA ? (点 O 到 ABC? 的三个顶点距离相等) ( 2) O 是 ABC? 的外心 ? 0)()()( ? CAOAOCBCOCOBABOBOA ( O 为三边垂直平分线交点) ( 3) O 是 ABC? 的外心,则 有 CB

    5、AA O BA O CB O CSSS A O BA O CB O C 2s i n:2s i n:2s i ns i n:s i n:s i n: ? 且 02s i n2s i n2s i n ? OCCOBBOAA 。 4、内心(角平分线交点,内切圆圆心) ( 1) O 是 ABC? 的内心 ? 0? OCcOBbOAa ( 2) O 是 ABC? 的内心 ? ( ) ( ) ( ) 0| | | | | | | | | | | |A B A C B A B C C A C BO A O B O CA B A C B A B C C A C B? ? ? ? ? ? ? ? ?( 3)

    6、引进单位向量,使条件变得更简洁。记 AB , BC , CA 的单位向量为 1 2 3,eee ,则 O 是 ABC?的内心 ? 0)()()( 322131 ? eeOCeeOBeeOA ( 4) O 是 ABC? 的内心,则 cbaSSS AO BAO CBO C : ? 故 0? OCcOBbOAa 或 0s i ns i ns i n ? OCCOBBOAA ( 5) P 是 ABC? 的内心 ? | | | | | | 0A B P C B C P A C A P B P? ? ? ? ( 6) 向量 ( )( 0 )| | | |AB ACAB AC?所在直线过 ABC? 的内心

    7、( 是 BAC? 的角平分线所在直线 ) ( 7)设 P 是 ABC? 所在平面内任意一点, I 为 ABC? 内心 ? a PA bPB cPCPIabc? ?例如: O 是平面上一定点, CBA , 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 =【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) 0 , ) .| | | |A B A CO P O A A B A C? ? ? ? ? ? ?则 P 的轨迹一定通过 ABC? 的( ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 分析:已知等式即 ()| | | |AB ACAP AB AC?,设 ,| | | |AB ACAE AFAB AC?,显然 ,AE

    8、AF 都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形,故 AP 为 ABC? 的平分线,选 B 。 5、外心与重心:若 O 是 ABC? 的外心, G 是重心,则3OA OB OCOG ?6、外心与垂心:若 O 是 ABC? 的外心, H 是垂心,则 OH OA OB OC? ? ? 7、重心与垂心:若 G 是 ABC? 的重心, H 是垂心,则3HA HB HCHG ?8、 外心、重心、垂心 :若 HGO , 分别是锐角 ABC? 的外心、重心、垂心, 则 13OG OH?证明 : 按重心定理 : G 是 ABC? 的重心 ? 1 ()3OG OA OB OC? ? ?; 按垂心定理

    9、 : OH OA OB OC? ? ?, 由此可得 : 13OG OH?。 9、 三角形的外心、重心、垂心的位置关系: ( 1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线 ,即 欧拉线; ( 2) 三角形的重心在欧拉线上,且为外 心、 垂 心 连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例如: 在 ABC? 中,已知 HGQ , 分别是三角形的外心、重心 、垂心。求证: HGQ , 三点共线,且 2:1: ?GHQG 。 证明:以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴,建立如 上 图所示的直角坐标系。 设 )0,0(A 、 )0,( 1xB

    10、 、 ),( 22 yxC , FED , 分别为 ACBCAB , 的中点, 则有: 1 1 2 2 2 2, 0 ) ( , ) ( , )2 2 2 2 2x x x y x yEF?D ( 、 、, 由题设可设 13 2 4, ) ( , )2xQ y H x y( 、, 1 2 2( , )33x x yG ?2 1 22 4 3( , ) ( , )2 2 2x x yA H x y Q F y? ? ? ? ?, , 2 1( , )BC x x y? 2 2 1 2 42 2 142( ) 0()A H B C A H B C x x x y yx x xyy? ? ? ? ?

