全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第5讲指数与指数函数学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 指数与指数函数 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 指数及指数运算 1根式的概念 2分数指数幂 (1)amn n am(a 0， m， n N*， n 1)； (2)a mn 1amn 1n am(a 0， m， n N*， n 1)； (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3有理数指数幂的运算性质 (1)ar as ar s(a0， r， s Q)； (2)(ar)s ars(a0， r， s Q)； (3)(ab)r arbr(a0， b0， r Q) 考点 2 指数函数及其性质 1指数函数的概念 函数 y

2、ax(a0 且 a1) 叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R， a=【 ;精品教育资源文库 】 = 是底数 说明：形如 y kax， y ax k(k R 且 k0 ， a0 且 a1) 的函数叫做指数型函数 2指数函数的图象和性质 底数 a1 00 时，恒有 y1； 当 x0 时，恒有 01 函数在定义域 R 上为增函数 函数在定义域 R上为减函数 必会结论 1 (n a)n a(n N*且 n1) 2.n an? a， n为奇数且 n1，|a|? a， a0 ， a， a 0，n 为偶数且 n1. 3底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a 1，还是 0 a

3、 1，在第一象限内底数越大，函数图象越高 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1) 4 ? 4?4 4.( ) (2)函数 y a x(a0，且 a1) 是 R 上的增函数 ( ) (3)函数 y ax2 1(a1)的值域是 (0， ) ( ) (4)函数 y ax与 y a x(a0， 且 a1) 的图象关于 y 轴对称 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 课本改编 ? ?225 0 1 (0.5) 2 ? ?33813的值为 ( ) A 0 B.13 C 3 D 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 原式 1 (1 4) 3

4、2 3.故 选 C. 3 课本改编 函数 f(x) ax 2 1(a0 且 a1) 的图象必经过点 ( ) A (0,1) B (1,1) C (2,0) D (2,2) 答案 D 解析 a0 1 故 x 2 0 时 f(x) 2，即 x 2 时 f(x) 2.故选 D. 4 2018 吉林模拟 已知 a 20.2， b 0.40.2， c 0.40.75，则 ( ) A abc B acb C cab D bca 答案 A 解析 由 0.20.40.75，即 bc；因为 a 20.21，b 0.40.2b.综上， abc. 5 课本改编 函数 f(x) 21 x的大致图象为 ( ) 答案 A

5、 解析 f(x) 21 x 22 x. f(x)在 R 上为减函数，排除 C， D；又 f(0) 21 21，排除 B.故选 A. 6 2018 南通调研 函数 f(x) ? ?14 x2 2x的值域为 _ 答案 (0,4 解析 x2 2x (x 1)2 1 1， 00， b0)； (2)计算： 2( 3 2 3)6 ( 2 2)43 4 ? ?1649 12 4 28 0.25 ( 2018)0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 考向 指数函数的图象及应用 例 2 若曲线 |y| 2x 1 与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是 _ 答案 1,1 解析 曲线 |y| 2x 1 与

6、直线 y b 的图象如图所示，由图象可得，如果 |y| 2x 1 与直线 y b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b 1， 1 若将本例中 “| y| 2x 1” 改为 “ y |2x 1|” ，且与直线 y b 有两个公共点，求 b 的取值范围 解 曲线 y |2x 1|与直线 y b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y |2x 1|与直线 y b 有两个公共点，则 b 的取值范围是 (0,1) 若将本例改为：直线 y 2a 与函数 y |ax 1|(a 0 且a1) 的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是什么？ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 y |ax 1|的图象是由

7、y ax先向下平移 1 个单位，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折过来得到的 当 a 1 时，两图象只有一个交点， 不合题意，如图 (1)； 当 0 a 1 时，要使两个图象有两个交点，则 0 2a 1，得到 0 a 12，如图 (2) 综上， a 的取值范围是 ? ?0， 12 . 触类旁通 指数函数图象的应用技巧 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 【变式训练 2】 2018 广东佛山模拟 已知函数 f(x) |2x 1|， af(c)f(b)，则下列结论中，一定成立

