全国通用版2019版高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标25平面向量的数量积与平面向量应用举例2.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 25 讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例 解密考纲 本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难 一、选择题 1已知向量 a (x 1,2)， b (2,1)，则 a b 的充要条件是 ( D ) A x 12 B x 1 C x 5 D x 0 解析 由向量垂直的充要条件，得 2(x 1) 2 0，解得 x 0. 2已知非零向量 a， b， |a| |b| |a b|，则 cos a， a b ( C ) A 12 B 12 C 32 D 32 解析 设 |

2、a| |b| |a b| 1，则 (a b)2 a2 2ab b2 1， ab 12， a (a b) a2 ab 1 12 32. |a b| a2 b2 2ab 1 1 1 3， cos a， a b321 332 . 3已知向量 |OA | 2， |OB | 4， OA OB 4，则以 OA ， OB 为邻边的平行四边形的面积为( A ) A 4 3 B 2 3 C 4 D 2 解析 因为 cos AOB OA OB|OA |OB | 424 12，所以 sin AOB 32 ，所以所求的平行四边形的面积为 |OA | OB |sin AOB 4 3.故选 A 4已知平面向量 a， b

3、满足 a (a b) 3，且 |a| 2， |b| 1，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为 ( D ) A 12 B 32 C 12 D 32 解析 a (a b) a2 ab 22 21cos a， b 4 2cos a， b 3， cos=【 ;精品教育资源文库 】 = a， b 12，又 a， b 0， ， sin a， b 1 cos2 a， b 32 .故选 D 5若 ABC 的三个内角 A， B， C 度数成等差数列，且 (AB AC ) BC 0，则 ABC 一定是 ( C ) A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形 解析 因为 (AB AC ) BC

4、0，所以 (AB AC )( AC AB ) 0，所以 AC 2 AB 2 0，即 |AC | |AB |，又 A， B， C 度数成等差数列，故 2B A C，又 A B C ，所以 2B B，所以 B 3 ，故 ABC 是等边三角形 6 (2017 浙江卷 )如图，已知平面四边形 ABCD， AB BC， AB BC AD 2， CD 3， AC与 BD 交于点 O，记 I1 OA OB ， I2 OB OC ， I3 OC OD ，则 ( C ) A I1 I2 I3 B I1 I3 I2 C I3 I1 I2 D I2 I1 I3 解析 如图所示，四边形 ABCE 是正方形， F 为正

5、方形的对角线的交点，易知 AOI3，作 AG BD 于 G，又 AB AD， OBOC OD ，即 I1I3， I3I1I2.故选 C 二、填空题 7 (2017 全国卷 )已知向量 a ( 2,3)， b (3， m)，且 a b，则 m _2_. 解析 因为 a b，所以 ab 23 3m 0，解得 m 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 AO 12(AB AC )，则 AB 与 AC 的夹角为 _90 _. 解析 由 AO 12(AB AC )，可得 O为 BC的中点，故 BC为圆 O的直径，所以 AB 与 AC 的夹角为 90. 9

6、(2017 北京卷 )已知点 P 在圆 x2 y2 1 上，点 A 的坐标为 ( 2,0)， O 为原点，则 AO AP 的最大值为 _6_. 解析 由题意知 AO (2,0)，令 P(x， y)， 1 x1 ，则 AO AP (2,0)( x 2， y)2x 46 ，故 AO AP 的最大值为 6. 三、解答题 10已知 |a| 4， |b| 8， a 与 b 的夹角是 120. (1)求 |a b|和 |4a 2b|； (2)当 k 为何值时， a 2b 与 ka b 垂直 解析 由已知得 ab 48 ? ? 12 16. (1) |a b|2 a2 2ab b2 16 2 ( 16) 6

7、4 48， |a b| 4 3. |4a 2b|2 16a2 16ab 4b2 16 16 16 ( 16) 4 64 768， |4a 2b| 16 3. (2)( a 2b) (ka b)， (a 2b)( ka b) 0， ka2 (2k 1)ab 2b2 0， 即 16k 16(2k 1) 264 0， k 7. 故 k 7 时， a 2b 与 ka b 垂直 11如图， O 是 ABC 内一点， AOB 150 ， AOC 120 ，向量 OA ， OB ， OC 的模分别为 2， 3， 4. (1)求 |OA OB OC |； (2)若 OC mOA nOB ，求实数 m， n 的

8、值 解析 (1)由已知条件易知 OA OB |OA | OB |cos AOB =【 ;精品教育资源文库 】 = 3， OA OC |OA | OC |cos AOC 4， OB OC 0， |OA OB OC |2 OA 2 OB 2 OC 2 2(OA OB OA OC OB OC ) 9， |OA OB OC | 3. (2)由 OC mOA nOB ，可得 OA OC mOA 2 nOA OB ，且 OB OC mOB OA nOB 2， ? 4m 3n 4， 3m 3n 0， m n 4. 12已知向量 AB (6,1)， BC (x， y)， CD ( 2， 3) (1)若 BC

9、DA ，求 x 与 y 之 间的关系式； (2)在 (1)的条件下，若 AC BD ，求 x， y 的值及四边形 ABCD 的面积 解析 (1) AD AB BC CD (x 4， y 2)， DA AD ( x 4,2 y)又 BC DA ，且 BC (x， y)， x(2 y) y( x 4) 0，即 x 2y 0. (2)由于 AC AB BC (x 6， y 1)， BD BC CD (x 2， y 3)，又 AC BD ， AC BD 0，即 (x 6)(x 2) (y 1)(y 3) 0. 联立 ，化简得 y2 2y 3 0，解得 y 3 或 y 1. 故当 y 3 时， x 6，此时 AC (0,4)， BD ( 8,0)， S 四边形 ABCD 12|AC | BD | 16； 当 y 1 时， x 2，此时 AC (8,0)， BD (0， 4)， S 四边形 ABCD 12|AC | BD | 16.