全国通用版2019版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标22解三角形应用举例.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 22 讲 解三角形应用举例 解密考纲 本考点考查利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，三种形式均可能出现，一般排在选择题、填空题的中间或最后位置或解答题靠前的位置，题目难度中等 一、选择题 1一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 ( A ) A 10 2 海里 B 10 3 海里 C 20 3 海里

2、D 20 2 海里 解析 如图所示，易知，在 ABC 中， AB 20 海里， CAB 30 ， ACB 45 ，根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45 ，解得 BC 10 2海里故选 A 2要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45 ， 30 ，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲 、乙两地连线所成的角为 120 ，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔的高度是 ( D ) A 100 2 m B 400 m C 200 3 m D 500 m 解析 由题意画出示意图，设塔高 AB h m，在 Rt ABC 中

3、，由已知得 BC h m，在 Rt ABD 中，由已知得 BD 3h m，在 BCD 中，由余弦定理 BD2 BC2 CD2 2BC CDcos BCD，得 3h2 h2 5002 h500 ，解得 h 500 m. 3长为 3.5 m 的木棒 AB 斜 靠在石堤旁，木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上，另一端 B 在离堤足 C 处的 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为 ，则坡度值 tan ( A ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 2315 B 516 C 23116 D 115 解析 由题意，可得在 ABC 中， AB 3.5 m， AC 1.4 m， BC 2.

4、8 m，且 ACB . 由余弦定理，可得 AB2 AC2 BC2 2 AC BCcos ACB，即 3.52 1.42 2.8221.42.8cos( )，解得 cos 516，所以 sin 23116 ，所以 tan sin cos 2315 . 4如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取 A， B 两点，从 A， B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为 30 ， 45 ，且 A， B 两点间的距离为 60 m，设该建筑物的高度为 h m，则 h ( A ) A 30 30 3 B 30 15 3 C 15 30 3 D 15 15 3 解析 在 PAB 中， PAB 30 ， APB 15

5、 ， AB 60， sin 15 sin(45 30) sin 45cos 30 cos 45sin 30 22 32 22 12 6 24 . 由正弦定理 ， 得 PBsin 30 ABsin 15 ， 所以 PB12606 24 30( 6 2)， 故建筑物的高度 h PBsin 45 30( 6 2) 22 30 30 3 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2018 河南天一大联考 )2017 年 9 月 16 日 05 时，第 19 号台风 “ 杜苏芮 ” 的中心位于甲地，它以每小时 30 千米的速度向西偏北 的方向移动，距台风中心 t 千米以内的地区都将受到影响，若 16

6、日 08 时到 17 日 08 时，距甲地正西方向 900 千米的乙地恰好受台风影响，则 t 和 的值分别为 (附： 73.718.585)( A ) A 858.5,60 B 858.5,30 C 717,60 D 717,30 解析 如图，根据题意， 3 小时后台风中心距甲地 90 千米， 27 小时后台风中心距甲地810 千米，乙地有 24 小时在台风范围内，根据余弦定理得 t2 9002 902 290900cos ，t2 9002 8102 2810900cos ，解得 cos 12，所以 60 ， t2 9002 902290900cos 60 737 100， t 858.5.故

7、选 A 6如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75 ， 30 ，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC ( C ) A 240( 3 1) m B 180( 2 1) m C 120( 3 1) m D 30( 3 1) m 解析 tan 15 tan(60 45) tan 60 tan 451 tan 60tan 45 2 3， BC 60tan 60 60tan 15 120( 3 1)(m)故选 C 二、填空题 7一艘船上午 9： 30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30 处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10： 00 到达 B 处，此

8、时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75 处，且与它相距 8 2 n mile，此船的航速是 _32_n mile/h. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设航速为 v n mile/h，在 ABS 中 ， AB 12v， BS 8 2 n mile， BSA 45. 由正弦定理 ， 得 8 2sin 30 12vsin 45 ， v 32 n mile/h. 8江岸边有一炮台 OA 高 30 m，江中有两条船 M， N，船与炮台底部 O 在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45 和 60 ，而且两条船与炮台底部连线成 30 角，则两条船相距 _10 3_m. 解析 OM AOtan

9、45 30(m)， ON AOtan 30 33 30 10 3(m)， 在 MON 中，由余弦定理，得 MN 900 300 23010 3 32 300 10 3(m) 9某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S在电动车的北偏东 30 方向上， 15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上，则点 B 与电视塔的距离是 _3 2_km. 解析 由题意知 AB 24 1560 6，在 ABS 中， BAS 30 ， AB 6， ABS 180 75 105 ， ASB 45 ，由正弦定理知 BSsin 30 ABsi

10、n 45 ， BS ABsin 30sin 45 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 2. 三、解答题 10如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15 ，经 过 420 s 后又看山顶的俯角为 45 ，则山顶的海拔高度为多少米？ (取 2 1.4， 3 1.7) 解析 如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知 A 15 ， DBC 45 ， ACB 30 ， AB 50420 21 000(m) 又在 ABC 中， BCsin A ABsin ACB， BC 21 00012s

11、in 15 10 500( 6 2)(m) CD AD， CD BCsin DBC 10 500( 6 2) 22 10 500( 3 1) 7 350(m) 故山顶的海拔高度 h 10 000 7 350 2 650(m) 11 (2018 河南郑州一中期中 )如图，一辆汽车从 A 市出发沿海岸一条笔直公路以每小时 100 km 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在 A 市南偏东方向距 A 市 500 km 且与海岸距离为 300 km 的海上 B 处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交 给汽车的司机 (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？ (2)在 (1)的条件下，求快艇以

12、最小速度行驶时的行驶方向与 AB 所成的角 解析 (1)如图，设快艇以 v km/h 的速度从 B 处出发，沿 BC 方向， t h 后与汽车在 C处相遇，在 ABC 中， AB 500， AC 100t， BC vt， BD 为 AC 边上的高， BD 300. 设 BAC ，则 sin 35， cos 45. 由余弦定理，得 BC2 AC2 AB2 2AB ACcos ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 v2t2 (100t)2 5002 2500100 t 45. 整理，得 v2 250 000t2 80 000t 10 000 250 000? ?1t2 825 1t ? ?4

13、25 2 10 000 10 0001625 250 000? ?1t 425 2 3 600. 当 1t 425，即 t 254 时， v2min 3 600， vmin 60 km/h， 即快艇至少以 60 km/h 的速度行驶才能把稿件送到司机手中 (2)当 v 60 km/h 时，在 ABC 中， AB 500， AC 100 254 625， BC 60 254 375， 由余弦定理，得 cos ABC AB2 BC2 AC22AB AC 0，所以 ABC 90 ，故快艇应向垂直于AB 的方向向北偏东方向行驶 12如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点 A， B 之间的距离，

14、她在西江南岸找到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A， B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A， C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点 B， C；并测量得到数据： ACD 90 ， ADC 60 ， ACB 15 ， BCE 105 ， CEB 45 ， DC CE 1 百米 (1)求 CDE 的面积； (2)求 A， B 之间的距离 解析 (1)连接 DE，在 CDE 中， DCE 360 90 15 105 150 ， S ECD 12DC CEsin 150 12sin 30 12 12 14(平方百米 ) (2)依题意知，在 Rt ACD 中， AC DCtan ADC 1tan 60 3. 在 BCE 中， CBE 180 BCE CEB 180 105 45 30. 由正弦定理得 BCsin CEB CEsin CBE， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 BC CEsin CBEsin CEB 1sin 30 sin 45 2. 因为 cos 15 cos(60 45) cos 60cos 45 sin 60sin 45 1222 32 ×