    11、 ? ? ? ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 1 22 2 32 2 1 232( ) ( ) 02 2 2()22x x yQ F A C Q F A C x y yx x x yyy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 2 1 22 4 3 2 3 ( )( , ) , )x x x x x x yQ H x y y ? ? ? ? ? ? ?2( 2 2 y 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2322 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2222 ( )( , ) , )3 2 3 6 3 2 22 3 ( ) 2 3 ( )11 ( , ) ( ,

    12、 )6 6 6 3 2 2 2 3x x x y x x y x x x yQ G yyx x x x x y x x x x x y QHyy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(即 =3QH QG ,故 HGQ , 三点共线,且 2:1: ?GHQG 。 二、应用举例 1、已知 PNO , 在 ABC? 所在平面内,且 ,0O A O B O C N A N B N C? ? ? ? ?,且 P A P B P B P C P C P A? ? ? ? ?,则点 PNO , 依次是 ABC? 的( C ) A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 内心 C、外

    13、心 重心 垂心 D、外心 重心 内心 2、 O 是 ABC? 所在平面内的一点,满足 O A O B O B O C O C O A? ? ? ? ?,则点 O 是 ABC? 的 ( D ) A、 三个内角的角平分线的交点 B、 三条 边的垂直平分线的交点 C、 三条中线的交点 D、 三条高的交点 解:由 O A O B O B O C O C O A? ? ? ? ?,得 ( ) 0 ,( ) 0.OB OA OCOA OB OC? ? ? ? ? ? ,.OB CAOA BC? ? O 是 ABC? 的垂心,即三条高的交点。 3、 在同一个平面上有 ABC? 及一点 O 满足关系式:2 2

    14、 2 2 2 2| | | | | | | | | | | |O A B C O B C A O C A B? ? ? ? ?, 则 O 为 ABC? 的 ( D ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 4、 已知 ABC? , P 为三角形所在平面上的动点,且满足: 0P A P C P A P B P B P C? ? ? ? ? ?,则P 点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 为 ABC? 的 ( D ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 5、已知 P 是 ABC? 所在平面内任意一点,且 3PA PB PC PG? ? ?,则 G 是 ABC? 的( C ) A、外心 B、内

    15、心 C、重 心 D、垂心 解:若 M 是 ABC? 的重心,则有 23P M P A A M P A A D? ? ? ?( D 是 BC 的中点) ? 1 1 1( ) ( ) ( )3 3 3P A A B A C P A P B P A P C P A P A P B P C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 3PA PB PC PM? ? ?。 G 与 M 重合,即 G 是 ABC? 的重心。 6、 已知 ABC? 的顶点 CBA , 及平面内一点 P 满足: 0PA PB PC? ? ? ,则 P 为 ABC? 的 ( C ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 7、 已知

    16、 O 是平面上一定点, CBA , 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足: ()OP OA AB AC? ? ?,则 P 的轨迹一定通过 ABC? 的 ( C ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 8、 已知 ABC? , P 为三角形所在平面上的一点,且点 P 满足: 0a PA b PB c PC? ? ? ? ? ?,则 P点为 ABC? 的 ( B ) A、外心 B、内 心 C、重心 D、垂心 9、 在 ABC? 中,动点 P 满足: 222CA CB AB CP? ? ?,则 点一定通过 ABC? 的 ( B ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 10、已知 O 是平面

    17、内的一个点, CBA , 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 ( ) , 0 , )A B A CO P O A A B A C? ? ? ? ? ?,则点 P 的轨迹一定过 ABC? 的( B ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 11、 已知 CBA , 是平面上不共线的三点, O 是 ABC? 的重心,动点 P 满足)22121(31 OCOBOAOP ? , 则点 P 一定为 ABC? 的 ( B ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A、 AB 边中线的中点 B、 AB 边中线的三等分点 ( 非重心 ) C、 重心 D、 AB 边的中点 分析:取 AB 边的中点 M ,则 2

    18、OA OB OM? ,由 )22121(31 OCOBOAOP ? , 得 3 32OP OM MC?, 23MP MC?,即点 P 为三角形中 AB 边中线的一个三等分点,且 P 不过重心 。 12、 非零向量 AB 与 AC 满足 且 , 则 ABC? 为 ( D ) A、 三边均不相等的三角形 B、 直角三角形 C、 等腰非等边三角形 D、 等边三角形 13、 ABC? 的外接圆的圆心为 O ,两边上的高的交点为 H , OH? ()m OA OB OC?,则实数 m? 。 解:当 ABC? 为 Rt? 时,不妨设 90C? ,则 O 是 AB 的中点, H 是直角顶点 C , OA OB O?, O H O C O A O B O C? ? ? ?, 1m? 。 14、若 O 是 ABC? 的外心, O 是 ABC? 三边中点 FED , 构成的 DEF? 的外心,且 ()O O m O A O B O C? ? ?,则 m? 。 (其实 O 是 OH 的中点, 12m? ;也可用特例 Rt? 时得 12m? ) 15、在四边形 ABCD 中, AB =DC )1,1(? , 1 1 3B A B C B DB A B C B D?,则四边形 ABCD 的面积是 。 解析

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