8、的是 ( ) A a0 C 2 af(c)f(b)，结合图象知 f(a)0， 01， f(a) |2a 1| 1 2a，f(c) |2c 1| 2c 1. 又 f(a)f(c)，即 1 2a2c 1， 2a 2c2313，所以 ? ?12430 的解集是 ( ) A x|x2 B x|x4 C x|x6 D x|x5 答案 D 解析 当 x0 时，由 f(x) 3x 90 得 x2，所以 f(x)0 的解集为 x|x2 或 x0 的解集为 x|x5选 D. 命题角度 3 与指数函数有关的复合函数问题 例 5 (1)2018 桂林模拟 已知函数 y 2 x2 ax 1在区间 ( ， 3)内单调递

9、增，则 a的取值范围为 _ 答案 6， ) 解析 函数 y 2 x2 ax 1是由函数 y 2t和 t x2 ax 1 复合而成因为函数 t x2 ax 1 在区间 ? ? ， a2 上单调递增，在区间 ? ?a2， 上单调递减，且函数 y 2t在 R 上单调递增，所以函数 y 2 x2 ax 1 在区间 ? ? ， a2 上单调递增，在区间 ? ?a2， 上单调递减又因为函数 y 2 x2 ax 1在区间 ( ， 3)内单调递增，所以 3 a2，即 a6. (2)函数 y ? ?14 x ? ?12 x 1 在 x 3,2上的值域为 _ 答案 ? ?34， 57 解析 令 t ? ?12 x

10、，则 y t2 t 1 ? ?t 12 2 34， x 3,2， t ? ?14， 8 ， 当 t 12时， ymin 34. 当 t 8 时， ymax 57.所以函数的值域为 ? ?34， 57 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 触类旁通 有关指数函数性质的问题类型及解题思路 (1)比较指数幂大小问题常利用指数函数的单调性及中间值 (0 或 1) (2)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论 (3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，

11、涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助 “ 同增异减 ” 这一性质分析判断，最终将问题 归结为内层函数相关的问题加以解决 核心规律 1.判断指数函数图象的底数大小的问题，可以通过令 x 1 得到底数值，再进行大小比较 2.指数型函数、方程及不等式问题，可以利用指数函数的图象和性质求解 满分策略 1.解决指数函数有关问题时，若底数不确定，应注意对 a1 及 00，且 a1) 的函数、方程、不等式等问题，可以利用换元法求解但一定要注意新元的范围 . 板块三 启智培优 破译高考 易错警示系列 2 忽略指数函数底数的分类讨论致误 2018 海南模拟 若函数 f(x) ax(a0， a1) 在 1，

12、 2上的最大值为 4，最小值为m，且函数 g(x) (1 4m) x在 0， ) 上是增函数，则 a _. 错因分析 误认为 a1，只按一种情况求解，而忽略了 01 时， f(x) ax在 1,2上的最大值 a2 4 得 a 2，最小值 a 1 m，即 m 12，这时 g(x) (1 4m) x x在 0， ) 上为减函数，不合题意，舍去，所以 a 14. 答案 14 答题启示 由于指数函数 y ax，当 a1 时为增函数，当 00， a1) 的定义域和值域都是 1,0，则a b _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 32 解析 当 01 时，函数 f(x)在 1,0上单调递增，由题意

13、可得? f? 1? 1，f?0? 0， 即? a 1 b 1，a0 b 0， 显然无解 所以 a b 32. 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2015 山东高考 设 a 0.60.6， b 0.61.5， c 1.50.6，则 a， b， c 的大小关系是 ( ) A a b c B a c b C b a c D b c a 答案 C 解析 函数 y 0.6x在定义域 R 上为单调递减函数， 1 0.60 0.60.6 0.61.5. 而函数 y 1.5x为单调递增函数， 1.50.6 1.50 1， b a c. 2函数 f(x) ax b的图象如图，其中 a， b 为常

14、数，则下列结论正确的是 ( ) A a1， b1， b0 C 00 D 00，且 a1) 的值域为 1， ) ，则 f(4)与 f(1)的关系是 ( ) A f( 4)f(1) B f( 4) f(1) C f( 4)1， f( 4) a3， f(1) a2，由单调性知 a3a2， f( 4)f(1) 7 2018 北京模拟 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y ex关于 y 轴对称，则 f(x) ( ) A ex 1 B ex 1 C e x 1 D e x 1 答案 D 解析 与曲线 y ex关于 y 轴对称的曲线为 y e x，函数 y e x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数 f(x)的图象，即 f(x) e (x 1) e x 1.故选 D. 8函数 y ? ?12 x2 2x 1的值域为 _